排列组合问题,看这个就够了

排列组合问题也是公考中一个比重较大的问题，也是公考的重点和难点之一，也是进一步解答概率的基础。事实上，许多概率问题也可归结为排列组合问题。这一类问题不仅内容抽象，解法灵活，而且解题过程极易出现“重复”和“遗漏”的错误，这些错误甚至不容易检查出来，所以解题时要注意不断积累经验，总结解题规律，掌握若干技巧，最终达到能够灵活运用。先说排列组合，分类用加法，分步用乘法，排列P与顺序有关，排列C与顺序无关两个大类：1、分类计数原理（加法原理）完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法，…，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有：N=m1+m2+-+mn种不同的方法.2、分步计数原理（乘法原理）完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有：N=m1-m2-mn种不同的方法.分类计数原理和分步计数原理区别1、分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。2、分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件.解决排列组合综合性问题的一般过程如下认真审题弄清要做什么事怎样做才能完成所要做的事，即采取分步还是分类，或是分步与分类同时进行，确定分多少步及多少类。确定每一步或每一类是排列问题（有序）还是组合（无序）问题，元素总数是多少及取出多少个元素.排列组合问题是高考的必考题，它联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，不易掌握，实践证明，掌握题型和解题方法，识别模式，熟练运用，是解决排列组合应用题的有效途径以下是解解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略排列组合从解法上看，大致有以下几种：（1）有附加条件的排列组合问题，大多需用分类讨论的方法；（2）排列与组合的混合型问题，需分步骤，要用乘法原理解决;⑶不相邻问题插空法，相邻问题捆绑法；排除法，将不符合条件的排列或组合剔除掉；枚举法，将符合条件的所有排列或组合一一写出来，或写出一部分发现规律;⑹定序问题“无序化”，即若某几个元素必须保持一定的顺序，则可按通常排列后再除以这几个元素的排列数；(7)隔板法，例如：10个相同的小球分给三人，每人至少1个，有多少种方法？可将10个球排成一排，再用2块“隔板”将它们分成三个部分，有C92种方法。整个解题过程遵循的基本原则是：“特殊对象优先考虑”、先“分类”后“分步”、先“取”后“排”等原则。突出分类相加，分步相乘；有序排列，无序组合；除了上述方法外，有时还可以通过设未知数，借助方程来解答，简单一些的问题可采用列举法等。解此类题常用的数学思想是:分类讨论的思想，转化思想和对称思想等三种。排列组合问题经典题型与通用方法1■相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列■例1.A、B、C、D、E五人并排站成一排，如果A、B必须相邻且B在A的右边，则不同的排法有多少根据题意，A、B必须相邻且B在A的右边，视A、B为一个元素，且只有一种排法；将A、B与其他3个元素，共4个元素排列，由乘法计数原理可得答案.解答：根据题意，A、B必须相邻且B在A的右边，视A、B为一个元素，且只有一种排法；将A、B与其他3个元素，共4个元素排列，即A44=24，则符合条件的排法有1X24=24种；相离问题插空排:元素相离(即不相邻)问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端■例2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是()由于甲、乙两人必需不相邻，先排列其它5个人，共有A55种结果，出现6个空，从这6个空中选出2个空排上甲、乙即可写出结果.解答：因为甲、乙两人必需不相邻，所以先排列其它5个人，共有A55种结果，再在五个人形成的6个空中选2个位置排列，共有A62种结果，..・不同的排法的种数是A55A62=3600定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.例3.A,B,C,D,E五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边(A、B可以不相邻)那么不同的排法有多少根据题意，首先计算五人并排站成一排的情况数目，进而分析可得，B站在A的左边与B站在A的右边是等可能的，使用倍分法，计算可得答案.解答：根据题意，使用倍分法，五人并排站成一排，有A55种情况，而其中B站在A的左边与B站在A的右边是等可能的，则其情况数目是相等的，则B站在A的右边的情况数目为1/2XA55=60，标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.例4,将数字1，2,3,4填入标号为1，2,3,4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有多少？首先计算4个数字填入4个空格的所有情况，进而分析计算四个数字全部相同，有1个数字相同的情况，有2个数字相同情况，有3个数字相同的情况数目，由事件间的相互关系，计算可得答案.解答：根据题意，数字1，2,3,4填入标号为1，2,3,4的四个方格里，共A44=24种填法，其中，四个数字全部相同的有1种，有1个数字相同的有4X2=8种情况，有2个数字相同的有C42X1=6种情况，有3个数字相同的情况不存在，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法有24-1-8-6=9种，有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法.例5.有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是多少？首先分析题目求不同的选法种数，故可先从10人中选出4个人，再在这4个人中选两个从事甲任务，剩下的两个人从事乙或丙任务，即可列出式子，求解得到答案.解答：分析题目先从10人中选出4个人，再在这4个人中选两个从事甲任务，剩下的两个人从事乙丙任务.故可列出：C104・C42・A22=2520.全员分配问题分组法:例6.5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为()由题意知先把5本书中的两本捆起来看做一个元素，这一个元素和其他的三个元素在四个位置全排列，根据分步计数原理两个过程的结果数相乘得到结果.解答：由题意知先把5本书中的两本捆起来看做一个元素共有C52,这一个元素和其他的三个元素在四个位置全排列共有A44,所以分法种数为C52・A44=240.名额分配问题隔板法：例7：10名优秀学生全部保送到7所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种？由题意知十个报送名额之间没有区别，可将原问题转化为10个元素之间有9个间隔，要求分成7份，每份不空，使用插空法，相当于用6块档板插在9个间隔中，计算可得答案.解答：根据题意，将10个名额，分配给7所学校，每校至少有1个名额，可以转化为10个元素之间有9个间隔，要求分成7份，每份不空；相当于用6块档板插在9个间隔中，共有C96=84种不同方法.所以名额分配的方法共有84种.限制条件的分配问题分类法:例8.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？解析：因为甲乙有限制条件，所以按照是否含有甲乙来分类，有以下四种情况：若甲乙都不参加，则有派遣方案A84种若甲参加而乙不参加，先安排甲有3种方法，然后安排其余学生有A83种方法，所以共有3A83种方法；若乙参加而甲不参加同理也有3A83种若甲乙都参加，则先安排甲乙，有7种方法，然后再安排其余8人到另外两个城市有A82种，共有7A82方法。所以共有不同的派遣方法总数为4088种。多元问题分类法：元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数再相加。例9(1)由数字0，1，2,3,4,5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有多少？由题意知本题是一个分类计数问题，由题意知个位数字小于十位数字，个位数字只能是0,1,2,3,4共5种类型，每一种类型分别有A55个、A41A31A33个、A1A1A31A1A31A3、木日毋+断用T田徂至il玄士里11.311313333、233、33，解答：由题意知本题是一个分类计数问题由题意知个位数字小于十位数字，所以个位数字只能是0,1,2,3,4共5种类型，每一种类型分别有A5个A1A1A3个A1A1A3个A1A1A3个A1A3个5i、433i、333〔、233〔、，331EFrINJar+A1AiAz+AiAiAz+AiAiAz+AiA—Rnn所\^^^/、^有A&511311311313|^=3UU,(2)在1,2,3,…，1000中，能被5整除的数一共有多少个解题：由1,2,3，…，1000中，能被5整除的数，第一个数是5,最后一个数是1000,所有的这些数构成了一个公差为5的等差数列，由等差数列的性质计算出项数即可解答：解：由题意1,2,3，…，1000中，能被5整除的数，第一个数是5,最后一个数是1000,所有的这些数构成了一个公差为5的等差数列，故有1000=5+5(n-1)解得n=200所以答案为200交叉问题集合法：某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数公式例10.从6名运动员中选出4人参加4X100米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同的参赛方案？本题可以用两种不同的方法来解，第一种方法问题分成甲、乙两人均不参加，甲、乙两人有且仅有一人参加，甲、乙两人均参加，列出结果数，根据分类计数原理得到结果.第二种解法是先做出所有的情况六人中取四人参加的种数，减去甲、乙两人中至少有一人不排在恰当位置的种数，这样就重复剪掉了两个人同时不合题意的结果数，再加上.解答：法一：有题意知本题是一个分类计数问题，问题分成三类：(1)甲、乙两人均不参加，有A44种；甲、乙两人有且仅有一人参加，有2C43(A44-A33)种；甲、乙两人均参加，有C42(A44-2A33+A22)种.故共有252种.法二：六人中取四人参加的种数为A64，除去甲、乙两人中至少有一人不排在恰当位置的有C21A53种，因前后把甲、乙两人都不在恰当位置的种数A42减去了两次.故共有A64-C21A53+A42=252种.注意：对于带有限制条件的排列、组合计数原理综合题，一般用分类讨论或间接法两种方法处理.比如五个人站成一排，甲不在排头，乙不在排尾的方法数.定位问题优先法：某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素;再排其它的元素。例11.若4名男生，4名女生排成一排，女生不排两端，则有多少种不同排法？本题是一个有限制条件的站队问题，根据4名男生，4名女生排成一排，女生不排两端，可以先从4个男生中选2个排在两端，其余6个人在中间的6个位置上全排列，得到结果.解答：解：由题意知4名男生，4名女生排成一排，女生不排两端，可以先从4个男生中选2个排在两端，其余6个人在中间的6个位置上全排列，共有A42A66=8640种结果，故答案为：8640注意：站队问题是排列组合中的典型问题，解题时要先排限制条件多的元素，把限制条件比较多的元素排列后，再排没有限制条件的元素，最后要用计数原理得到结果.多排问题单排法:把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理。例12,有两排座位，前排4个座位，后排5个座位，现安排2人入座，并且这2人不相邻(一前一后也视为不相邻)，那么不同坐法的种数为多少按两人在前排、后排、前后各一人，三种情况，一一求解即可.解答：解：两人都在前排，方法是3X2=6种，两人都在后排，方法是6X2=12种；前、后各一人，方法是5X4X2=40种；符合题意的方法是：6+12+40=58种“至少”“至多”问题用间接排除法或分类法:例13.从4台甲型和5台乙型电视机中任取3台，其中至少要甲型和乙型电视机各一台，则不同的取法共有多少？分步乘法计数原理.分析：本题既有分类计数原理也有分步计数原理.解答：甲型1台与乙型电视机2台共有4・C52=40；甲型2台与乙型电视机1台共有C42・5=30；不同的取法共有70种注意：注意分类计数原理和分步计数原理都存在时，一般先分类后分步.选排问题先取后排:从几类元素中取出符合题意的几个元素，再安排到一定的位置上，可用先取后排法・例14.(1)四个不同球放入编号为1，2,3,4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法有多少种？由题意知需要先选两个元素作为一组再排列，恰有一个盒子中有2个小球，从4个小球中选两个作为一个元素，同另外两个元素在三个位置全排列，根据分步计数原理得到结果.解答：四个不同的小球放入编号为1,2,3,4的四个盒子中，恰有一个空盒，说明恰有一个盒子中有2个小球，从4个小球中选两个作为一个元素，同另外两个元素在三个位置全排列故共有C42A43=144种不同的放法.所以答案为144.注意：本题考查分步计数原理，是一个基础题，解题的过程中注意这种有条件的排列要分两步走，先选元素再排列.部分合条件问题排除法:在选取的总数中，只有一部分合条件，可以从总数中减去不符合条件数，即为所求-例15.以正方体的顶点为顶点的四面体共有多少？以一个正方体的顶点为顶点中任意选4个除去在同一个平面上的点，可得四面体的个数.解答：正方体的8个顶点中任取4个共有C84=70个不能组成四面体的4个顶点有，已有的6个面，对角面有6个所以以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有：70-12=58个圆排问题单排法:把个不同元素放在圆周n个无编号位置上的排列，顺序(例如按顺时钟)不同的排法才算不同的排列，而顺序相同(即旋转一下就可以重合)的排法认为是相同的，它与普通排列的区别在于只计顺序而首位、末位之分，下列n个普通排列：如:一亢二一乏,之一土，•上-一宏:土_「在圆排列中只算一种，因为旋转后可以重合，故认为相同，n个元素的圆排列数有n!/m种.因此可将某个元素固定展成单排，其它的n-1元素全排列・例16.一环形花坛分为A、B、C、D四块，要求在每块里种一种花，且相邻的2块种不同的花.若在三种花种选择两种花种植，有多少种不同的种法？若有四种花可供选择，种多少种花不限，有多少种不同的种法？本题是一个分步计数问题，三种花中选择2种花有C32种方法.对应每一种选法有两种种法.得到结果.本题是一个分步计数问题，A有4种选择，B有3种选择，若C与A相同，则D有3种选择，若C与A不同，则C有2种选择，D也有2种选择，得到结果.解答：(1)由题意知本题是一个分步计数问题，三种花中选择2种花有C32=3种方法.对应每一种选法有两种种法.依据分步计数原理，共有2C32=6种种法.(2)由题意知本题是一个分步计数问题，A有4种选择，B有3种选择，若C与A相同，则D有3种选择，若C与A不同，则C有2种选择，D也有2种选择故共有4X3X(3+2X2)=84(种)注意：本题解题的关键是看清条件中对于元素的限制，相邻两块地所中的花要不同.17-可重复的排列求幂法:允许重复排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可逐一安排元素的位置，一般地n个不同元素排在m个不同位置的排列数有多少种方法・例17把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法？解析：完成此事共分6步，第一步；将第一名实习生分配到车间有7种不同方案，第二步：将第二名实习生分配到车间也有7种不同方案，依次类推，由分步计数原理知共有76种不同方案.复杂排列组合问题构造模型法:例18.某城市新修建的一条道路上有12盏路灯，为了节省用电而又不能影响正常的照明，可以熄灭其中的3盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，则熄灯的方法有多少种？根据题意，先将亮的9盏灯排成一排，分析可得有8个符合条件的空位，用插空法，再将插入熄灭的3盏灯插入8个空位，用组合公式分析可得答案.解答：本题使用插空法，先将亮的9盏灯排成一排，由题意，两端的灯不能熄灭，则有8个符合条件的空位，进而在8个空位中，任取3个插入熄灭的3盏灯，有C83种方法，注意：本题考查组合的应用，要灵活运用各种特殊方法，如捆绑法、插空法.元素个数较少的排列组合问题可以考虑枚举法：例19.设有编号为1，2,3,4,5的五个球和编号为1，2,3,4,5的盒子现将这5个球投入5个盒子要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的号码与盒子号码相同，问有多少种不同的方法？本题投放球有两种方法，一种是投入到与编号相同的盒子内，另一种是投入到与编号不同的盒子内，故应分步完成.先在五个球中任选两个球投放到与球编号相同的盒子，剩下的三个球投放球的方法要注意列举，根据分步计数原理得到结果.解答：由题意知本题投放球有两种方法，一种是投入到与编号相同的盒子内，另一种是投入到与编号不同的盒子内，故应分步完成.因为先在五个球中任选两个球投放到与球编号相同的盒子内有C52种；剩下的三个球，不妨设编号为3,4,5,投放3号球的方法数为C21，则投放4，5号球的方法只有一种，根据分步计数原理共有C52・C2i=20种.注意：五个球分别投放到五个盒子内，恰好有两个球的编号与盒子的编号相同，则其他三个球必不能投放到与球的编号相同的盒子内，此时，这三个球与对应的三个盒子，就成了受限的特殊元素与特殊位置.复杂的排列组合问题也可用分解与合成法:例20.以正方体的顶点为线段的端点，则这8个点可构成的异面直线的对数为多少？通过对异面直线的两条线进行分类分了4类，每一类中求得异面直线的对数，再求出四类的和即可.解答：解：正方体任意两条对角线必相交；包含一条对角线的异面直线对数有，（6+6）X4=48对；不含任何一条对角线的，即都位于6个面上的，两条面对角线的有（5X12）《2=30对，一条面对角线和一条边的有6X12=72，两条边的有（4X12）^2=24，所以共有48+30+72+24=174对异面直线注意：这个就和几何联系在一起，判断两条直线是否是异面直线，一般利用异面直线的判定定理：过平面外一点与平面内不过该点的直线是异面直线.利用对应思想转化法:对应思想是教材中渗透的一种重要的解题方法，它可以将复杂的问题转化为简单问题处理・例21,在一个圆周上有10个点，把它们两两相连，问共有多少条不同的线段？顺次连接各点得到一个1