(名师导学)2020版高考数学总复习第二章函数第8讲函数的奇偶性、周期性与对称性练习理(含解析)新人

第8讲函数的奇偶性、周期性与对称性丿夯实基础S】【学习目标】理解函数奇偶性的概念，了解函数周期性的定义，判断函数的奇偶性.利用函数奇偶性、周期性求函数值及参数值.掌握函数的单调性与奇偶性的综合应用.【基础检测】1.下列函数中,1.下列函数中,是偶函数的是(A.y=|x?+xIA.y=|x?+xI&y=2lM|C・y=x3+xD.y=/gx【解析】4项代入一x,得，=Ix2-x|,与原函数不相等,所以不是偶函数.8项代入一x,得y=2七与原函数相等，所以是偶函数.C项代入一X,得y=-x3-x,与原函数不相等，所以不是偶函数.。项定义域没有关于原点对称•所以不是偶函数.【答案】B2.设函数y=f(x)定义在实数集R上，则函数与y=fix-的图象2.关于直线*=0对称关于直线，=0对称关于直线y=a对称关于直线x=a对称【解析】令t=x—a,因为函数v=術误!与y=您误!的图象关于直线t=0对称，所以函数/=储误!与*=儲误!的象关于直线x=a对称.【答案】D3.若函数，(*)为奇函数，且在(0,+8)上是増函数，又。(2)=0,则错误!V0的解集为()(-2,0)U(0,2)(-00,-2)U(0,2)0.(一8,-2)U(2,+8)D.(一2,0)U(2,+8)【解析】由奇函数的性质以及特殊点可作出如下简图:由奇函数定义化简解析式:错误!=错误!V0,即f(x)与，异号即可，由图象可知当一2<K0或0<x<2时，(*〉与x异号.【答案】A已知心是定义在R上的偶函数,且f(x+2)=错误!对xER恒成立，当姮[0,2]时，f(x)=2',则储误!=( )Ao错误！B.错误！C.错误！D.-1【解析】Vf(x+2)=错误!，..・f(x+4)=错误!=f(0对x£R恒成立,..”(*)的周期为4,又因为f(x)是定义在R上的偶函数,上触误!=催误!=儲误！,・.•当xG[0,2]时，f(x)=2', 误!=错误!。【答案】B设f3是定义在R上的奇函数，在错误!上单调递减，且f(x-1)=f(-X),给出下列四个结论：f(1)=0；f(x)是以2为周期的函数；，(x)在错误!上单调递减；m，+i)为奇函数.其中正确命题序号为 .【解析】①..•函数「(X)是定义在R上的奇函数，."(0)=0,f(-X)=T(x),又(一x)=f(x-D,.."(1)=一f(一1)=一f(0)=0,正确.是奇函数，且，(一必=。(，一1),・"(l1)=T(x),."(x+2)=f(x),..・函数f(x)的周期是2,正确.(X)是奇函数，f(x—1)=—f(x),:.f(1—X)=f(x),即函数f3关于X=错误!对称，.・*(x)在错误!上单调递减，・.・「(*)在錯误!上单调递增，不正确.・.・f(Q是奇函数，函数f3的周期是2,.•./(—*+1)=f(―X—1)=—f(x+1),•.・r(x+1)是奇函数,正确.【答案】dx2)④【知识要点】函数奇偶性的定义一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个X:都有_f(-x)=-f(x[_.那么函数f(x)就叫做奇函数;(2)都有_f(—x)=f(x)__,那么函数f(x)就叫做偶函数.奇函数的图象是关于_舞—成中心—对称图形,若奇函数的定义域含有数0,则必有f(0)=0:偶函数的图象是关于—国L_成蛰对称图形，对定义域内的任意X的值,必有f(―x)=f(x)=f(Ixl)・奇、偶函数的性质奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性.在公共定义域内两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数;两个偶函数的和、积都是偶函数;一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数.周期性(1)周期函数:对于函数y=f(x).如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x+T)=f(x),那么就称函数y=f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中有最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.三个重要结论⑴若对于R上的任意的x都有fQa-x)=，3)或f(-x)=f(2a+x),则y=f(x)的图象关于直线*=3对称.⑵若对于R上的任意x都有fQa-x)=f3、且/(28—0=，(0(其中a3),则*=f(x)是以2。一曲为周期的周期函数.若r(x+a)=f(x+b)(a林)，那么函数f(x)是周期函数，其中一个周期为T=Ia—b\.=*= 典例剖析【p“】考点1函數奇僵性的判断错误！(1)下列函数为奇函数的是()y=lnxB.y=eMC.y=xainxD.y=eK—ex【解析】对于选项A,定义域为(0,+8),不关于原点对称，故不是奇函数.所以选项A错；对于选项8,干(一9=/=错误!学一千(x),故选项B错；对于选项C,f(-x)=-xsin(-X)=-x(-sinx)=xsinx=f(x),所以v=xGnx为偶函数，故选项C错；对于选项D,f(―x)=eB—e,=—(eM—eM)=—f(x),所以函数 '为奇函数，故选项D正确.【答案】D(2)设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f3是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是()f(x)g(x)是偶函数B.|f(x)\g(x)是奇函数C.f(x)Ig(.x)I是奇函数D.|f(x)g(，)I是奇函数【解析】因为，(一X)g(-X)=-f{x)g(x),所以fMg(x)是奇函数；因为|f(-x)lg(-x)=IfM|g(x)，所以|f(x)|g(x)是偶函数；因为，(一x)lg(-x)|=-f(x)3(x)1,所以f(x)\g(x)I是奇函数;因为Ir(—x)g(—x)|=|f(x)g(x)I,所以Ig(x)|是偶函数.【答案】c已知函数f3x)=/一错误!,则下列判断正确的是( )A.f(x)是偶函数不是奇函数fM是奇函数不是偶函数心既是偶函数又是奇函對f(x)既不是偶函数也不是奇函数【解析】该函数的定义域为R,「(_*)=(-X)2—错误!=y—错误！=错误!=错误!=错误！=一＞+错误!=-f(x),所以函對f所以函對f(X)是奇函数,5(1)=1-|=错误!，f(一1)=1一错误!=一错误!,所以函数f(x)不是偶函数.【答案】B【点评】判断函数的奇偶性包括两个必备条件:(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域;(2)判断f(x)与产(一0是否具有等量关系,可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)+f(—0=0(奇函数)或=0(偶函数))是否成立・考点2函数的奇偶性的应用错误！(1)已知函数f(x)=asinx+btanx-1(a,beR),若f(-2)=2018,则f(2)=()A.-2020B.2019C.-2018D.2017【解析】函数f(x)=asinx+btanx—1(.a,Z?CR),贝U =asin(—*)+员an(—*)—1=—为inx—Manx—1,即有f(_x)+f(x)=一2,又f(-2)=2018,则f(2)=一2—f(2)=—2—2018=-2020.【答案】A(2)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-2)=-f(x),且在［0,1］上是増函数，则有()儲误！〈储误！〈储误！題误K舖误K储误！儲误！〈柵误！〈儲误！備褒!〈储误!〈備设！【解析】由题设知f(x)=-f(x-2)=f(2-x),所以函数f(x)的图象关于直线x=1对称.又函数心是奇函数，其图象关于坐标原点对称,由于函数，a）在to,u±是增函数，故?（,）在［一1,。］上也是增函数,综上，函数f（X）在［一1,1］上是増函数，在［1.3］上是减函数.又催误!=催误!=儲误!，所以储误!〈儲误!〈儲误！=储误!。所以储误!〈儲误!〈儲误！=储误!。【答案】B（3）若函数（3）若函数fM=错误!是偶函数，则该函数的定义域是 【解析】因为函数心=错误!是偶函数，则不=0,函数心=错误!的定义域满足8—【解析】因为函数2/N0,解得一2WxW2,故函数的定义域为［一2,2］.【答案】［—2,2］（4）已知f3是定义域为R的偶函数，当Q0时，产（x）=j—4x,那么，不等式产顷+2X5的解集是 ・【解析】由函数特点绘出函数的图象如图，可求得函数与尸5的交点坐标为（一5,5）,（5,5）,要使f(x+2)<5,则有一5<x+2<5=>-7<x<3,故解集为(一7,3).【答案】（一7,3）【点评】已知函数奇偶性可以解决以下问题:（1）求函数值，将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解;（2）求解析式,将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求岀;

求解析式中的参数，利用待定系数法求解；画函数图象，利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象.考点3函数的周期性与对称性及应用错误！(1)已知函数f(x)(xeR)满足f(1+x)=f(1-x),，(4+*)=f(4-x),且一3VxW3时.，(*)=ln(x+错误!)，则f(2020)=( )A.0B.1C.In(错误!一2)D.In(错误！+2)【解析】因为f(1+x)=f(1-x),f(4+x)=f(4-x),所以f(x)=f(2-x),f(x)=f(8-x),.・・f(2—x)=f(8-x),..・r=8_2=6,f(2020)=f(-2)=1"错误!一2).【答案】C已知函数fix)与函数g(x)=(x-1)2的图象关于*轴对称，若存在WR,使xE[1,xE[1,ni\(両〉1)时,f(x+a)W4x成立，则m的最大值为(A.3B.6C.9D.12【解析】由于函数f(x)与函数g(x)=(Z-1)2的图象关于*轴对称.因此f(X)=(X+1)2,由f(x+a)W4x得(x+a+1)、4x,把x=1代入得一4WaW0。当a=0时，3+因此zn的最大值为9。1)M4x,解得x=1,当a=-4时.(因此zn的最大值为9。【答案】C已知fM是定义在R上的以3为周期的偶函数，若f(1X1,f(5)=错误!，则实数a的取值范围是()A.一1«<4B.-2〈永1C.-1<a<2D.-1〈水0【解析】因为，(x)是定义在R上的偶函数，且以3为周期，所以f(5)=f(2)=f(2-3)=f(-1)=f(1)<1,即^^〈1,解得一1〈a〈4.【答案】A【点评】(1)判断函数的周期性只需证明f(.x+r)=，(*)(7^0)即可，且周期为T.(2)根据函数的周期性，可以由函数的局部性质得到函数的整体性质，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题.(3)在解决具体问题时，要注意结论“若7•是函数的周期.则kT 且&右0)也是函数的周期"的应用.函数周期性的三个常用结论(/0):若f(x+a)=—f(x),则T=2a,若f(x+a)=ft误!，则T=2a,若f(x+a)=一错误!，贝ljT=2a(5)函数对称性代数表示：函数f(x)为奇函数(x)=-f(-x),函数f(x)为偶函数=f(—効(定义域关于原点对称)；函数f3关于点(a,b)对称of(x)+f(-x+2a)=2b,函数f3关于直线x=m对称=f(—x+2m)・考点4函敷性质的综合应用错误！(1)奇函数f(x)的定义域为R,若f(x+1)为偶函数，且f(1)=2,贝IJf(4)+f(5)的值为( )A.2B.1C.-1D.-2【解析】・wa+i)为偶函数，・..。(一*+1)=f(x+D,则f(-x)=f(x+2),又y=f3为奇函数，则 =f(x+2)，且f(0)=0«从而f(x+4)=—f(x+2)=f(x).y=fM的周期为4。Af(4)+f(5)=f(0)+f(1)=0+2=2.【答案】A(2)函数f)x)対任意的实数x都有f(x+2)-f(x)=2f(1),若y=f(x~1)的图象关于X=1对称，且》(0)=2,则储误!+偷误!=(A.0B.2C.3D.4【解析】因为y=f(x-1)的图象关于x=1対称，所以/=「(*)的图象关于*=0对称，即f3为偶函数，因为f(x+2)一。(x)=2f(1),所以打一1+2)—十一1)=2氏1),所以f(1)=0,f(x+2)=f(x),因此儲误!=储误!=0.儲误!=儲误!=2,儲误!+儲误！=2。【答案】B(3)已知函数f(x+1)为偶函数，且心在(1.+8)上单调递增，，(一1)=0,贝IJf(x-1)>0的解集为()A.(—8,0)U(4,+8)(一8,-1)u(3,+oo)(—8,—1)u(4,4-oo)(一8,0)U(1,+8)【解析】因为函数/(x+1)为偶函数得，所以f(0关于X=1对称，因为「3)在(1,+8)上单调递増，所以f3在(一8,1)上单调递减,因为代一1)=0.所以f(3)=0,因此由f(xT)〉0得x-1>3或*一1<~1.解得x>4或XOo【答案】A【点评】(1)关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题,关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题.(2)掌握以下两个结论，会给解题带来方便：①f(x)为偶函数=f(x)=f(Ix|).②若奇函数在x=0处有意义，则f(0)=0。函数的奇偶性、周期性是在整个定义域内讨论的整体性质，要正确理解奇函数与偶函数、周期函数的定义.必须注意以下几点:(1)奇、偶函数的定义域关于原点对称.周期函数的定义域是无界的.(2) (0或f(-X)=f(x)和f(x+7)=f(x)("0)是定义域上的恒等式.(3)若7■是心的一个周期，则kT(奸0,AGZ)也是f3的周期.f3为奇函数的图象关于原点对称；f(x)为偶函数53的图象关于y轴对称；f(x)是周期函数，则f(x)的图象周期性重复岀现.判断函数的奇偶性的方法：定义法、图象法、性质法.函数的奇偶性与周期性是函数的两个重要性质，它们又存在着一定的联系，特别是存在两条对称轴的函数，一定是一个周期函数,且最小正周期是相邻两条对称轴之间距离的2倍.[p1B)(2018•全国卷II)已知f(x)是定义域为(一吃+8)的奇函数.满足0(1—*)=f(]+x).若氏1)=2•则f(1)+f(2)+f(3)+…+2(50)=( )-50B.0C.2D.50【解析】因为f顷)是定义域为(一8,+8)的奇函数，且。(1一*)=。(1+x)，所以f(i+x)=T(l),f(3+x)=—f(x+1)=f(x—1), r=4,因此f(1)+f(2)+f(3)+・・・+f(50)=12[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)] ⑴+f(2).因为f(3)=—f(l),f(4)=-f(2)，所以『⑴+f(2)+f⑶+f(4)=0,.・*(2)=「(一2)=T⑵,/.f(2)=0.从而f(1)+f(2)+f(3)+・・・+f(50)=f(1)=2.【答案】C<2016-上海〉设久x)、g(x)、h(x)是定义域为R的三个函数，对于命题：①若f(x)+g(x)、f(x)+A(x)、g(x)+/?(x)均为増函数，则f(x)、g(x)、h(x)中至少有一个增函数；②若r(x)+g(x)、ra)+方(x)、g(x)+力(*)均是以7■为周期的函数•则f(X)、g(x)、h(x)均是以7■为周期的函数，下列判断正确的是(【答案】【答案】C【答案】【答案】B①和②均为真命题①和②均为假命题①为真命题，②为假命题①为假命题，②为真命题【解析】①不成立，可举反例心=错误!g(X)=错误!h(0=错误!②f(x)+g(x)=f{x+D+g(x+D,f(x)+力(x)=f(x+D+h(x+T),g(x)+/?(*)=g(*+7)+h(x+7).前两式作差，可得g(x)—/»(x)=g(x+7)—h(x+D,结合第三式，可得g(x)=g(x+7),h5=Mx+D・也有f(x)=f(x+7),.・.②正确，故选D。【答案】D，考点集训A组題1-函数f(2x+1)是奇函数.则函数心的对称中心为( )A.(0.0)B.(1.0)C.(-1,0)Do错误!【解析】Vf(2x4-1)是奇函数,・・・f(2X0+1)=f(1)=0.Af(x)对称中心为(L0).2.若函数f(x)(xGR)是偶函数，则下列各点中必在y=f(x)图象上的是()(—a,f3))(—a,—f(a))(一a,-f(-a))(a,—，(一a))【解析】由于函数f(x)图象必过点(a,f3),且函数f(x)(xeR)是偶函数，所以函f(a).所以函数一定经过(一a,f数f(x)经过点(一f(a).所以函数一定经过(一a,f(a))和3,/(-&))・【答案】A设f(x)是周期为2的奇函数，当0时，f(x)=2x(1-x).则備误!=( )A.一错误！B.一错误！C.错误！D.错误!【解析】働误!=一储误!=一僻误!=一僻误!=-2X错误!错误!=一错误!。【答案】A已知函数心,满足y=f(-x)和y=f(x+2)均为偶函数，且f(1)=错误!，设g(x)=f(x)+f(—X),则g(2019)=( )A.错误！B.错误！C.nD.错误！【解析】由题意可得：r(一*)=。(必，f(x+2)=f(-x+2)=f(x-2),故f(x)=f(x+4),周期为4。g(2019)=f(2019)+f(-2019)=f(.3)+f(-3)=f(-1)+f(1)=2f(1)若f(x)=ln(e'+1)+奴是偶函数，则件 【解析】•.・f(x)是偶函数，.・・f(-1)=f⑴,.LIn错误\—k=In(e+1)+4,解得k=-错误!，经检验k=一错误!符合题意.【答案】一错误!已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对于任意的xER都有f(x+4)=f(x)+。(2),户(1)=4,贝I]f(3)+f(10)的值为 .【解析】・.•函数f(x)是定义在R上的偶函数，.・・f(x)=/(—*),・.*(x+4)=f(x)+f(2),令，=一2,可得f(2)=f(-2)+f(2).则f(-2)=0,f(2)=f(-2)=0,f(x+4)=f(x),・.・r3是以4为周期的函数,:・f(10)=f(6)=f(2)=0,・・*(1)=4,Af(3)=f(-1)=f(1)=4,则f(3)+f(10)=4+0=4.【答案】4已知函数fM是定义在(一8,0)U(0,+oo)上的不恒为零的函数，对于任意非零实数冬8满足，(泌)=，(&)+「(力)，且当X〉1时，有f(x)>0o⑴判断并证明尸r(x)的奇偶性;(2)求证：函数f3在(0,+8)上为增函数，并求不等式fU-1)<0的解集.【解析】(1)f(X)是偶函数.证明：由已知得f(1)=^(1)+f(1),Af(1)=0,f(1)=f(-1)+f(-1),Af(-1)=0,f(-x)=f(-1)+f(x),即，(一x)=f(x),所以f(x)是偶函数.(2)设x»2〉0,则错误!〉1,...梅误!>0.所以f3)=魂误!=儲误！+，3)>f(x2),所以f3在(0,+8)上为増函数.因为，(*一1)〈0=广(1),又fM是偶函数，所以有Ix-1|<1,解得0<x<2....不等式f(I)〈0的解集为(0.2).已知函数f(x)=¥—2&(1)当xE错误!时，求函数f3的值域;(2)若定义在R上的奇函数g(*)对任意实数x,恒有g(x+4)=g(x),且当xG［0,2］时，g3=f3，求g(1)+g(2)+・・・+g(2020)的值.【解析】(1)由题意得f(x)=V-2x=(x-1)2-1f..・，(x)在错误!上单调递减，在［1,3］上单调递増..••当x=1时，f(x)取得最小值，且［，(x)］少=一1又題误！=一错误！，，(3)=3,「.［/(*)］…=3.・.・函数r(x)的值域是［-1,3］.⑵由g(x+4)=g(x)可得函数g(x)的周期1=4,g(1)=f(1)=—1,g(2)=f(2)=0,g(3)=g(—1)=—g(1)=1,g(4)=g(O)=f(0)=0,.・・g⑴+g⑵+g(3)+g(4)=Q・.・g(1)+g(2)+・・・+g(2020)=505[g(1)+g(2)+g(3)+g(4)]=0.B组题1-已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且它的图象关于直线x=1对称,若函数f(x)=错误！(0〈xW1),则f(-5.5)=()Ao错误！B.1.50.-错误！D.-1.5【解析】因为函数f(x)是定义在R上的奇函数,所以可得.又因为它的图象关于直线x=1对称.所以可得产(x)=f(2-x)・由上面两式可得一f(-X)=f(2-x).由此可递推得f(2-x)=-f(-X)=f(-2-x)・所以函数f3周期为4.所以f(-5o5)=f(-1.5)=-f(1o5)=-f(2-1.5)=-f(0o5)=-错误!。【答案】C2.已知f3是定义在R上的奇函数，当时，f3=x+2x,若f(2-a)>f(a)•则实数a的取值范围是【解析】.W(x)是奇函数，..•当，V0时”3=一孑+2心作岀函数f(x)的大致图象如图中实线所示，结合图象可知f3是R上的増函数，由fQT)>0),得2一。a,解得一2V&V1。【答案】(-2,1)3.已知定义在R上的函数y=f3满足条件儡误!=一,且函数y=储误!是奇函数.给出以下四个命题：①函数f3是周期函数；②函数心②函数心的象关于点错误!对称;③函数f(x)是偶函對④函数f3在R上是单调函数.在述四个命题中，正确命题的序号是 在述四个命题中，正确命题的序号是 (写出所有正确命题的序号).【解析】对于①・・・M(x+3)=—储误!=f(x),..・函数心是以3为周期的周期函数，故①正确；对于②，..3=儲误!是奇函数，..•其图象关于原点对称，又函数心的图象是由y=f错误!的图象向左平移错误!个单位长度得到，所以函数f(x)的图象关于点错误!对称，故②正确；对于③，