卓越数学试题

0.70.70.70.72013年卓联盟自主招生数试题一选题本题小，小分在小给的4个论，有项符合目求）已

fx)

是定义在实数集上的偶函数，且在

(

上递增，则（A

f)(5)f((B)f(f(2)f(log5)22(C)

f(f5)f)(D)f)f(f(log5)22已函数

f(x)sin(0,0)2

的图象经过点

(,0)，f(x6

的相邻两个零点的距离为，得2

yf(x)

的图象，可将

yx

图象上所有点1(A)先右平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的倍纵坐标不变321(B)先向左平移个单位长度，再将所得点的横标变为原来的倍，纵坐标不变32(C)先向左平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的倍纵坐标不变3(D)先向右平移

3

个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的

2

倍，纵坐标不变如在

,BC,D,

五个区域中栽种3种物要同一区域中只种种植物相邻两区域所种植物不同，则不同的栽种方法的总数为（A(C)30(设数

fx)

在

上存在导数

f

，对任意的

x

，有f(f(x

2

，且在

(0,

上

f

．若f)()，实数a的值范围为（A

[1,

(B)

(

(C)

(

(D)

[2,二填题本题小，小分共分已抛物线

ypx(p0)

的焦点是双曲线

x2p

的一个焦点，则双曲线的渐近线方程为．设

O

在

ABC

的内部，点

D

，

E

分别为边

，

的中点，且

ODDE

，则

OAOC

．

2x2y2x2y设线

y

x

与

x

轴所围成的区域为

D

，向区域

D

内随机投一点，则该点落入区域

{(xy)2y2}

内的概率为．如AE

是圆

O

的切线

是切点AD

与

垂直，垂足是

D

，割线

交圆

O

于

C

，且则ODCDB

，

（用示三解题本题4小题共56分解应出字明证过程演步）（本小题满分13分在ABC中三个内角A、B、C所对边分别为a、、c．已知

()(sinAC))sin

．（1求角

的大小；（2）求

sinAB

的最大值．10本题满分分）设椭圆

a2

3的离心率为，率为3

k

的直线

l

过点

(0,1)

且与椭圆交于C,D

两点）椭圆方程）若直线l与轴交于点且GCDE，求的；（3设A为椭圆的下顶点，

k

、

k

AD

分别为直线、AD斜率，证明对任意的k恒有

k

AD

．（本题满分分设

x

）明：

e

1）2

，证明：

0yx

．12本题满分分）已知数列

{}中，a，a1

a

na*,

．（1若

an

对

*

都成立，求

的取值范围；（2当

时，证明

1aa12

1Nan

*

)2012年卓联盟自主招生数试题一、填题本大题共6小，每小题分，共30分若椭圆短轴的两个端点和长轴的一个端点顶点的三角形是等边三角形圆的离心

44率为。函

f

2cos

，

。设

0

，

0

4

，

x

，

y

，则

,y

的大小关系为。已△ABC中

A90

，

，点A为段EF中，EF=2，EF

与

的夹角为

60

，则

。设

nn

nn

a2

，aa，3，则5Tb425

。设数

f

若存在常数

有

f为。二、解答题：本大题共小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（小题满分10分）设

、

是从集合

取数（I）求直线

y

与圆

x2

的公共点的概率。（II）X为直线

y

与圆

xy2

的公共点的个数，求随机变量的布列及数序期望（本小满分分）如图，是的直径，弦

C

于点M，是CD延线上一点，

AB10

，

，

EDOM

，EF切圆与FBF于，（I）求线段的长；（II）接DF判断是否平行于，证明你的结论：根据解题需要，须将图像自行画在答题卡上(本题满分10分如图棱

PABCD

中ABCD为直角梯形//BC

BC

⊥底面ABCD

PAAD

，

。（I）证明平面PBC平面PDC；（II）

PAB

，求二面角

BPD

的正切值（注：根据解题需要，须将图像自行画在答题卡上

10.(本小题满分10分设抛物线

y

2

2px的点，A、是物线上互异的亮点，直线与x轴不垂直，线段的垂直分线交x轴（I）证明是p与m的差中项；

DBF

。（II）

，直线

ly

轴，且

l

被以为径的动圆，截得的弦长恒为定值，求直线l方程。11.(本小题满分15分已知函数

f

2

，其中

a

是非零实数，

b

。（I）求

f

的单调区间；（II）a，i

1a

，

ix，x，012313

。证明：

f123

2ab

；（III

f

有极小值

f

in

f

明

f

n

。12.12.本小题满分15分设数列

项和为S，a，n1

n

，其中v是整，且u，nnN

。（I）证明

；n（II）

a、1

p

两项均为正整数，其中（i）若

，明整；（ii）若存在正整数

，使得

p

，证明：

Sp

。2011卓越联盟自主招数学试题向，为非零向量⊥a，⊥，a，夹角为(A)

6

(B)

3

(C)

23

(D)

6

22222k234452222222k2344522已sin2(+，

tan(tan(

等于(A)

nn

(B)

nn

(C)

nn

(D)

nn在方体—A1B1C1D1中为的点，F棱上的点，且AF：1FB：3则异面直线EF所角的正值为11(A)

(B)

(C)

(D)

i虚数单位，设复数满|，则

z

zz

的最大值为(A)

(C)

+1(D)2+

已抛物线的顶点在原点点x轴ABC三顶点都在抛物线上△的重心为抛物线的焦点，若BC边在线的方程为4x+y-20=0则抛物线方程为=16x(B)y=8x(D)y=-8x在棱锥ABC—ABC中，底面边长与侧棱长均等于2，且E为的点，则点111到平面AB的距离为1

1(A)

(B)

(C)

(D)

若关于方程

x|x

=kx有四个不同的实数解，则k的值范围()(A)(0，

(B)(

1，1)4

，∞，+∞)如图，ABC内于⊙，点D作行于AC的线ll交于交于GF交⊙O在A点切线于P若，ED=2，则长为(A)

(B)

(C)

(D)2

数{}有11项，=0，=4，且，，，…，10满足这种条件的不同n11k+1k数列的个数)(B)120(C)14010.设σ是坐标平面按顺时针方向绕原点做角度为

7

的旋转，表示坐标平面关于轴镜面反射τ表变换的复合做τ再做σ用表示连续k次的变换σττστ是)σ

(B)

(C)

τ

(D)σ11.设列{}足=a，，2a+a．n1n+2(Ⅰ设=a-a，明：若a，{}等比数列；nn

n+1n+n+1n+(Ⅱ若lim(a+a+，求a，的．112.在ABC中，AB=2AC，是A角平分线，且．(Ⅰ求k的值范围；(Ⅱ若，为值时最？13.已椭的两个焦点为F，，(1，0)，且椭圆与线y=x-1(Ⅰ求椭圆的方程；

相切．(Ⅱ过F作条互相垂直的直线1

l,l

，与椭圆分别交于，Q及M，N，求四边形面积的最大值与最小值．14.一中a个白球和个球．从中任取一球，如果取出白球，则把它放回袋中；如果取出黑球则黑球不