高压锅销售量模型

高压锅销售量模型背景和问题 高压锅是当今家庭不可或缺的用具之一，近十年来高压锅的使用得到了极大的普及因此全国各地区的高压锅销售量与年俱增，据资料显示高压锅的销售量增长趋势与种群的增长过程相似，即在开始阶段高压锅的销售量呈指数增长，随着国民经济发展以及国民需求的改变，高压锅的销售量受到社会各方面因素的影响，销售量不再呈指数增长，而趋向一个上限，即销售量会出现一个最大值。为更好的了解高压锅销售量的增长趋势，制定相应的销售计划，可以对未来的高压锅市场起到一定的调节作用，因此对高压锅的销售量增长趋势进行分析是必要的。表1中给出的是某地区高压锅的销售量（单位：万台），为给出此两模型的拟合结果，请参考如下问题：（1）Logistic增长曲线模型是一个可线性化模型吗。如果给定 L 3000，是否是一个可线性化模型，使用线性化模型给出参数 a和k的估计值。（2）利用（1）所得的a和k的估计值和L 3000作为Logistic模型的拟合初值，对Logistic模型作非线性回归。（3）取初值L(0) 3000,b(0) 30,k(0) 0.4，拟合Gompertz模型。并与Logistic模型的结果进行比较。表1某地区高压锅销售量年份 年份1981 0 43.65 1988 7 1238.751982 1 109.86 1989 8 1560.001983 2 187.21 1990 9 1824.291984 3 312.67 1991 10 2199.001985 4 496.58 1992 11 2438.891986 5 707.65 1993 12 2737.711987 6 960.25分析与假设 记高压锅的销售量为 y，与高压锅销售量相关的时间为 t，由市场经济的规律可知，高压锅的销售量增长趋势与种群的增长过程相似，即在开始阶段高压锅的销售量呈指数趋势增长，随着国民经济发展以及国民需求的改变，高压锅的销售量受到社会各方面因素的影响，销售量不再呈指数增长，而趋向一个上限，即销售量会出现一个最大值记为 L。因此高压锅的销售量的增长趋势可以用 Logistic增长曲线模型和 Gompertz增长曲线模型来拟合。Logistic增长曲线模型：ytL（1）aekt1Gompertz增长曲线模型：ktyt Lebe （2）1.1Logistic线性化模型Logistic增长曲线模型是计量经济学中的常用模型，可以用来拟合销售量的增长趋势，因受到社会各方面的影响 高压锅的销售量增长呈现 Logistic增长曲线的趋势，下对Logistic增长曲线模型进行讨论。Logistic增长曲线模型为：ytL。aekt1LLogistic增长曲线模型是非线性的，对 yt 1 ae-kt进行数学变换，两边取倒数：11ae-kt（3）ytLL对（1）式两边取e的对数可以得到：lnyt lnL2 lna kt （4）为使等式等号左右两边的量纲一致，对（ 2）式进行化简后可以到：令y=lnyt，那么可以得到：y=lnL2kt（5）104a由（3）式可以明显看到y是关于L和t的函数，由线性的定义显然可知函数（3）是非线性的，因此 Logistic增长曲线模型不是一个可线性化模型。但当给定 L 3000，（3）式可以转变为：30002（6）y=lna104kt2那么关于L的项就转变成为常数项，即模型可以线性化，其中令 Aln30004,那么（4）式a10可以写成：yAkt（7）则当L给定时，Logistic增长曲线模型是一个可线性化模型。用matlab软件作出y与对应年份编号t的散点图（源程序见附录程序 1），如图1所示：图1销售量对数与对应时间编号散点图可以发现销售量对数 y在时间t较小时有较好的线性关系而，在t较大时则出现较大的起落。如果单从线性回归模型的角度出发计算，通过 matlab软件利用最小二乘拟合可以很容易得到线性化模型（7）的参数A和k的估计值，再根据A与a的关系Aln30002，算出aa104的估计值。结果如表 2所示(源程序见附录程序（2）)表2线性化模型（7）参数估计结果参数 参数估计值 参数置信区间4.5758 [4.13295.0187]0.3205 [0.25780.3831]由表可得A 4.5758和 k=0.3205，那么可以求得a 9.2682。所以线性化后的回归方程为：1.2Logistic非线性模型由图1可以看到销售量对数与时间的线性拟合程度并不高，为解决线性化模型中拟合欠佳的问题，考虑非线性模型（ 1）.以问题一解得的a 92682和k=0.3205以及L 3000为拟合初值，作Logistic模型的非线性回归。运用 matlab软件进行非线性回归拟合，可以得到回归参数 a和k的估计值，结果如表二所示（源程序见附录程序（ 3））表2非线性模型（1）参数估计结果参数 参数估计值 置信区间33．9114 [26.429941.928]0.4542 [0.42630.4820]可以得到a 30.011和k -0.457的值，那么Logistic的非线性回归模型为：拟合的结果如图 2所示，可以直接看到因变量销售量 y的拟合值与真实值之间的差异很小，说明Logistic的非线性回归模型可以很好的拟合销售量的增长趋势。图2模型（1）的拟合图1.3Gompertz增长曲线模型由市场经济学可知，高压锅的销售量增长趋势受到社会诸多因素的影响，而 Logistic曲线增长模型也印证了这一观点。但模型（ 1）拟合结果可以看出中间有些点偏离较大。可以再建立Gompertz增长曲线模型将拟合结果与模型（ 1）结果对比，从而确定哪个模型才是最优模型。模型（2）同样是一个非线性模型，可以对模型（ 2）进行线性化处理，对（2）式进行数学变换，两边取对数：lnytlnLbe-kt（8）则（8）式可变为：lnytbe-kt（9）L对（9）式再取对数有：ln(lnyt)ktln(b)（10）L显然（10）式为Gompertz的线性化模型。运用matlab软件求（10）式的参数，结果如表 3所示（源程序见附录程序（ 4））表3模型（2）参数估计结果参数 参数估计值7.11800.2894得到k 0.2894和b 7.1180，由此得到Gompertz模型为：用matlab软件进行拟合，拟合的结果如图3所示，可以直接看到因变量销售量y的拟合值与真实值之间的差异较大（源程序见附录程序5）。图3模型（2）的拟合图用matlab软件作出Gompertz模型的图像（见图4）与Logistic模型图像（见图5）（源程序见附录程序（6））进行对比.观察图4和图5可以发现，Gompertz模型中间段的数据与实际销量相差较大，但是从总体的曲线的走势来说，还是与实际相符合的，所以用此模型所作的预测还是具有一定的可信度。 但Logistic阻滞增长模型在这个问题中除了中间有几个点不大好之外，开始与最后都吻合的很好，尤其是最后的走向与实际销量的趋势吻合的十分完美。所以用此模型来预测高压锅的销量所得结果会较为理想。因此总体来说Logistic模型比Gompertz模型更优一些。图4Logistic高压锅销量增长模型 图5Gompertz高压锅销量增长模型附录：程序（1）：x=[0123456789101112];y=[log(43.65)log(109.86)log(187.21)log(312.67)log(496.58)log(707.65)log(960.25)log(1238.75)log(1560.00)log(1824.29)log(2199.00)log(2438.89)log(2737.71)];plot(x,y,'r*')程序（2）：x=[0123456789101112]';y=[log(43.65)log(109.86)log(187.21)log(312.67)log(496.58)log(707.65)log(960.25)log(1238.75)log(1560.00)log(1824.29)log(2199.00)log(2438.89)log(2737.71)]';F=[ones(size(x))x];[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,F);b,bint,r,rint,stats,rcoplot(r,rint)a=（3000^2/(exp(b(1)))）/10000k=b(2)b=4.57580.3205bint=4.1329 5.01870.2578 0.3831r=-0.7996-0.19710.01550.20790.35000.38370.36850.30270.21280.0488-0.0848-0.3018-0.5067rint=-1.3095 -0.2897-0.9706 0.5765-0.7944 0.8254-0.6078 1.0236-0.4553 1.1553-0.4221 1.1896-0.4435 1.1805-0.5197 1.1251-0.6154 1.0410-0.7789 0.8765-0.8927 0.7230-1.0588 0.4552-1.1740 0.1607stats=0.9202 126.8058 0.0000 0.1474a=9.2682k=0.3205程序（3）：t=[0123456789101112];y=[43.65109.86187.21312.67497.58707.65960.251238.751560.001824.292199.002438.892737.71];beta0=[9.26820.3205];[beta,R,J]=nlinfit(t,y,'xiaoliang',beta0);betaci=nlparci(beta,R,J);beta,betaciyy=3000./(1+beta(1).*exp(-beta(2).*t));plot(t,y,'o',t,yy,'+'),pausenlintool(t,y,'xiaoliang',beta)functionyhat=xiaoliang(beta,t)yhat=3000./(1+beta(1).*exp(-beta(2).*t));beta=33.9114 0.4542betaci=26.4299 41.39280.4263 0.4820程序（4）：t=0:12;y1=[43.65109.86187.21312.67496.58707.56960.251238.751560.001824.292199.002438.892737.71];y2=y1./3000;w=log(log(y2));[p,s]=polyfit(t,w,1);k=-p(1),a=p(2),b=-exp(a)k=0.2894+0.0000ia=1.9626+3.1416ib=7.1180+0.0000i程序（5）t=[0123456789101112];y=[43.65109.86187.21312.67497.58707.65960.251238.751560.001824.292199.002438.892737.71];beta0=[300.4];[beta,R,J]=nlinfit(t,y,'xiaoliang',beta0);betaci=nlparci(beta,R,J);beta,betaciyy=3000.*exp(-beta(1).*exp(-beta(2).*t));plot(t,y,'o',t,yy,'+'),pausenlintool(t,y,'xiaoliang',beta)functionyhat=xiaoliang(beta,t)yhat=3000.*exp(-beta(1).*exp(beta(2).*t));程序（6）程序（6.1）：t=0:12;y1=[43.65109.86187.21312.67496.58707.56960.251238.751560.001824.292199.