电磁场习题解答

第1章矢量分析1.1/1.1-1矢径与各坐标轴正向的夹角分别为,,。请用坐标(x,y,z)来表示,,,并证明[解],得证.1.2/1.1-2设xy平面上二矢径、与x轴的夹角分别为、，请利用证明。[解]设则因、夹角为,如图所示,有比较上二式得,得证.1.3/1.1-3，，求：(a);(b);(c)[解](a)=(b)=(c)1.4/1.1-4用两种方法求1.1-3题矢量和的夹角。[解1][解2][解3]1.5/1.1-5设，，若使(a)，或(b)，则b和c应为多少？[解](a),则(b),则,故得b=3,c=-81.6/1.1-6设，为使，且的模B=1，请确定a、b、c。[解],则,故即又因,得1.7/1.1-7已知三个矢量如下：，，，请用两种方法计算(a)；(b)；(c)。[解](a)1.2.(b)1.2.(c)1.2.1.8/1.2-1已知，，在点（2，1，2）处，试求：(a);(b);(c)。[解](a)(b)(c)1.9/1.2-2设，，请用两种方法计算在（1，2，3）点的值。[解]1.2.1.10/1.2-3已知矢径,，试证:(a);(b)。[证](a)(b)1.11/1.2-4设电场强度,对直角坐标系第一象限内的正立方体，每边均为单位长，其中一个顶点位于坐标原点，请验证散度定理成立。[证]参看图1.2-5,但各边长为1,则上二积分结果相同,故1.12/1.2-5应用散度定理计算下述积分：,s是z=0和所围成的半球区域的外表面，球坐标体积元为。[解]1.13/1.3-1设，求点（1，0，0）处的旋度及沿方向和方向的环量面密度。[解]1.14/1.3-2求下列矢量场的旋度：(a)；(b)。[解](a)(b)1.15/1.3-3设常矢量，矢径，试证[证]1.16/1.3-4已知,，试证(a);(b)，，是r的函数。[证](a)(b)1.17/1.3-5设，试计算面积分，s为xy平面第一象限内半径为3的四分之一圆，即x的积分限为(0,),y的积分限为（0,3）,并验证斯托克斯定理。[解]又由上,,斯托克斯定理成立.1.18/1.4-1求标量场在点(2,2,0)处的梯度及沿方向的方向导数。[解]1.19/1.4-2求标量场在点P(2,2,1)处的最大变化率值及沿方向的方向导数。[解]1.20/1.4-3已知，试求：(a)，n为正整数；(b)，是r的函数。[解](a)(b)1.21/1.4-4已知c为常数,和为常矢量，矢径。试证：(a)；(b)；(c)。 [证](a)(b),(c)1.22/1.6-1已知P点的直角坐标为(2,2,1)，请确定其柱坐标和球坐标。[解]柱坐标:球坐标:or1.23/1.6-2已知z=0平面上源点的矢径为，场点位于其矢径为，且有、，试证源点至场点距离为。注：当，。[证]1.24/1.6-3在r=1和r=2两个球面之间的区域存在电通量密度，请计算：(a)；(b)；(c)验证散度定理。[解](a)(b)(c)由(a)、(b)可见散度定理成立.1.25/1.6-4若(a),(b)，请解出满足方程的。[解](a)故，，， ,得 (b)故1.26/1.6-5试求和设:(a);(b);(c)+。[解](a)(b)(c)/1.6-6设，k=常数，试证：。[证]/1.6-7证明下列函数满足拉普拉斯方程(a),;(b);(c)。[证](a)(b)(c)得证PAGEPAGE124第2章电磁场基本方程2.1/2.1-1设空气中有一半径为a的电子云，其中均匀充满着密度为ρv的电荷。试求球内（r<a）和球外（r>a）任意点处的电通密度和电场强度及和。[解]应用高斯定理,取半径为r的同心球面为高斯面.1)r<a:2)r>a:2.2/2.1-2设空气中内半径a、外半径b的球壳区域内均分布着体密度为ρv的电荷。试求以下三个区域的电场强度及：(a)r<a；(b)a<r<b；(c)r>b.[解]应用高斯定理,取半径为r的同心球面为高斯面.(a)r<a:(b)a<r<b:(c)r>b:2.3/2.1-3一半径等于3cm的导体球，处于相对介电常数εr=2.5的电介质中，已知离球心r=2m处的电场强度E=1mv/m，求导体球所带电量Q[解]由高斯定理知,2.4/2.1-4一硬同轴线内导体半径为a，外导体内外半径分别为b、c，中间介质为空气（题图2-1）。当内外导体分别通过直流I和-I时，求：(a)内导体（<a）；(b)内外导体之间（a<<b）；(c)外导体中（b<<c）三个区域的和。[解](a) 应用安培环路定律， 题图2-1同轴线横截面图 ， (b),(c),2.5/2.2-1一矩形线圈与载有电流I的直导线同平面，如题图2-2所示。求下述情况下线圈的感应电动势：a)线圈静止，I=I0sinωt；b)线圈以速度向右边滑动，I=I0。[解](a)应用安培环路定律,题图2-2载流直导线与矩形线圈（b）2.6/2.2-2一平行板电容器由两块导体圆片构成，圆片半径为a，间距为d，d<<a，其间填充介电常数为ε、磁导率为μ0的介质。在电容器中心加一正弦电压U=U0sinωt。(a)求介质中的电场强度和磁场强度；(b)求介质中位移电流总值，并证明它等于电容器的充电电流；(c)设介质电导率为σ，求介质中传导电流与位移电流之比。若εr=5.5，σ=10-3S/m，f=3×106Hz，此比值多大？[解](a)(b).得证.(c)振幅振幅2.7/2.3-1麦克斯韦方程组为什么不是完全对称的？[答]自然界中存在电荷和电流,但并无单独存在的磁荷及磁流;电场是有散场而磁场是无散场,因而不对称.2.8/2.3-2试由表2.3-1中麦克斯韦方程组（b）（c）导出电流连续性方程（e）。[解]由将式(c)代入上式得,此即电流连续性方程(e)2.9/2.3-3已知真空中无源区域有时变电场。a)由表2.3-1的麦克斯韦方程（a）求时变磁场；b)证明。[解](a)时变场中无恒定成分,故C=0,得(b)由Maxwell方程(b),又,从而得2.10/2.3-4设，请导出矢量波动方程（2.3-2）的三个标量方程。[解]式中由2.11/2.3-5试证：在简单媒质中存在场源时，电场强度和磁场强度分别满足非齐次矢量波动方程（2.3-4）和（2.3-5）。[证]由Maxwell方程组(a)、(b)及(c)得由Maxwell方程组(a)、(b)及(c)可得2.12/2.3-6应用麦氏方程组导出RLC并联电路的下述电流方程：[解]由Maxwell方程组(),对a端环线所围截面S,有故U对R:对L:对C:令得2.13/2.4-1验证2.1-1题r=a处的电场边界条件。[证]处有.满足边界条件2.14/2.4-2验证2.1-2题r=a和r=b处电场边界条件[证]处有处有.满足边界条件2.15/2.4-3验证2.1-4题ρ=a、ρ=b、ρ=c处和的边界条件。[解]处：处：处：2.16/2.5-1半径为a的圆形平行板电容器间距为d<<a，其间填充电导率为的介质，二极板间加直流电压U0。(a)求介质中的电场强度和磁场强度；(b)求介质中的功率密度，并证明总损耗功率的公式与电路理论中相同。[解](a) 题2.5-1图(b) 上式即电路理论中的欧姆损耗，R为欧姆电阻。又， 可见，输入电容器的功率等于有耗介质中的欧姆损耗功率。2.17/2.5-2对例2.5-2的同轴线，若外导体圆筒的外半径为c，即圆筒壁厚为（c－b），而且它是良导体，σ≠0，试求其内表面处的坡印廷矢量，并证明流入外导体的电磁功率等于其内部的热损耗功率。[解]与上式同，得证。2.18/2.5-3若场源位于封闭面S所包围的体积内部，令代表外加场源电流密度，即，则式（2.5-2）化为（2.5-2a）请导出此式，并说明其含义。[解]令，代入式（2.5-2）得 即（2.5-2a）此式说明，外加场源在封闭面内输入的功率等于该面内流出的电磁功率和该面所包围体积内电磁场储能的变化及体积内的热损耗功率之和。第3章静电场及其边值问题的解法3.1/3.1-1一个半径为a，壁厚d极薄的肥皂泡对无穷远点的电位为U0。当它破灭时假定全部泡沫集中形成一个球形水滴。试求此水滴（drop）对无穷远处的电位Ud。若U0=20V，a=3cm，d=10μm，则Ud=?[解]均匀带电球在场点处电场可由高斯定理得出：故均匀带电球表面至无穷远处的电位为（1）得肥皂泡带电量为水滴上将载有相同的电量，其电位也由(1)式得出，只是其半径为b，该半径可根据肥皂泡壁体积求出：得从而有3.2/3.1-2空气中有一半径为a的球形电荷分布，已知球体内的电场强度为（r<a），C为常数。求：a)球体内的电荷分布；b)球体外的电场强度；c)球内外的电位分布；d)验证静电场的电位方程。[解]a)由高斯定理，得(r<a)b)由，对球外区域得(r>a)c)取处为电位参考点，得d)得证。得证。3.3/3.1.3空气中有一半径为a，体电荷密度为ρv的无限长圆柱体。请计算该圆柱体内外的电场强度。[解]与该圆柱体同轴作一半径为、长为L的圆柱面，取该圆柱面及其上下底面为高斯面，有高斯面内电荷量为，从而由高斯定理知得得3.4/3.1-4已知空气中半径为a的圆环上均匀地分布着线电荷，其密度为ρl，位于z=0平面，试求其轴线上任意点P（0，0，z）处的电位和电场强度（参看图2.1-7，注意与之不同）。[解]圆环上点电荷在P(0,0,z)处产生的电位为故3.5/3.1-5已知空气中半径为a的圆盘上均匀地分布着面电荷，其密度为ρs，位于z=0平面，试求其轴线上任意点P（0，0，z）处的电位和电场强度（参看图2.1-7，注意与之不同）。[解]在圆盘上取一半径为，宽度为的圆环，其电荷量为。故该圆环在P点产生的电位为3.6/3.2-1在均匀介质内部任意点处，体束缚电荷密度总等于该处体自由电荷密度ρv的()倍，请证明之。[证]由式(3.2-6)，代入式(3.2-10)及式(3.1-2)知得证。3.7/3.2-2已知空气中有一导体球，半径为a，带电量为Q，其外面套有外半径为b、介电常数为ε的介质球壳。试求：a)r<a，a<r<b，r>b各区域的和；b)介质球壳中的体束缚电荷密度和其内外表面处的面束缚电荷密度。[解]a)利用高斯定理，取半径为r的球面为高斯面，得r<a::r>b:b)3.8/3.2-3平行板电容器的宽和长分别为a、b，两极板间距为d<<a、b，板间电压为U。a)电容器的左半空间（0~）用介电常数为ε的介质填充，b)电容器的下半空间（0~）用介电常数为ε的介质填充；另一半均为空气。请分别对a)、b)求下极板上的电荷密度及介质下表面的束缚电荷密度（参看题图3-1）。(a) (b)题图3-1二平行板电容器[解]a)方向:(上极板为正电荷,下极板为负电荷),(为方向，即介质表面外法线方向)又当时,介质表面束缚电荷:b),,方向:,又,于是:;,(上极板带正电荷,下极板带负电荷)时,束缚面电荷密度为:时,介质表面外法线方向为,所以:3.9/3.2-4一均匀带电无限长直导线，其线电荷密度为ρl=10-8C/m2，已知距导线10cm处的极化强度P=1.27×10-8C/m[解]因源为无限长直导线,故电场分布具有对称性，应用高斯定理:得:在-(库/米2)则,3.10/3.3-1对图3-1(b)所示平行板电容器，，求：a)二区域的电场强度和电位函数；b)电容，设平板面积为A0。[解]a)故,得取下极板为零电位，则校：b)极板上面电荷密度为其电荷量为故电容量为3.11/3.3-2对图3-1（a）所示平行板电容器，ε=3ε0，求其电容，设平板面积为A0。[解]故极板上面电荷密度为，其电荷量为故电容量为3.12/3.3-3对图3.1-3所示平行双导线，若左侧导线半径为a，而右侧导线半径为b，二者轴线相距d>>b>a，求其单位长度电容C1；若a=b，则C1=？[解]因d>>b>a，按例3.1-3同样的推导得空间任意点处电位为双线间电位为故单位长度电容为若a=b，则3.13/3.3-4对图3.4-2(a)所示同轴线，其内外导体半径分别为a、b，中间充填介电常数分别为的二层介质，分界面半径为c。求：a)二介质区域的电位函数和；b)单位长度电容C1。[解]a)由例3.4-1知，二介质区域电场强度分别为，取外导体为零电位，则b)由例3.4-1知，外导体表面线电荷密度为故单位长度电容为3.14/3.3-5对图3.4-2(b)所示同轴线，其外导体半径分别为a、b，部分填充介电常数为的介质，其余部分介电常数为。求单位长度电容C1。[解]由例3.4-1知，二区域的电场强度和其导体表面线电荷密度分别为，取外导体为零电位，则故单位长度电容为当，得3.15/3.3-6参看图3.3-5，设导线1为电力线，导线2为电话线，二者半径均为a，相距D，架高h。设电力线1上电压为U1，求电话线上的感应电压U2；若a=5mm，D=30m，h=12m，U1=5KV，则U2=？（参看例[解]由例3.3-2，故3.16/3.3-7参看例3.3-3和图3.3-6，若图中导体2与电缆壳相连，在导体1、2间加电压120V，求导体1、2上所带电量。[解]当导体2与电缆壳相连，，则导体1、2间工作电容为导体1、2上电量分别为3.17/3.4-1无限长同轴线内、外导体半径分别为a、b，外导体接地，由导体加电压U。请通过电位方程，求解内外导体间的电位和电场分布。其单位长度电容C1=？[解]例2.2已求得此题电场分布，现通过解电位方程来求。已知电位的边界条件是（参看图2-3）内外导体间任一点的电位满足拉氏方程：采用柱坐标，不随、z变化，因而拉氏方程化为其通解为根据边界条件和积分常数：解得，故得此结果与例1.2-2同。内导体处面电荷密度为则内导体单位长度线电荷密度为故单位长度电容为3.18/3.4-2参看例3.4-1和图3.4-2(a)，请由电位方程求解二介质层区域①②的电位和电场强度。[解]两区域之电位分别满足方程即,将上述方程积分两次分别得到解为根据边界条件确定常数A、B、、D:①;②;③则,解得,将常数代入表示式得:两区域的电场强度为:3.19/3.4-3一球形电容器的内、外导体球面半径分别为a、b，中间介质的介电常数为ε。设内球加电压U0，外球接地。试由电位方程，求解电容器中的、及内球面上的面电荷密度ρs。[解]因为节点常数均匀,为球对称,故电位、电场均仅与r有关.电位满足方程,,将方程积分两次,得解为：由边界条件确定常数A、B:①②解得,则得:题图3-2题图3-2充填三种介质的同心球3.20/3.4-4二同心导体球半径分别为a、b，中间三个区域的介电常数分别为ε1、ε2、ε3，如题图3-2所示。求中间介质区域的电位函数和电场强度；此同心球的电容C=？[解]仿照由例3.4-2作举一反三处理，得题图3-3地平面上的线电荷3.21/3.6-1一无限长细传输线离地面高h，线电荷密度为ρl（C/题图3-3地平面上的线电荷并证明地平面上沿y向的线电荷密度为－ρl（C/m）。[证明]因为为无限长细直线,故该题是求解二维平面场.应用镜像原理:地平面上面,空间任一点的电位为:(伏/米)_地平面上沿y向的线电荷密度为得证。3.22/3.6-2无限长细传输线半径为a=2mm，离地高h=10m，地面可视为无限大导体平面，试求其单位长度电容。[解]采用镜像法求该问题双导线在空间任一点的电位是:单根传输线的电位,当时,地面的电位为零,单位长度电容,(法拉/公里)3.23/3.6-3一导体劈的劈角α=60°，如图3.6-2(b)所示。角域内x=1,y=1处有一点电荷q。请用镜象法求角域内的电位；并算出x=2，y=1点的电位值，设q=4.5×10-8C[解](1)源电荷位置:①(x1,y1):(1,1),+q镜象电荷位置:②(x2,y2):(0.366,1.366),-q③(x3,y3):(-1.366,0.366),+q④(x4,y4):(-1.366,-0.366),-q⑤(x5,y5):(0.366,-1.366),+q⑥(x6,y6):(1,-1),-q角域内任一点(x,y)处的电位:其中:(2)对于x=2，y=1点的电位值3.24/3.6-4一无限长线电荷的线密度为ρl，在它的外面有一以它为轴线的无限长导体圆筒，其内表面半径为a。求圆筒内任意点的电位和电场强度。[解]采用镜象法求该问题设镜象线电荷在圆柱外,距轴线为d1.导体表面是等位面,则导体壳内任一点P的电位为:若P点在导体表面上,必须由相似三角形定理:――――镜象线电荷的位置.壳内空间任一点的电位:上式中:壳内任一点的电场强度:式中:题图3-4矩形导体管3.25/3.7题图3-4矩形导体管(a)请证明管内任意点的电位是;(b)求管内任意点的电场强度；(c)求x=0处内壁上的面电荷密度ρs|x=0，管内媒质为空气。[解](a)该题为二维场,管内空间电位满足方程:即通解为:边界条件:①②③④由边界条件确定常数:由①得,A=0;由③得,C=0,由④得,(n=1,2,…),n由②得,上式两边乘,并从对y积分,当时得:得,,(n=1,2,3,…)管内空间得电位分布是,(b)(c)在x=0处，3.26/3.7-2若上题中x=a处导体壁上的电位不是U0，而是下述电位分布：其他条件不变，试证明矩形管内任意点的电位函数是[证]1)电位满足方程得,2)通解3)由边界条件确定常数由①,、由③,、由④,(n=1,2,3…),由②,上式两边乘,并从对y积分,当时:(n=1,3,5,…)得:题图3-5题图3-5矩形管如题图3-5所示，管内媒质为空气。(a)求管内任意点的电位和电场强度；(b)求y=0处内壁上的面电荷密度ρs|y=0。[解](a)该题为二维场,满足二维拉普拉斯方程.边界条件为:①②;③④(常数)通解:由边界条件确定常数:根据①得,A=0;由②得,C=0,由③得，（n=0，1，2，…）由④得；2n+1=3，(b)在y=0处，题图3-6矩形导体槽3.28/3.7-4题图3-6矩形导体槽上板电位为U0，下板电位为零。求槽中任意点的电位和电场强度。[解]该题为二维场,满足方程:边界条件为:①;②③④通解为:根据边界条件确定常数,由①得,由④得,由②得,,(n=1,2,3,…)由③得:上式两边乘,并在区间对y积分,当时,得:得(n=2,4,6,…)该区域的电位为:3.29/3.7-5一长方形导体空腔，边长分别为a、b、c，其边界均为零电位，空腔内充填体电荷，密度为求腔内任意点的电位（x,y,z）。提示：需满足泊松方程。设可用三维傅里叶级数表示为代入泊松方程后，利用正弦函数正交性确定系数Amnl。[解]长方体内电位满足泊松方程设该方程通解为：将代入泊松方程得：两边乘，从对、从对、从对三重积分，根据三角函数正交性，必须，得，（n=1，3，5，7，…）3.30/3.7-6已知在（x,y,z）空间中，z=0平面上电位分布为请确定空间中任意点的电位和电场强度。[解]1)B.C.（边界条件）：(1)2）Eq.（方程）：3)解式：X：取Z：取4)定常数：因，，故由（1）知，当,,故从而得当z=0，由（1）知，得故得3.31/3.7-7沿z轴方向半无限长导体圆筒的半径为a，该圆筒接地，但在z=0处的筒底上加电压U0，求筒内电位和电场强度。[解]1)B.C.：（１）（２）2）Eq.：3)解式：：由于轴对称性，圆柱函数必为零阶，n=0,且因区域中包括轴线，故只有项，即： 由于，得D=0，即 4)定常数：由(1)，式中是的第i根，于是 由(2)，为求系数，对上式两边同乘并对由0积分至a:因得最后得3.32/3.7-8在半径为a的无限长导体圆柱外侧包有一层半径为b、介电常数为ε的介质，如题图3-7所示。令其外空间外加一均匀电场，取导体圆柱表面处为电位参考点，求（1）区（a<ρ<b）和（2）区（ρ>b）的电位函数。[解]区域（1）、（2）的电位均满足拉氏方程：题图3-7包有介质层的导体圆柱电位通解：边界条件：①②③，④，根据边界条件确定常数：由①得，由②得，由④得，由③及三角函数正交性得，解重写为：（其中，）当时，各区域的电位函数为：其中：，3.33/3.7-9一无限长扇形导体柱的三壁均为零电位，但ρ=a处壁电位为U0，如题图3-8所示。求此扇形域内的电位分布。[解1]1)B.C.：（1）（2）（3）（4）2）Eq.：题图3-8扇形导体柱3)解式： ：具有周期性，取 ：电位解与z无关，，必有，故取 4)定常数：由（1），得A=0，由（2），得 由（3），得于是将（4）式代入上式得为确定，对上式两边以并对从0至积分，有右边仅当m=n时不为零，得n=1,3,5,…最后得3.34/3.8-1无限大导体平板由一条细缝分布两块无限大平板，二板电位分别是U0与0，如题图3-9所示。试用复位函数法，取对数复变函数为变换函数，求出平板上半空间的电位函数和电场强度。[解]令，根据物理状态，取v为位函数，即，，当题图3-9二半无限大平板则，电位函数，改写成，电场强度3.35/3.8-2在长轴为2a的椭圆导体柱内，在其相距2c的二焦点连线处是一极薄的导体片（宽2c），如题图3-10所示。试用复位函数法，取变换函数w=，证明此片与椭圆柱面间单位长度电容为。[证]取复位函数为题图3-10椭圆柱电容器取v为电位函数，u为通量函数。设导体片电位为U，椭圆柱电位为零。当，得令得当得0v=v10v=v1v=v2jvu得证。3.36/3.8-3利用保角变换法再解3.8-2题。[证]取变换函数令v为电位函数，边界与和一致，题3.8-3图则z平面上的椭圆变换为w平面上的直线，如右图所示。矩形区域中电位为当得B=U；当得故因由上二式消去u，得即得在椭圆短半轴（0,b）处，单位长度电容为设，即，则，故故从而又有得证。题图3-11共焦椭圆柱3.37/3.8-4两个共焦椭圆导体柱组成一电容器，二者长、短半轴分别是a1、b1和a2、b2，如题图3-11所示。试用保角变换法求其单位长度电容C1。题图3-11共焦椭圆柱[解]采用变换函数，则得（1）（2）可见，代表一组共焦点椭圆，焦点在处。u2v2v1u2v2v1ujv0u1该二组曲线在w平面上都是直线，如右图所示。这样便简化了求解。在w平面上，平板电容器的板间距离为，极板宽为，因而其单位长度的电容为由式（1）知，题3.8-4图；；故同理得校：当得3.38/3.8-5一无限长矩形导体槽的横截面如题图3-12（a）所示，其底边宽为π（m），在其中轴线上高h处有一无限长线电荷，线密度为ρl。试证明变换函数w=sinz可把该z平面上宽π的带形区域变换为w平面的上半平面，如图3-12（b）所示。应用此变换，求此槽内的电位分布。题图3-12矩形导体槽的保角变换[解]利用变换函数，有这样，区域对应于w的上半平面，线电荷位于。可见原边值问题化为无限大平面上方有一线电荷的情形。由例3.8-3知，w平面上半空间任意点的电位为故第4章恒定电场和恒定磁场4.1/4.1-1已知直径2mm的导线，每100m长的电阻为2Ω,当导线上通过电流[解]故或4.2/4.1-2在二同心金属球面间加直流电压，外球接地。二球面间媒质电导率为σ，远小于金属球的电导率。求该媒质区域恒定电场的电流、电流密度、电场强度及电位。[解]此时有恒定电流由内球通过导电媒质流向外球，由于，该电流方向沿径向（垂直于金属球），设其值为I，则二球面间任意点电位密度为电场强度为设外球半径b，则二球面间任意点的电位是4.3/4.1-3一半径a=0.5m的铜球深埋在地下，作为电器地线的接地器，如题图4-1所示。大地土壤的电导率为，求铜球的接地电阻（漏电阻）R。[解1]静电场中孤立球体的电容为由于铜球离地面较远，可忽略其影响，则利用静电比拟法式(4.1-14)，便求得铜球的接地电阻为[解2]忽略地面影响，则电流线都垂直于铜球表面，所以大地中任一点的电流密度电场强度为铜球至无穷远处电压是从而得接地电阻为4.4/4.1-4一扇形电阻片如题图4-2所示，其电导率为σ，请计算A、B面之间的电阻。题图4-2扇形电阻片[解1]由式(2.1-21)知导线电阻值为题图4-2扇形电阻片则图中所示的电阻元是即电导元是故A、B面间电导为即A、B面间电阻为[解2]设A板电位为U，B板电位为零。A、B板间电位满足拉氏方程：其通解为应用边界条件：故电场强度：电流密度：由A板流向B板的总电流：故4.5/4.1-5试用两种方法计算上题扇形电阻片在两圆弧面之间的电阻。[解1][解2][解3]采用静电比拟法：故4.6/4.1-6平行板电容器由厚度分别为和的两层非理想介质绝缘，它们的电参数分别为、和、，极板面积为。请用两种方法计算电容器的绝缘电阻R。[解1]采用静电比拟法令,两极板间电压为U,极板上面电荷密度为,则则[解2]采用定义及路的概念:题图4-3同轴线题图4-3同轴线4.7/4.2-1无限长同轴线的横截面如题图4-3所示，内外导体通有大小相等、方向相反的电流I。试求各区的磁通密度（应用安培环路定律）。[解]由于电流沿轴向，是轴对称分布，,且B仅与有关。(1)区（）：由安培环路定律，以半径为的圆为积分回路，得故(2)区（）：故(3)区（）：故(4)区（）：因所包围I=0，故随变化的曲线，如图所示。4.8/4.2-2无限长圆柱直导线由两种金属制成，内层ρ＜a区域电导率为，外层a＜ρ＜b区域电导率为。设导线中总的轴向电流为I，求此二区域及导线外区域（ρ＞b）的磁通密度。[解]先求内外层的电流密度，再求。设圆柱体轴向为z，则电流沿z向。在处，。故，则总电流为得可由安培环路定律得出。(1)：(2)：(3)：此时总电流为I，得4.9/4.2-3已知z＜0区域为铁磁场物质，其相对磁导率为，z＞0区域为空气。（a)在z=0面上，若空气中的磁通密度，求铁磁物质中的磁通密度；（b)在z=0面上,若铁磁物质中的磁通密度,则空气中磁通通密度[解]（a)设铁磁物质中磁通密度。在z=0面上根据边界条件(4.2-8)、(4.2-9)，有,故（b)设空气中磁通密度，由边界条件知图4.4磁介质与空气边界图4.4磁介质与空气边界,故4.10/4.3-1如图4-4所示，z＜0区域为磁导率为μ的磁介质，z＞0区域为空气，一线电流I沿x轴流动。求二区域的磁通密度和磁场强度。[解]通过求和。修改坐标，将I流向取为z轴（原题x轴）而将原题z轴改为x轴，则只有分量，且与、z无关，故其拉氏方程为积分后得,x>0,x<0在边界x=0处，,得常数C需由安培环路定律确定。,，在z=0面上，取以z轴为圆心，以为半径的圆作积分路径，有故得校：当，得，4.11/4.3-2参看例2.1-3，长2l的直导线上流过电流，请利用磁矢位计算真空中离其中点距离处点的磁通密度。[解]由式(4.3-7)知故4.12/4.3-3通过求解磁矢位来解习题4.2-1，并画出B~ρ曲线。[解](1)区（）：方程： 故；由于轴对称性，不随变化，仅为函数。方程化为解式：对积分：再积分:定常数：自然边界条件：为有限值。故，有，(2)区（）：方程：解式：定常数：即故，(3)区（）：方程：，解式：定常数：即故，(4)区（）：因所包围I=0，故随变化曲线见题4.2-1图。4.13/4.3-4一空气芯长螺线管半径为a，长l，密绕N匝线圈，电流为I，如题图4-5所示。（a)求螺管内中点O处的磁通密度（注：利用例2.1-4结果）；（b）证明螺管外距中心轴R>>l处P点的磁通密度为。[解]（a)由例2.1-4知，z处单个电流环在O点产生的磁通密度为则长的N环螺线管在O点产生的磁通密度为题图4-5螺线管 （b）参看右图，先求xoy平面上单个电流环在xz面上点产生的磁矢位，再由求。由式(4.3-7)知 式中，在圆环积分过程中，上半环与下半环的向分量相消，故只需改分量，对任意角，这也就是分量。又， 因， 故当，有 从而得 若P点位于xoy面上距O点R处，则,由上式得考虑到R>>L，对P点而言，可认为每个电流环均处于xoy面内，因而有.得证。4.14/4.3-5如果将地球的磁场看成是由位于地心的一个长螺线管产生的，假设地壳的磁导率为，现测得赤道表面处磁通密度为，地球半径为6380Km。试计算位于地心的螺管磁矩多大（参看习题4.3-4b）。[解]由习题4.3-4(b)知,4.15/4.4-1一无限长同轴线中有二层磁介质，如图4-6所示。求单位长度自感。[解]由题4.2-1知，对外导体区域，图4-6双层磁介质同轴线得 4.16/4.4-2对很长的空气芯螺线管，其半径为a，密绕N匝线圈，求其单位长度自感（参看习题4.3-4）。[解]在题4.3-4中已求得单位长度上N匝螺管电流在内部产生的磁通密度为 每单位长度螺管通过一匝线圈的磁通为 每单位长度磁链为 故每单位长度电感为 4.17/4.4-3一很长的直导线与一直角三角形导线回路如图4-7所示。求直导线与三角形回路间的互感。[解]如图所示，长直导体在三角形内产生的磁通密度为 则穿过三角形回路的互感磁通为 ，图4-7直导线与直角三角形回路得 故互感为 4.18/4.4-4一很长的直导线附近有一矩形导线回路，如题图4-8所示。求二者间的互感。[解]长直导线在矩形回路中距离x处产生的磁通密度为 则穿过矩形回路的互感磁通为故互感为题图4-8直导线与矩形回路 4.19/4.4-5如题图4-9所示，一对平行双线传输线的平面上有一矩形导线回路。求二者之间的互感。[解]题图4-9双导线与矩形回路图4.20/4.4-6半径为a的圆柱形螺线管长，绕有匝线圈，在其上同心地绕有匝线圈，如题图4-10所示。求二线圈间的互感。[解1]螺管中电流在螺管中交链的磁通为题图4-10两个同轴螺线管故互感为 [解2]螺管中电流在螺管中交链的磁通为这个磁通只交链了螺管中匝线圈，故 第5章时变电磁场和平面电磁波5.1/5.1-1已知z2=1+j，求复数z的两个解。[解]5.2/5.1-2已知是正实数，试证：(a)若(b)若。[解](a): (b):5.3/5.1-3设E（t）的复振幅为，H（t）的复振幅为，试证，并求E（t）、H（t）。[解]得 可见,为恒定成分与二倍频成分的叠加.5.4/5.1-4将下列场矢量的瞬时值变换为复矢量，或作相反的变换：(a)；(b)；(c)；(d)。[解](a)(b)(c)(d)5.5/5.2-1已知自由空间某点的电场强度，求(a)磁场强度；(b)坡印廷矢量及其一周T=2π/ω内的平均值。[解](a）由得式中(b)或5.6/5.2-2对于非均匀的各向同性线性媒质，请导出其无源区电场强度复矢量的波动方程。[解]无源区限定形式麦氏方程为 (1) (2) (3) (4)由(1), 利用(2)(3)后,再利用(1)式代入,得5.7/5.3-1设真空中同时存在两个时谐电磁场，其电场强度分别为，，试证总平均功率流密度等于两个时谐场的平均功率流密度之和。[证1]，故[证2]，，，5.8/5.3-2同轴线内导体半径为a，外导体内半径为b，某截面处内外导体间电压的复振幅为，外导体上电流的复振幅为。试用复坡印廷矢量计算内、外导体间向负载传输的总功率。[解]设内导体单位长度电荷密度为，由高斯定理得，则得由安培环路定律知，，5.9/5.3-3在理想导体平面上方的空气区域（z＞0）存在时谐电磁场，其电场强度为。(a)求磁场强度；(b)求在z=0，π/4k和π/2k处的坡印廷矢量瞬时值及平均值；(c)求导体表面的面电流密度。[解](a)(b)或(c)5.10/5.3-4已知时谐电磁场瞬时值为，。请写出其复矢量和，求坡印廷矢量瞬时值，并证明其一周平均值为。[解] ,得证.5.11/5.3-5设时谐电磁场瞬时值为试求坡印廷矢量瞬时值，并求其一周内平均值。[解]5.12/5.4-1氦氖激光器发射的激光束在空气中的波长为6.328×10-7m[解]5.13/5.4-2人马座α星离地球4.33光年，1光年是光在一年中传播的距离。问该星座离地球多少km?[解]5.14/5.4-3地球接收太阳全部频率的辐射功率密度约为1.4kW/m2。问：(a)若设到达地面的是单一频率的平面波，则其电场强度和磁场强度振幅多大？(b)地球接收太阳能总功率约为多少？地球半径为6380km。(c)若太阳的辐射是各向同性的，那么太阳总辐射功率约为多大？太阳与地球相距约1.5×108[解](a),(b)(c)图5-1电视机天线5.15/5.4-4图5-1所示为对称振子天线。若用它来接收波长λ的电视信号，当其长度L≈λ/2时最有效。问接收下列频道时，L应取多长：图5-1电视机天线(a)5频道（f0=88MHz）；(b)8频道（f0=187MHz）；(c)26频道（f0=618MHz）。[解](a),(b),(c),5.16/5.4-5设，该电场是否满足无源区麦氏方程组？若满足，求出其场；若不满足，请指出为什么。[解]该电场不满足无源区麦氏方程组.这是因为该电场无横向分量,因而不会形成沿纵向的坡印廷矢量,即不可能沿纵向传播,与假设矛盾.5.17/5.4-6在理想介质中一平面波的电强度为(a)求介质中波长及自由空间波长；(b)已知介质μ＝μ0，ε=ε0εr，求介质的εr；(c)写出磁场强度的瞬时表示式。[解](a),,(b)或由,,(c)5.18/5.4-7某一自由空传播的电磁波，其电场强度复矢量为。(a)写出磁场强度复矢量；(b)求平均功率流密度。[解](a)(b)5.19/5.5-1分别在3kHz和3GHz计算下列媒质中传导电流和位移电流振幅之比，并指出是否是介质或导体：(a)海水，εr=80，σ=4×10-4S/m；(b)聚四氟乙烯，εr=2.1，σ=10-16S/m；(c)铜，εr=1，σ=5.8×107S/m。[解](a)为介质(b)为介质(c)为导体5.20/5.5-2频率为550kHz的广播信号通过一导电媒质，εr=2.1，μr=1，σ/ωε=0.2，求：（a)衰减常数和相位常数；(b)相速和相位波长；(c)波阻抗。[解](a)(b)(c)5.21/5.5-3对高速固态电路中常用的砷化镓（GaAs）基片，若样品足够大，通过10GHz均匀平面波，εr=12.9，μr=1，tgδe=5×104，求：(a)衰减常数α（NP/m）;(b)相速vP（m/s）;(c)波阻抗ηc（Ω）。[解](a)取,则 (b)(c)5.22/5.5-4平面波在导电媒质中传播，f=1950MHz，媒质εr=μr=1，σ=0.11S/m。(a)求波在该媒质中的相速和波长；(b)设在媒质中某点E=10-2V/m，求该点的磁场强度；(c)波传播多大距离后，场强衰减为原来的1/1000？[解](a)(b)(c)令得5.23/5.5-5证明电磁波在良导体中传播时，每波长内场强的衰减约为55dB。[证]在良导体中,故每波长内场强的衰减为5.24/5.6-6铜导线的半径a=1.5mm,求它在f=20MHz时的单位长度电阻和单位长度直流电阻。（注：只要α>>δ（集肤深度），计算电阻时可把导线近似为宽2πα的平面导体。）[解]对铜,单位长度射频电阻单位长度直流电阻5.25/5.5-7若要求电子仪器的铝外壳至少为5个集肤深度厚，为防止20kHz～200MHz的无线电干扰，铝外壳应取多厚？[解]取5.26/5.5-8若10MHz平面波垂直射入铝层，设铝层表面处磁场强度振幅H0=0.5A/m，求：(a)铝表面处的电场强度E0；经5δ（集肤深度）后，E为多少？(b)铝层每单位面积吸收的平均功率。[解](a)(b)5.27/5.5-9飞机高度表利用接收所发射的电脉冲的地面回波来测高。若地面上有d=20cm厚的雪，对3GHz的电磁波，雪的参数为εr=1.2，tanδe=3×10-4。问：图5-2飞机高度表工作原理(a)雪层引起的测高误差多大？（设高度表按h=（1/2）ct计算高度，c为空气中光速，t为地面回波延迟的时间，参看题图5-2）。图5-2飞机高度表工作原理(b)由雪层引起的回波信号衰减约多少dB？（忽略各交界面处的反射损失。）[解](a）来回通过雪层时间为测高误差b）雪层引起的衰减为：5.28/5.6-1证明：在等离子体中vB<<E，即E/B>>v，v是电子速度。[证]设由Maxwell方程组（a）即得当（为等离子体频率），电磁波通过等离子体的传播条件成立，有则5.29/5.7-1以下各式表示的是什么极化波？(a)；(b)；(c)；(d)。[答](a)左旋圆极化波(b)线极化波(c)右旋圆极化波(d)右旋椭圆极化波5.30/5.7-2将下列线极化波分解为圆极化波的叠加：(a)；(b)。[解](a）式中，分别为左右旋圆极化波的电场单位矢量(b）或55.31/5.7-3在εr=5，μr=2，σ=0的媒质中，一椭圆极化波的磁场强度有二相互垂直的分量（都垂直于传播方向），振幅分别为3A/m和4A/m，后者相位引前45o。试求：(a)轴比，倾角τ及旋向；(b)通过与其传播方向相垂直的5m2[解]a） 为右旋椭圆极化波 或b）第6章平面电磁波的反射与折射6.1/6.1-1电场强度振幅为=0.1V/m的平面波由空气垂直入射于理想导体平面。试求：(a)入射波的电、磁能密度最大值；(b)空气中的电、磁场强度最大值；(c)空气中的电、磁能密度最大值。[解](a)(b)(c)6.2/6.1-2均匀平面从空气垂直入射于一介质墙上。在此墙前方测得的电场振幅分布如题图6-1所示，求：(a)介质墙的；(b)电磁波频率f。[解](a)由图,因图6-1电场振幅分布得图6-1电场振幅分布墙壁处为最小点,故由,得,(b)由图,6.3/6.1-3平面波从空气向理想介质（=1，=0）垂直入射，在分界面上=16V/m，=0.1061A/m。试求：(a)理想介质（媒质2）的；(b)，，，，，；(c)空气中的驻波比S。[解](a),得(b)，令垂直入射方向为z轴方向,取z轴零点位于分界面处,则(c)6.4/6.1-4当均匀平面波由空气向理想介质（，=0）垂直入射时，有96%的入射功率输入此介质，试求介质的相对介电常数。[解],得,6.5/6.1-5频率为30MHz的平面波从空气向海水（=81，，=4/S/m）垂直入射。在该频率上海水可视为良导体。已知入射波电场强度为10mV/m，试求以下各点的电场强度：(a)空气与海水分界面处；(b)空气中离海面2.5m处；(c)海水中离海面2.5m处。[解]在此频率上,海水可视为良导体.(a)(b)，(c）6.6/6.1-610GHz平面波透过一层玻璃（=9，）自室外垂直射入室内，玻璃的厚度为4mm，室外入射波场强为2V/m，求室内的场强。[解]z=d处电磁场切向分量分别连续，得式中为z=0处反射系数：联立前面二式，得 在z=0处有因得6.7/6.1-7电子器件以铜箔作电磁屏蔽，其厚度为0.1mm。当300MHz平面波垂直入射时，透过屏蔽片后的电场强度和功率为入射波的百分之几？衰减了多少dB？（屏蔽片两侧均为空气。）[解1]在z=0处：，在z=d处：，[解2]利用6.1-6题结果，有,6.8/6.1-8雷达天线罩用=3.78的SiO2的玻璃制成，厚10mm。雷达发射的电磁波频率为9.375GHz，设其垂直入射于天线罩平面上。试计算其反射系数R和反射功率占发射功率的百分比。若要求无反射,天线罩厚度应取多少?[解]令,则得故可取,得6.9/6.2-1电视台发射的电磁波到达某电视天线处的场强用以该接收点为原点的坐标表示为已知=1mA/m，求：(a)电磁波的传播方向；(b)；(c)平均功率流密度；(d)点P（）处的电场强度和磁场强度复矢量，为电磁波波长。[解](a)(b)(c)(d)6.10/6.2-2一均匀平面波从空气入射到z=0处理想导体表面，入射电场为(a)确定波长和入射角；(b)写出反射波电场和磁场；(c)写出空间合成电场瞬时式。[解](a),(b)(c)6.11/6.2-3一均匀平面波由空气向理想导体表面（z=0）斜入射，入射电场为（）求：(a)入射线传播方向和空气中波长；(b)入射角和常数C；(c)理想导体表面电流密度。[解](a) ,(b), ,,,得C=6(c) 6.12/6.2-4根据式（6.3-19）和式（6.3-23）导出平行极化波斜入射于理想导体表面时的下列参数：(a)合成磁场的零点和最大点z值；(b)合成场的相速和能速；(c)导体表面的感应电流面密度。[解](a)由式（6.3-19）知:令,得H零点为:同理,H最大点为:(b),可见:(c)6.13/6.3-1一垂直极化波从空气向一理想介质（=4，=1）斜入射，分界面为平面，入射角为60°，入射波电场强度为5V/m，求每单位面积上透射入理想介质的平均功率。[解]6.14/6.3-2一均匀平面波从空气入射到=2.7，=1的介质表面（z=0平面），入射电场强度为（参看例6.2-2图6.2-6）：试求：(a)入射波磁场强度；(b)反射波电场强度和磁场强度；(c)反射波是什么极化波？[解](a)(b),或(c)反射波是右旋椭圆极化波.6.15/6.3-390°角反射器如题图6-2所示。它由二正交的导体平面构成。一均匀平面波以角入射，其电场强度为试证合成电场为[证]由图知,共有四种射线,其单位矢量分别为:题图6-2角反射器 该四种场分别为:合成场为:得证.6.16/6.3-4一平面波垂直入射于直角等腰三角形棱镜的长边，并经反射而折回，如题图6-3所示。棱镜材料=4，问反射波功率占入射波功率的百分比多大？若棱镜置于=81的水中，此百分比又如何？[解](a)棱镜直角边处:临界角为,由图,透射线对棱镜直角边的入射角为,大于临界角,故发生全反射,对二直角边均如此.即又,图6-3三棱镜得(b)棱镜置于水中:垂直极化波平行极化波故得:垂直极化波平行极化波6.17/6.3-5一光束自空气以=45°入射到=4，厚5mm的玻璃板上，从另一侧穿出，如题图6-4所示。求：(a)光束穿入点与穿出点间的垂直距离l1；(b)光束的横向偏移量l2；(c)透过玻璃的功率占入射功率的百分比。题图6-4光入射于玻璃板[解](a)(b)或(c)垂直极化波平行极化波校:垂直极化波同前.6.18/6.4-1一线极化平面波由自由空间入射于=4，=1的介质分界面。若入射波电场与入射面夹角是45°，试问：(a)入射角=？时反射波只有垂直极化波？(b)此时反射波的实功率是入射波的百分之几？[解]入射波电场可分解为垂直极化和平行极化两个分量,二者大小相等.(a)若入射角等于布儒斯特角,则平行极化分量产生全折射,无反射.此时反射波只有垂直极化波,故-(b)6.19/6.4-2一均匀平面波自空气入射于z=0处的=9，=1理想介质表面，入射电场为求：(a)入射波传播方向，入射角、折射角；(b)入射波磁场强度和反射波电场强度，并算出分界面上单位面积反射功率占入射功率的百分比；(c)欲使分界面上单位面积的反射功率百分比为零，应如何选择入射角？(d)试证明该入射角时分界面上单位面积的透射功率百分比为100%。[解](a),(b),(c)6.20/6.4-3介质（棒）波导如题图6-5所示。为使以任意角入射到端面上的电磁波都约束在介质区域内传播，应如何选取？题图6-5介质波导[解]为在介质与空气界面处产生全反射,应有由折射定律知,全反射条件要求,故需即当为任意角,最大值为1.故取6.21/6.4-4试证明：当垂直极化波从空气斜入射到铁磁媒质（）平面上时，存在一个无反射的布儒斯特角但若平行极化波斜入射到铁磁媒质平面上，则总有反射。[证]无反射条件要求由折射定律知,故要求,得证.对平行极化波:无反射条件要求即可见,仅当才无反射;若,则总有反射.6.22/6.4-54.025MHz平面波从空气以60°入射角射入一均匀电离层上，该电离层的临界频率为fp=9MHz，界面为xoy平面，其法向为z轴，指向电离层里面。求：(a)对垂直极化波和对平行极化波的反射系数R⊥，R//；(b)对垂直极化波，求出空气中和电离层中的电场强度，并画出其振幅|E|随z轴的变化图；(c)以60°入射角入射时，此电离层能产生全反射的最高频率为多少？[解](a)校号:合理(b),,(c)垂直极化波:,要求为虚数,即,,,平行极化波:,要求为虚数,即,,第7章电磁波的辐射与散射7.1/7.1-1定义另一种位函数——赫兹电矢量如下：(a)证明满足洛仑兹条件；(b)导出的微分方程；(c)导出、与的关系式。[解](a)洛仑兹条件为：因故有得证。(b)在洛仑兹条件下对无源区有将与的关系代入上式，得即（1）或：与的关系代入无源区的微分方程：得可见亦有（1）式。对有源区，有令（极化电流，的极化矢量），则得，即（2）又，由电流连续性方程知，得将和上式代入有源区的微分方程：得，仍有（2）式。(c)利用的微分方程（1）式后，上式化为*利用（2）式，得又，7.2/7.2-1距频率为500KHz的电流元多远的地方，其辐射场等于感应场？在距电流元一个波长处，在垂直于电流元的方向上，辐射电场与感应电场相对振幅多大?[解]辐射场等于感应场发生在，即7.3/7.2-2电基本振子天线长8m，频率为106Hz，电流振幅I=5A。试求垂直电基本振子轴的方向上，距离10m和100[解](a)，