全等三角形与相似三角形教师9203

中小学个性化教育辅导专家一对一性辅导讲学科：数学

任课教师：张老师

授课时间：2017年1月14日(星期六)姓名

年级

九

性别

学习内容

与相似三角形

上课次数教师寄语学习目标难点重点

以理想为船，坚毅为帆，勤奋作桨，于激流中勇进。（1掌握三角形、三角形的全等、相似及解直角三角形的有关概念。（2利用三角形的相似、全等及解直角三角形的知识进行计算、解答有关综合题。（3培养学生的转化、数形结合、及分类讨论的数学思想的能力三角形、三角形的相似及全等、解直角三角形的基础知识、基本技能是本节的重点。难点是综合应用这些知识解决问题的能力。一、中考知识清单知点1三形边角系①三角形任何两边之和大于第三边；②三角形任何两边之差小于第三边；③三角形三个内角的和等于180°；④三角形三个外角的和等于360°；⑤三角形一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；⑥三角形一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。知点2三形主线和心内①三角形的角平分线、中线、高；②三角形三边的垂直平分线交于一点，这个点叫做三角形的外心，三角形的外心到各顶点的距离相等；③三角形的三条角平分线交于一点，这个点叫做三角形的内心，三角形的内心到三边的距离相等；④连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半。知点3等三形等腰三角形的识别：①有两边相等的三角形是等腰三角形；②有两角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边③三边相等的三角形是等边三角形；④三个角都相等的三角形是等边三角形；⑤有一个角是°的等腰三角形是等边三角形。等腰三角形的性质：第页24页

相似三角形的性质相似三角形的性质＋AE＝22①等边对等角；②等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合；③等腰三角形是轴对称图形，底边的中垂线是它的对称轴；④等边三角形的三个内角都等于°。知点4直三形直角三角形的识别：①有一个角等于90°的三角形是直角三角形；②有两个角互余的三角形是直角三角形；③勾股定理的逆定理：如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。直角三角形的性质：①直角三角形的两个锐角互余；②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；③勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。知点5全三形定义、判定、性质知点6相三形二、典例分析

应边的比相,夹两边的高的相比周长比面积比似平方例1.已ABC和⊿ECD都等腰三角形ACB＝∠＝90D为AB边的一点求证）⊿≌⊿

ABCD）

22

。

DE证）∵DCE＝∠ACB°，∴DCE－∠＝∠ACB∠，

C

B即∠ACE＝∠，∵＝BCCE，∴⊿ACE≌⊿。（2∵ACE⊿BCD∴CAE∠B＝45，∵BAC＝∠B＝°，∴∠＝°，∴AD＋AE＝DE。第页24页

中小学个性化教育辅导专家例已知：点P是边内一点，∠＝150，PB＝，PC＝，PA长。APBD解∵＝，∴将⊿点顺针方向旋转°使BA与BC重合，得，结PD∴＝＝2PA＝DC∴⊿是边三角形。∴∠＝°。∴∠＝BPC∠BPD＝150°－60°＝°

C∴DC

2

PC

2

2

2

．DC＝。【变式】若已知点是边ABC内一点，＝的度数吗？请试一试。

，＝，PC＝3能求出∠BPC例如图是边三角形ABC内的一点，连结、、，以BP为作∠PBQ°，且BQ＝BP，连结．（1观察并猜想AP与之的大小关系，并证明你的结论．（2若：PB：PC＝3：：5连结，判断△的形状，并说明理由．解1把ABP绕B顺针旋转60即可得到△CBQ利用等边三角形的性质证△ABP≌△CBQ，得到＝CQ（）连接，则PBQ是边三角形PQ＝AP＝CQ故CQ：PCPA＝：：，∴△是角三角．例4.（）已知如图①，AOB和△中OA＝＝OD，＝CODº。求证：＝，②∠＝60。（2如图②，在AOB和中OA＝OBOCOD，＝∠＝，则AC与BD间等量关系式；大小为____________。（3如图③，在△和△COD＝，OC＝kOD（>1AOB＝∠COD＝，则与BD的等量关系式为_；APB大小为_____________。第页24页

中小学个性化教育辅导专家DOO

D

O

DA

P

C

A

P

C

B

CB①

B

②

A

P

③证：∵△和△为三角形，∴OA＝OB，OD＝，＝º＝60º。∵∠AOB∠BOC∠＋∠BOC，∴∠＝BOD∴△≌△BOD，＝BD。∴∠＝∠OBD∴∠＝∠＝º。（2）与BD间等量关系式为＝；APB的小α。（3）与BD间等量关系式为＝；APB的小º－。例如图，已知∠MON＝90º，等边三角形的个顶点A是射线OM上一定点，顶点B与重，顶点C在MON部。（1当顶点B射线ON上动到时连结为一边的等边三角形AB（保留作图111痕迹，不写作法和证明（2设与交于点的长线与B交于点D。证：11（3连结CC，试猜想∠为少？并证明你的猜想。1

AC

；第页24页

中小学个性化教育辅导专家解）图所示；证明）∵△AOC与eq\o\ac(△,)C是边三角形，1∴∠ACB＝∠ABD＝60º。1又∵∠AD∴△∽eq\o\ac(△,AB)eq\o\ac(△,)D；1ACAB1即.1（3猜想ACC＝90。1证明：∵△AOC和eq\o\ac(△,)为正三角形＝，＝AC，11∴∠＝∠，11∴∠－∠＝C－∠，∴∠OAB＝。eq\o\ac(△,)≌△。111∴∠＝∠＝º。11、我们知道，如果两个三角形全等，则它们面积相等，而两个不全等的三角形，在些情况下，可通过证明等底等高来说明它们的面积相等．已知与△是腰直角三角形，∠=∠，连接、BE（1如图，当∠时，求证eq\o\ac(△,：)与的面积相等．（2如图，当＜∠＜90°，上述结论是否仍然成立？如果成立，请证明；如果不成立，说明理由做（3如图，在图2的础上，作⊥BE，延长交AD于点G求证：点G为中点做A

A

AD

GC

C

D

C

DEBB

E

B

F

E图

图2

图第页24页

中小学个性化教育辅导专家、）问题发现如图，ACBeq\o\ac(△,)DCE均等边三角形，点A，，E在一直线上，连接BE填空：①∠AEB度数为60；②线AD，BE之的数量关系为AD=BE．（2拓展探究如图2eq\o\ac(△,)ACBeq\o\ac(△,)DCE均等腰直角三角形ACB=∠点A在一直线上，CMeq\o\ac(△,)中上的高，连接BE请判断AEB的数及线段CMAEBE之的数量关系，并说明理由．（3解决问题如图，在正方形ABCD中，，若点满，∠BPD=90，直接写点A到BP距离．解）如1，∵△和DCE均等边三角形，∴，，ACB=∠°．∠．eq\o\ac(△,)ACDeq\o\ac(△,)BCE中∴△≌．∴∠∠．DCE为边三角形，∴∠CDE=°．∵点A，，E在同一直线上，∴∠ADC=120．∴∠BEC=120．AEB=∠BEC﹣∠．故答案为：．②∵△≌BCE，∴AD=BE．故答案为：AD=BE．（2AEB=90，．理由：如图，第页24页

中小学个性化教育辅导专家ACB和均等腰直角三角形，∴，，ACB=∠°．∴∠∠．eq\o\ac(△,)ACDeq\o\ac(△,)BCE中∴△≌．∴AD=BE，∠ADC=∠．∵△为等腰直角三角形，∠CED=45．∵点A，，E在同一直线上，∴∠ADC=135．BEC=135AEB=∠BEC﹣∠．∵，⊥DE，∴DM=ME∵∠DCE=90，∴．∴AE=AD+DE=BE+2CM．（3，∴点在点D为心，1为径的圆．BPD=90，∴点在BD为直径的圆上．∴点是两圆的交点．①当P如图①所位置时，连接PDPBPA，作⊥，垂足为H过点AAE⊥，交BP点，如图3．∵四边形ABCD是方形，∴∠ADB=45．AB=AD=DC=BC=，°．∴BD=2．∵DP=1，∴．∵A、、四共圆，∴∠∠ADB=45．PAE是腰直角三角形．又∵△BAD是腰直角角形，点B、、共，AHBP，∴由（2）中的结论可得．∴．∴AH=

．②当P如图②所位置时，连接PDPBPA，作⊥，垂足为H第页24页

中小学个性化教育辅导专家过点AAE⊥，交PB的长线于点E，如图②．同理可得：PD∴=2AH．∴AH=

．综上所述：点A到BP的离为

或．、等边

ABC

的两边、AC所直线上分别有两点

、，D为

外一点，且60

BDC120

,BD=DC.探究：当M、N分在直线、上动时，BM、NC、MN之的数量系及的周长与边ABC周长L的系．图

图

图（I）如图1当点M、N、上且时，、NC、之的数量系是；此

QL

；（II）如图，点M、NAB、AC上且当DM吗？写出你的猜想并加以证明；

DN时猜想（I）问的两个结论还成立（III）如3当M、分在边AB、CA的长上时，若

，则Q=

（用

、L表、如图直

分别交轴于A、C，点P是该直与反比例函数在第一象限内的一个交点,⊥轴B,且

.(1)求eq\o\ac(△,:)∽ABP（）点P的标；（点R与P在一个反比例函数的图象且点直线PB的右,作RT⊥x轴T,当BRT与△相时求R的标.

y第页24页

C

AOBTx

22中小学个性化教育辅导专22

令x则令y则x（B0，OCS4

△AOCABPAOC

PBAOCS4AOCS9ABP2PB3AB3PB6(3)

x设点R坐标为（n①当△BRTACO,OABT即

42n6n

nnn)12②当△∽△CAO时OA第页24页

中小学个性化教育辅导专家即

426nn

nn去2综合①、②所述13或3(1

132

或3,2)10如图，在△ABC，∠C=90，AB=5．点P从点B出发，以每秒1个单位长度沿B→A的方向运动Q从发每秒2单位沿AB方向的运动，到达点B立即原速返回，若Q点同时运动，相遇后同时停止，设运动时间为ι秒．（1）当=时，点P点相遇；（2）在点P点B到点C运动过程中，当ι为何值时，△等腰三角形？（3）在点Q从点B返回点A的运动过程中，设△面积为s方单位．①求与ι之间的函数关系式；②当最大时，过点P直线交AB点D，将△ABC中沿直线PD折叠，使点A落在直线上，求折叠后的APD与△重叠部的面积．解1在直角△ABC，AC==4，则从C到B经过的路程是，需要的时间是4.5秒．此时动的路程是4.5P之间的距离是：3+4+5﹣根据题意得﹣）（t﹣），解得：t=7（2）Q从到A时间是3，P从A到时间是3．则当0t2，若△为等腰三角形，则一定有：PC=CQ，即3﹣t=2t，解得：t=1．当2＜≤时，若△PCQ为等腰三角形，则一定有如图1Q在的中垂线上，⊥AC，则PC．△AQH∽△ABC，第共页

22在直角△AQH中，AQ=2t﹣4，则QH=AQ=∵﹣BP=3﹣，∴×（2t﹣4）﹣t，

中小学个性化教育辅导专家．解得：

；（3点Q从点B回点A的动过程中定在AC上﹣3BQ=2t﹣9，即﹣（2t﹣9）=14同（2）可：△，边上的高是：（14﹣2t故（2t﹣9×（14﹣2t）（﹣t﹣2故当时，s有大值，此时，AC的中点如图2∵沿直线叠，使点A落在直线上，∴一定是AC的中垂线．则AP=AC=2，PD=BC=，则

△

××=．AQ=14﹣﹣×5=4．则边上的高是：AQ=×4=

．则

△

PC

××

．故答案是：7．第共

中小学个性化教育辅导专家、如图，矩形的点A、分在x轴y轴，B的标为（，）双曲线y

kx

(

的图象经过的点D且与交点E，连接（1求k的值及点的坐标；（2若点F是OC边一点，eq\o\ac(△,且)∽△DEB，求直线FB的析yC

DBF

E如

OA第20题

x第共页

中小学个性化教育辅导专家12类比转化、从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到，如下是一个案例，请补充完整。原题：如图1eq\o\ac(□,在)ABCD中，点是边的中点，点是线段AE一点，BF的延长线交射线CD于点。若（1）尝试探究

AFCD，求的值。EFCG在图中，过点作//交于点H，则AB和EH的数量关系是_____________CG和的数量关系是，（2）类比延伸

CG

的值是__________.AFCD如图2，在原题的条件下，若m(0)，则的值是_____________（用EFCG含的代数式表示写出解答过程。

D

DFC图1

F图2

C（3）拓展迁移如图3，梯ABCD中DC，是的延长线上一点和相交于ABAF点F。若ab0)，则的值是_（用含a的代数式表示D

CF

图3第共页

中小学个性化教育辅导专家、eq\o\ac(△,Rt)ABC在角坐标系内的位置如图1示反例函数

y

kx

(

在第一象限内的图像与边于点D，边于点E（2的面积为．（1求m与数量关系；（2当tanA＝

12

时，求反比例函数的解析式和直线的表达式；（3设直线AB与y轴于点F，点在射线FD，在（2的条件下，如eq\o\ac(△,果)AEO与EFP相似，求点P的标．14、读下面材料：小腾遇到这样一个问题：如下图①，在ABC中点D在段上∠=°，∠=°AD=2，=2，求AC的长①②第25题小腾发现过作∥AB交AD的长线于点E,通过构eq\o\ac(△,造)经推理和计算能够使问题得到解决（如上图②）.请回答：∠度数为____,的为___.参考小腾思考问题的方法，解决问题：如下图③，在四边形ABCD中，=90，=°，∠ADC°与BD交点E，AE，=2，求的.③第25题图.解：∠ACE的数°的为.第共页

中小学个性化教育辅导专家过点作DF⊥于点，下图.第25题图∵∠=90°，∴AB∥，∴∽△FDEABAE∴∴EF=2DFDFED∵在中，∠CAD°，=°∴∠ACD75，∴=AD∵DF⊥,∴∠=90.在△AFD中，AF=2+1=3,∴DF°，AD3,∴ACAB∴

AC

6.形ABCD点，使：：16如图1在Rt△ABC中∠B=900BC=2AB=8,点D,E分别是边AC的中点，连DE，将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为.（1）问题发现①当α=0

0

时，

AE=；②当α=1800，BDBD

=.（2）拓展探究试判断当00≤α≤3600，

BD

的大小有无变化？请仅就图2情形给出证明.第共页

中小学个性化教育辅导专家(3)解决问题当△EDC旋转至A,D,E三点共线时，直接写出线段的长.

图

图

备用图

解）①

谷瑞林图…………1②

………2提示：①当α=0

时，在eq\o\ac(△,Rt)中，BC=2AB=8,AB=4；

822

=4

5又点D,E分是边BC，的中点，CEAB,∴

CE4=BDCD

A②当α=180，∴∥AB,∴AE=45+2=6∵BC=8;CD=4；∴BD=8+4=12

B

C

DE∴

AE6=BD2（）变化误判断，但后续证明正确，不扣分）…3分在图1中∵点D,E分是边BC，AC的中，∴∥AB,∴

CECDCACB

,∠EDC=∠B=90;如图2，∵△在旋转过程中形状大小不变，∴

CECDCACB

仍然成立。………分又∵∠ACE=∠；∴△∽△，∴

AEACBD

………6分在eq\o\ac(△,Rt)ABC中，AC=

82

=4

5

，第共页

中小学个性化教育辅导专家∴∴

AEAC5==。BD8的大小不变。……8分BD

D

（）

5

或

1255

……10分

图4

提示：如图4，当△EDC在BC上，且A、、三点共线时，四边形ABCD是矩形，∴BD=AC=45；

如图5，当△在BC下，且A、、E

三点共线时，△ADC是直角三角，由勾股定理得，AD=8,∴AE=6,AE根据,得BD=BD2

图

17图是△和△ADE的公共顶点BAC＋∠DAE＝AB·，＝·，点M是DE的中点，直线AM交直线点．（1）探究∠与∠的关系，并加以证明．（2）若△绕点A旋转，其他条件不变，则在旋转的过程中（）的结论是否发生变化？如果没有发生变化，请写出一个可以推广的命题；如果有变化，请画出变化后的一个图形，并证明变化后∠与∠的关系．

D

M

第共页

中小学个性化教育辅导专家解1）∠ANB+∠BAE=180°．证明法一）如图，延长ANF，使MF=AM，连接、EF．∵点M是的中点，∴DM=ME，∴四边形ADFE是平行四边形∴AD∥EF，AD=EF∴∠DAE+∠AEF=180°∵∠BAC+∠DAE=180°∴∠BAC=∠AEF∵AB=kAEAC=kAD∴ABAE=ACAD∴ABAE=ACEF∴△ABC△EAF∴∠B=∠EAF∵∠ANB+∠B+∠∴∠ANB+∠EAF+BAF=180°即∠ANB+∠BAE=180°（法二）如图，延长DAF，使AF=AD，连接EF．∵∠BAC+∠，∠DAE+∠EAF=180°∴∠BAC=∠EAF∵AB=kAEAC=kAD∴ABAE=ACAD∴ABAE=ACAF∴△ABCAEF∴∠B=∠AEF∵点M是的中点∴DM=ME，又∵AF=AD∴AM是△DEF的中位线∴AM∥EF∴∠NAE=∠AEF∴∠B=∠NAE∵∠ANB+∠B+∠BAN=180°第共页

222中小学个性化教育辅222∴∠ANB+∠NAE+∠BAN=180°即∠ANB+∠BAE=180°．（2变化．如图，∠ANB=∠BAE．选取（ⅰ图．证明：延长AM到F，使MF=AM，接DFEF∵点M是的中点∴DM=ME∴四边形ADFE是平行四边形∴AD∥FE，AD=EF∴∠DAE+∠AEF=180°∵∠BAC+∠DAE=180°∴∠BAC=∠AEF∵AB=kAEAC=kAD，k=1∴AB=AEAC=AD∴AC=EF∴△ABC△EAF∴∠B=∠EAF∵∠ANB+∠B+∠∴∠ANB+∠EAF+BAF=180°即∠ANB+∠BAE=180°选取（ⅱ图．证明：∵AB=AC∴∠B=1/2（∠∵∠BAC+∠DAE=180°∴∠BAC∴∠B=1/2∠DAE∵AB=kAEAC=kAD∴AE=AD∵AM是△ADE中线，AB=AC∴∠EAM=1/2∠DAE∴∠B=∠EAM∵∠ANB+∠B+∠BAM=180°∴∠ANB+∠EAM+∠BAM=180°即∠ANB+∠BAE=180°182013津）在平面直角坐标系中，已知（﹣20B04E在，且∠OAE=∠0BA．（Ⅰ）如图①，求点的坐标；（Ⅱ）如图②，将△AEO沿x轴向右平移得到eq\o\ac(△,A)eq\o\ac(△,)′′O，连接AB′．①设AA，其0＜m＜2，试用的式子表示AB+BE，并求出AB+BE取得最小值时点E的坐标；②当A′取得最小值时，求点′的坐标（直接写出结果即可第共页

2222222222222中小学个性化教育辅2222222222222解Ⅰ）如图①，∵点A（20B0，4∴，OB=4．∵∠OAE=∠0BA，∠∠AOB=90，∴△∽△OBA，∴

，即

，解得，OE=1，∴点的坐标为（，（Ⅱ）①如图②连接EE．由题设知AA=m（0＜A﹣m．在Rt△A′，AB=AO+BO，得AB（2﹣m）=m﹣4m+20．∵eq\o\ac(△,A)eq\o\ac(△,)′EO是△AEOx轴向右平移得到的，∴EE′∥AA，且EE=AA′．∴∠′=90，′．又BE=OB﹣OE=3，∴在Rt△BEE，′

2

′

+BE

=m

，∴AB+BE=2m﹣（m1）+27．当m=1时，AB′可以取得最小值，此时，点′的坐标是（，②如图②过点A作AB⊥x，使AB易证eq\o\ac(△,AB)eq\o\ac(△,)′A≌△′，∴B′A=BE，∴A′′B+BA．当点BAB在同一条直线上时AB+BA最小，即此A′取得最小值．易证eq\o\ac(△,AB)eq\o\ac(△,)′A∽eq\o\ac(△,′)OBA′，∴

=，∴AA=×，第共页

中小学个性化教育辅导专家∴EE′′，∴点E的坐标是（，1192013哈尔滨）如图，在平面直角坐标系中，点0为坐标原点，点的坐标为(3，0)，以0A为边作等边三角形OAB，点B第一象限，过点B作的垂线交x轴于点C．动点P从0点出发沿0C向C点运动，动点从B点出发沿向A点运动，P,Q两点同时出发，速度均为1个单位／秒。设运动时间为秒．(1)求线段BC的长；(2)连接PQ交线段OB于点，过点Ex的平行线交线段BC于点F。设线段EF的长为m，求m与t之间的函数