曲线的凹凸性和渐近线

关于曲线的凹凸性和渐近线第一页，共五十四页，编辑于2023年，星期一一、曲线的凹凸性问题:如何研究曲线的弯曲方向?图形上任意弧段位于所张弦的上方图形上任意弧段位于所张弦的下方机动目录上页下页返回结束第二页，共五十四页，编辑于2023年，星期一机动目录上页下页返回结束第三页，共五十四页，编辑于2023年，星期一机动目录上页下页返回结束第四页，共五十四页，编辑于2023年，星期一机动目录上页下页返回结束定义1*:第五页，共五十四页，编辑于2023年，星期一对于曲线的弯曲方向，我们换一个角度来看曲线上任一点的切线位于曲线的上方曲线上任一点的切线位于曲线的下方机动目录上页下页返回结束第六页，共五十四页，编辑于2023年，星期一机动目录上页下页返回结束第七页，共五十四页，编辑于2023年，星期一机动目录上页下页返回结束我们可以证明：定义1和定义2是等价的。第八页，共五十四页，编辑于2023年，星期一定理1（凹凸性的充分条件）：机动目录上页下页返回结束第九页，共五十四页，编辑于2023年，星期一机动目录上页下页返回结束证明1：用定义1证第十页，共五十四页，编辑于2023年，星期一机动目录上页下页返回结束第十一页，共五十四页，编辑于2023年，星期一机动目录上页下页返回结束由定义2，(1)成立。同理可以证明(2)。证明2：用定义2证第十二页，共五十四页，编辑于2023年，星期一推论：机动目录上页下页返回结束第十三页，共五十四页，编辑于2023年，星期一例1：解：注意到,机动目录上页下页返回结束第十四页，共五十四页，编辑于2023年，星期一例2解：机动目录上页下页返回结束(1)(2)第十五页，共五十四页，编辑于2023年，星期一二、曲线的拐点1、定义注意:

拐点处的切线必在拐点处穿过曲线。2、拐点的求法机动目录上页下页返回结束第十六页，共五十四页，编辑于2023年，星期一证机动目录上页下页返回结束第十七页，共五十四页，编辑于2023年，星期一例3：解凹的凸的凹的拐点拐点机动目录上页下页返回结束第十八页，共五十四页，编辑于2023年，星期一注意:例4：解机动目录上页下页返回结束第十九页，共五十四页，编辑于2023年，星期一机动目录上页下页返回结束求函数f(x)的拐点的步骤：注意：例第二十页，共五十四页，编辑于2023年，星期一定理4证明：机动目录上页下页返回结束第二十一页，共五十四页，编辑于2023年，星期一例5：解：机动目录上页下页返回结束第二十二页，共五十四页，编辑于2023年，星期一三、渐近线定义:1.铅直渐近线机动目录上页下页返回结束第二十三页，共五十四页，编辑于2023年，星期一例如有铅直渐近线两条:机动目录上页下页返回结束第二十四页，共五十四页，编辑于2023年，星期一2.水平渐近线例如有水平渐近线两条:机动目录上页下页返回结束第二十五页，共五十四页，编辑于2023年，星期一3.斜渐近线斜渐近线求法:显然，水平渐近线是斜渐近线的特例。机动目录上页下页返回结束第二十六页，共五十四页，编辑于2023年，星期一证明：由渐近线的定义，有要使此时成立，必须机动目录上页下页返回结束第二十七页，共五十四页，编辑于2023年，星期一注意:机动目录上页下页返回结束第二十八页，共五十四页，编辑于2023年，星期一机动目录上页下页返回结束例6解第二十九页，共五十四页，编辑于2023年，星期一机动目录上页下页返回结束第三十页，共五十四页，编辑于2023年，星期一例7：

确定常数a,b,

使解:由条件知，第三十一页，共五十四页，编辑于2023年，星期一四、函数作图利用函数特性描绘函数图形.第一步第二步第三步机动目录上页下页返回结束步骤：第三十二页，共五十四页，编辑于2023年，星期一第五步第四步

求曲线的渐近线；第七步第六步

作图。机动目录上页下页返回结束第三十三页，共五十四页，编辑于2023年，星期一例8解非奇非偶函数,且无对称性.机动目录上页下页返回结束第三十四页，共五十四页，编辑于2023年，星期一列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点和拐点:不存在拐点极值点间断点机动目录上页下页返回结束第三十五页，共五十四页，编辑于2023年，星期一作图机动目录上页下页返回结束第三十六页，共五十四页，编辑于2023年，星期一机动目录上页下页返回结束第三十七页，共五十四页，编辑于2023年，星期一例9解无奇偶性及周期性.列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点与拐点:机动目录上页下页返回结束函数没有渐近线。第三十八页，共五十四页，编辑于2023年，星期一拐点极大值极小值机动目录上页下页返回结束第三十九页，共五十四页，编辑于2023年，星期一机动目录上页下页返回结束第四十页，共五十四页，编辑于2023年，星期一1、凹凸性的定义：两种定义；

用函数二阶导数等于零或二阶导数不存在的点，将函数的定义域分成若干个区间，由二阶导数的符号判定函数在各个区间的凹凸性，再由凹凸性的改变判别拐点;2、凹凸性的判别和拐点的求法：3、渐近线的求法：水平渐近线和斜渐近线；机动目录上页下页返回结束五、小结4、函数作图。第四十一页，共五十四页，编辑于2023年，星期一作业机动目录上页下页返回结束习题3-4(P188)1(3)(6)；2(2)；3；5；

7(2)(6)；8；11(2)；12

第四十二页，共五十四页，编辑于2023年，星期一解：例机动目录上页下页返回结束思考与练习第四十三页，共五十四页，编辑于2023年，星期一解：机动目录上页下页返回结束第四十四页，共五十四页，编辑于2023年，星期一

;

.的凹区间是凸区间是拐点为提示:及

;第五节目录上页下页返回结束3.

曲线第四十五页，共五十四页，编辑于2023年，星期一4.曲线(A)没有渐近线；(B)仅有水平渐近线；(C)仅有铅直渐近线；(D)既有水平渐近线又有铅直渐近线.提示:机动目录上页下页返回结束第四十六页，共五十四页，编辑于2023年，星期一5.求证曲线有位于一直线的三个拐点.证明：机动目录上页下页返回结束第四十七页，共五十四页，编辑于2023年，星期一令得从而三个拐点为因为所以三个拐点共线.机动目录上页下页返回结束第四十八页，共五十四页，编辑于2023年，星期一6、解偶函数,图形关于y轴对称.机动目录上页下页返回结束第四十九页，共五十四页，编辑于2023年，星期一拐点极大值列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点与拐点:拐点机动目录上页下页返回结束第五十页，共五十四页，编辑于2023年，星期一机动目录上页下页返回结束第五十一页，共五十四页，编辑于2023年，星期一备用题求笛卡儿叶形线的渐近线.解:

令

y=t

x

,代入原方程得曲线的参数方程: