单自由度系统振动

单自由度系统振动1.1概述实际振动系统往往是很复杂的。为了便于分析计算，在满足工程要求的前提下，可对复杂振动系统进行简化。处理得到的最简单的系统就是单自由度振动系统。单自由度系统振动是工程中常见的物理现象。

梁：车辆通过桥梁时引起的振动起重机：悬吊钢丝绳——重物的振动用单个变量的微分方程即可描述的振动系统齿轮减（变）速器：轴——齿轮的扭转振动汽轮机、发电机：转子不平衡引起的扭转振动讨论：请列举其他单自由度振动的实际例子（工程中、家用设备、相关课程中涉及到的）！1.2单自由度系统振动1.无阻尼自由振动2.有阻尼自由振动3.有阻尼受迫振动4.MATLAB数值仿真单自由度振动系统类型：1.无阻尼自由振动解单自由度无阻尼系统振动方程为：

方程的通解为：令若振动的初始条件：则其解为：其中则固有频率为振幅为相位为【例】起重机以速度使重物下降时，突然紧急刹车，，钢丝绳弹性模量求此时提升机构所受的最大的力。已知，钢丝绳截面积钢丝绳长度为【解】紧急刹车时，钢丝绳突然停止，但此时重物具有速度从制动的瞬间开始吊在绳上作自由振动。初始速度为最大位移初始位移为钢丝绳最大的拉伸量为为钢丝绳刚度，由材料力学可知钢丝绳最大拉力为动拉力与静拉力之比为动力放大系数结论：当紧急制动时，起重机钢丝绳中的动拉力是正常提升时的3.2134倍2.有阻尼自由振动解其通解为：称为阻尼率。ξ<1时，称为弱阻尼状态通解为：ξ>1时，称为强阻尼状态通解为：ξ=1时，称为临界阻尼状态通解为：单自由度有阻尼系统振动方程为：注意希腊字母Ξ[ksi];ζ[zta]3.有阻尼受迫振动解瞬态响应稳态响应其解为瞬态与稳态响应两部分的叠加：瞬态响应是一个有阻尼的谐振。振动频率为系统固有频率，振幅与初相位角决定于初始条件，振幅按指数规律衰减，振动持续时间决定于系统的阻尼比。稳态响应也是一个简谐振动，其频率比等于激励力的频率。振动方程为时，为谐迫振动。其解为频率比稳态响应的振幅瞬态响应的振幅相位受迫振动中阻尼比和频率比的影响分析振幅：频率比λ=1附近，受迫振动的幅值出现峰值——共振，且随着阻尼率ξ的增加，共振幅值逐渐减小；当ξ=0.7~0.8时振幅曲线平滑衰减小。相位：频率比λ=1，受迫振动的相位滞后为90°，随着阻尼率ξ的增大，相位曲线趋近线性，阻尼率ξ=0.7~0.8时，相位曲线最接近直线。工程中：尽量取阻尼率ξ=0.7~0.8注意希腊字母ξ(ksi)4.MATLAB数值仿真MATLAB是MatrixLaboratory的缩写，是一种直译式的语言，易学（相比C语言）特点：强大的数值运算功能

丰富的工具箱

数学计算

数字信号处理

自动控制动态分析数据处理2D与3D绘图功能有阻尼自由振动响应计算程序functiony=VTB1(m,c,k,x0,v0,tf)%m为质量;c为阻尼;k为刚度;x0为初始位移;v0为初始速度;tf为仿真时间%VTB1(zeta,w,x0,v0,tf)绘出单自由度有阻尼自由振动系统的响应图%zeta为阻尼系数;ωn为固有频率%程序中z为阻尼系数;A为振动幅度;phi为初相位clc%该循环确定输入方式是VTB1(m,c,k,x0,v0,tf),还是%VTB1(zeta,w,x0,v0,tf)ifnargin==5z=m;wn=c;tf=v0;v0=x0;x0=k;m=1;c=2*z*w;k=w^2;endwn=sqrt(k/m);%固有频率z=c/2/m/wn;wd=wn*sqrt(1-z^2);fprintf('固有频率为%.3g.rad/s.\n',wn);fprintf('阻尼系数%.3g.\n',z);fprintf('有阻尼的固有频率%.3g.\n',wd);t=0:tf/1000:tf;ifz<1A=sqrt(((v0+z*wn*x0)^2+(x0*wd)^2)/wd^2);phi=atan2(x0*wd,v0+z*wn*x0);x=A*exp(-z*wn*t).*sin(wd*t+phi);fprintf('A=%.3g\n',A);fprintf('phi=%.3g\n',phi);elseifz==1a1=x0;a2=v0+wn*x0;fprintf('a1=%.3g\n',a1);fprintf('a2=%.3g\n',a2);x=(a1+a2*t).*exp(-wn*t);elsea1=(-v0+(-z+sqrt(z^2-1))*wn*x0*wn*x0)/2/wn/sqrt(z^2-1);a2=(v0+(z+sqrt(z^2-1))*wn*x0)/2/wn/sqrt(z^2-1);fprintf('a1=%.3g\n',a1);

fprint('a2=%.3g\n',a2);x=exp(-wn*t).*(a1*exp(wn*sqrt(z^2-1)*t)+a2*exp(wn*sqrt(z^2-1)*t));endplot(t,x),gridxlabel('时间(s)')ylabel('位移')title('位移相对时间的关系')MATLAB计算结果图1-61.3等效力学模型1.等效力作用于等效构件上的等效力所做的功应等于作用于系统上的全部外力所作的功。2.等效质量

在保证系统总动能不变的条件下，将各部分的质量向一个集中质量转换。3.等效刚度

在保证系统总势能不变的条件下，将各部分的刚度向一定位置转换，转换得到的假想刚度为等效刚度。例：计算右图所示的等效刚度(P14)第一步，计算k1等效到k2上端处的等效刚度第二步，计算k1与k2串联等效刚度1.4隔振原理

隔振的两种方式：主动隔振机器本身是振源。为了减少它对周围其它设备的影响，用隔振器将它与地基隔开，这种隔振称为主动隔振。其隔振效率为：被动隔振

为了减小周围振源对仪器设备的影响，需隔离来自地基的振动，这种隔振称为被动隔振。其隔振效率为：注意希腊字母η(eta)1.5等效粘性阻尼常见几种非粘性阻尼的等效阻尼等效粘性阻尼的计算方法：根据作功相等原理粘性力大小为：粘性力作功为：3．结构阻尼1．干摩擦阻尼2．流体粘性阻尼1.6非谐周期激励的响应对于工程中常见的线性系统，任何周期激励函数均可按傅立叶级数理论展开为一系列简谐函数之和叠加原理在第n阶谐波激励力作用下，根据其响应为根据线性系统的叠加原理，系统总响应为（1-33）（1-34）1.7单位脉冲的响应

无阻尼弹簧质量系统，在初始位移和初始速度下的自由振动响应为t=0开始，突然作用有冲量

，由冲量定理，质量m的初速度

。若初始位移x0=0,则系统的运动规律为：，为单位冲量，则称为单位脉冲，则由单位脉冲引起的系统响应为若引入系统阻尼，则单位脉冲引起的系统响应为若任意时刻单位脉冲响应上式表示在t=0时单位脉冲引起的系统响应，如果单位脉冲是在开始作用，则

对于非单位脉冲，则系统的响应为1.8任意激励的响应杜哈美（Duhamal）积分对于一个任意的非周期性函数F(t)，可以看成是一系列冲量的脉冲排列而成。对应于每一个值