考研数学三线性代数试卷6真题(含答案与解析)交互

考研数学三（线性代数）-试卷6(总分66,做题时间90分钟)选择题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1.n维向量组α，α1【】

，…，α2

(3≤m≤n)线性无关的充分必要条件是SSS_SINGLE_SELSSS_SINGLE_SELA存在不全为0的数k1≠0．B

，k，…，k2

，使kα1

+kα2

+…+k αm m1α，α12C1α，α12Dα，α1

，…，α，…，α，…，α

中任意两个向量都线性无关．m中存在一个向量，它不能用其余向量线性表出．m中任意一个向量都不能用其余向量线性表出．m该题您未回答:х 该问题分值:2答案:D2.设4阶方阵A的行列式∣A∣=0，则A中 【 】SSS_SINGLE_SEL0．必有两列元素对应成比例．必有一列向量是其余列向量的线性组合D 任一列向量是其余列向量的线性组合．该题您未回答:х 该问题分值:2答案:C3.设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，则 【 】SSS_SINGLE_SELA 当m＞n时，必有行列式B 当m＞n时，必有行列式∣AB∣=0．C 当n＞m时，必有行列式D 当n＞m时，必有行列式该题您未回答:х 该问题分值:2答案:B解析：当m＞n时，有r(AB)≤r(A)≤n＜m，故m阶方阵AB为降秩方阵，即∣AB∣=0．m＞nBX=0nm，BX=0(AB)X=0=>∣AB∣=0．4.设n维列向量组α ，…，α(m＜n)线性无关，则，z维列向量组β1 m1m1mSSS_SINGLE_SELAα1Bβ1C

，…，α，…，β

可由向量组βm 1可由向量组αm 1

，…，β，…，α

线性表示．m线性表示．m向量组α1D

，…，α

与向量组βm 1

，…，β

等价．m矩阵A=[α…α ]与矩阵B=[β…1 m 1

]等价．m该题您未回答:х 该问题分值:2答案:D解析：当A=[α…α ]与B=[β…β ]等价时，A与B有相同的秩，1 m 1 mAm，Bm，β，…，β线性无关；若1 mβ，…，βABm，ABn×m1 mAB)P，AP，BPAB(D)5.12 mSSS_SINGLE_SELA12 mSSS_SINGLE_SELA

，…，α

均为n维向量，则【】若kα1 关．B

+k2

+…+kα2 m

=0，则α，α1

，…，αm

线性相若对任意一组不全为零的数k1

，k2

，都有kα+k αm 1 1 2 2+…kmC

α≠0，则αm 1

，α2

线性无关．m若α，α1

…，α

线性相关，则对任意一组不全为零的数k ，km 12，…，k2mD

kα1

+kα2

+…+k

α=0．m m若0α+0α+…+0α =0，则α1 2 m 1

，…，α2

线性无关．该题您未回答:х 该问题分值:2答案:B6.设有向量组α=(1，一1，2，4)，α1

=(0，3，1，2)，α=(3，0，7，314)，α=(1，一2，2，0)，α4

=(2，一1，5，10)．则该向量组的极大无关组是【】SSS_SINGLE_SELSSS_SINGLE_SELA1α，α，α12 3B1α，α，α12 4C1α，α，α12 5Dα，α，α ，α1 2 4 5该题您未回答:х 该问题分值:2答案:B7.设矩阵A的秩为R(A)=m＜n，ImSSS_SINGLE_SEL

为m阶单位矩阵，则【】AmAmCA通过初等行变换，必可以化为(Im

O)的形式．D 非齐次线性方程组Ax=b一定有无穷多组解该题您未回答:х 该问题分值:2答案:Dm=R(A)≤R(A∣b)≤m，=>R(A)=R(A∣b)=m＜n，AX=b有无穷多组解．8.若向量组α，α1【】

，α线性无关；α2 3

，α，α1 2

线性相关，则SSS_SINGLE_SELSSS_SINGLE_SELA1α必可由α，α12B

，α线性表示．3 42α必不可由α21C

，α，α3

线性表示．4α必可由α，α41D

，α线性表示．2 3解析：由下列矩阵的初等行变换：A=[αT…αT243]==3α，知α，1解析：由下列矩阵的初等行变换：A=[αT…αT243]==3α，知α，1α，αα1 51+α ，α25=2α+α，故(A)、(C)、(D)组都是线性相关的，因而只有(B)正确．121 1 2 3该题您未回答:х 该问题分值:2答案:C解析：由部分组与整体组线性相关性的关系．知α1

，α线性无关，而α2，α，α1 2

，线性相关，=>α

=λ α+λ4 1 1

α=λ2

α+λ1 2α+0α3 9.

可由α4

，α2

线性表示．3设A、B为满足AB=0的任意两个非零矩阵，则必有． 【 】SSS_SINGLE_SELAA，BBA，BCA，BDA，B该题您未回答:х 该问题分值:2答案:AAB=OBAx=0B≠OBAx=0ABTAT=(AB)T=OBTB10.设向量组(Ⅰ)：α

，α，…，α1 2

可由向量组(Ⅱ)：β 1

，…，2SSS_FILL1SSS_FILL144法是利用行列式的性质简化计算，化为三角形行列式及按一行(列)展开(降阶)rSSS_SINGLE_SELAr＜sBr＞sCr＜sDr＞s该题您未回答:х 该问题分值:2答案:D解析：由条件知秩(Ⅰ)≤秩(Ⅱ)，而秩(Ⅱ)≤s，故秩(Ⅰ)≤s，r＞s秩(Ⅰ)≤s＜r，故(Ⅰ)必线性相关．1.该题您未回答:х 该问题分值:答案:正确答案：-3．是计算中最常用的两种方法．元素是数字的行列式总可以化成上(或下)三角形行列式，所以本题可有多种计算方法．2.该题您未回答:х 该问题分值:2答案:正确答案：(a3.

a—b1 4

b)(aa4 2

—b b)．3 2 3DnSSS_FILLDDnSSS_FILLDnSSS_FILLSSS_FILLSSS_FILLSSS_FILL该题您未回答:х 该问题分值:2答案:正确答案：1x2y2z2．2x)3y)4z)列，则化成了上三角行列式．4.该题您未回答:х 该问题分值:答案:正确答案：n!(2一n)．jj，j1)13，…，n)，则化成了上三角行列式．5.该题您未回答:х 该问题分值:答案:正确答案：an+(一1)n+1bn．解析：按第1列展开．6.该题您未回答:х 该问题分值:2答案:正确答案：x4．2，3，411x，111)倍、12，3，447.该题您未回答:х 该问题分值:2答案:正确答案：1a+a2a3+a4a5．2，3，4，511

=1aD5行列式的第4行各元素的余子式之和的值为 ．SSS_FILL方程行列式的第4行各元素的余子式之和的值为 ．SSS_FILL方程=0的全部根是 ．SSS_FILL方程的实根为 SSS_FILLSSS_FILL4 n n-18.该题您未回答:х 该问题分值:答案:正确答案：一28．解析：可直接计算，亦可利用展开法则，得所求值等于行列式[22*]9.该题您未回答:х 该问题分值:答案:正确答案：1，2，3．f(x)=(2—1)(3—1)(x1)(3—2)(x2)(x3)．10.该题您未回答:х 该问题分值:答案:正确答案：t=6．6t，f(t)=(t6)(t2+3)．方程的全部根是 方程的全部根是 ．SSS_FILL该题您未回答:х 该问题分值:答案:正确答案：x=0，x=1．解析：f(x)=5x(x1)．解答题解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。A=IaaTIn．anSSS_TEXT_QUSTISSS_TEXT_QUSTI1.A2=A的充要条件是aTa=1；该题您未回答:х 该问题分值:答案:正确答案：A2=A<=>(IAAT)(IaaT)=IaaT<=>I2AAT+a(aTa)aT=IAATaaT+(aTa)aaT=0<=>(aTa1)anT=0aaT≠0)<=>aTa=1．SSS_TEXT_QUSTISSS_TEXT_QUSTI2.当aTa=1时，A是不可逆矩阵．该题您未回答:х 该问题分值:答案:正确答案：当aTa=1时，A2=A，若A可逆，则有A-1A2=A-1A，即A=I，=>aTa=0，这与aTa≠0，矛盾，故A不可逆．AnAijB．SSS_TEXT_QUSTISSS_TEXT_QUSTI3.证明B可逆；该题您未回答:х 该问题分值:答案:正确答案：因∣A∣≠0，而∣B∣=一∣A∣≠0，故层可逆SSS_TEXT_QUSTISSS_TEXT_QUSTI4.求AB-1．该题您未回答:х 该问题分值:答案:正确答案：记E 是n阶单位矩阵的第i行和第j行对换后所得的初等方阵，ij则B=E A，因而AB-1=A(Eij

A)-1=AA-1E-1ij

=E ．ij当A．设矩阵X当A．设矩阵XAX+E=A+X，X．2SSS_TEXT_QUSTI答案:正确答案：A=E+(B+E)-1=．(或A=B(B—E)-1)答案:正确答案：(A—E)X=A 一E，且A—E可逆=>X-(A—E)2-1(A—E)(A+E)=A+E=3A．求(A)*-1．SSS_TEXT_QUSTISSS_TEXT_QUSTI5.证明：AE该题您未回答:х 该问题分值:答案:AB—B—A=0，=>(A—E)B(A—E)=E，=>(A—E)(BE)=E，即知A—E可逆SSS_TEXT_QUSTISSS_TEXT_QUSTI6.该题您未回答:х 该问题分值:27.该题您未回答:х 该问题分值:28.SSS_TEXT_QUSTISSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х 该问题分值:29.已知3阶方阵A=(a ) 的第1行元素为：Aij 3×3 11

=1，a12

=2，a

=一1．其13SSS_TEXT_QUSTI3A∣A∣=2，方阵数余子式，求AB．AoSSS_TEXT_QUSTI3A∣A∣=2，方阵数余子式，求AB．AoA(i，j)元素的代SSS_TEXT_QUSTI设矩阵，矩阵B满足(A)*-1RA=BA +8AA为A***B．SSS_TEXT_QUSTI答案:正确答案：(A)*-1=答案:正确答案：由(A+a A +a)AT=A7，A=5，A—4，=>∣A∣=aA=一