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第六节第二型曲面积分一、曲面的侧观察以下曲面的侧(假设曲面是光滑的)曲面分上侧和下侧曲面分内侧和外侧当曲面的法向量指向朝上，就认为曲面取上侧；当曲面的法向量指向朝外，就认为曲面取外侧；曲面的分类:1.双侧曲面;2.单侧曲面.典型双侧曲面Mobius带典型单侧曲面:播放..曲面法向量的指向决定曲面的侧.决定了侧的曲面称为有向曲面.莫比乌斯带典型单侧曲面:典型单侧曲面:莫比乌斯带典型单侧曲面:莫比乌斯带典型单侧曲面:莫比乌斯带典型单侧曲面:莫比乌斯带典型单侧曲面:莫比乌斯带典型单侧曲面:莫比乌斯带典型单侧曲面:莫比乌斯带典型单侧曲面:莫比乌斯带典型单侧曲面:莫比乌斯带典型单侧曲面:莫比乌斯带典型单侧曲面:莫比乌斯带典型单侧曲面:莫比乌斯带典型单侧曲面:莫比乌斯带典型单侧曲面:莫比乌斯带典型单侧曲面:莫比乌斯带二、概念的引入实例:流向曲面一侧的流量.1.分割记该点流速为法向量为2.求和3.取极限设有向曲面△S在xoy面上的投影（△S)xy，规定：因此Φ三、概念及性质被积函数积分曲面类似可定义存在条件:物理意义:流向曲面∑的流量性质:四、计算法(投影法)注意:对坐标的曲面积分,必须注意曲面所取的侧.(一投二代三定号)一投二代三定号,具体说来：投到XOY面,代入z(x,y),上正下负。投到YOZ面,代入x(y,z),前正后负。投到ZOX面,代入y(z,x),右正左负。解自己做:设∑是球面x2＋y2＋z2＝R2，取内侧，则C五、两类曲面积分之间的关系两类曲面积分之间的联系向量形式解六、小结1、物理意义2、计算时应注意以下两点曲面的侧“一投,二代,三定号”思考题思考题解答此时的左侧为负侧，而的左侧为正侧.解:解:解1:解2:一、高斯(Gauss)公式二、斯托克斯(stokes)公式一、高斯公

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