【卓越学案】高考理科数学新课标一轮复习练习：9.5第1课时椭圆定义(含答案解析)

一、选择题11．已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于2，则C的方程是()22B．x22A.x＋y＝1＋y＝1344322D．x22C.x＋y＝1＋y＝14243[导学号35950690]分析：选D.右焦点为F(1,0)说明两层含义：椭圆的焦点在x轴上；c1222x2y2c＝1.又离心率为a＝2，故a＝2，b＝a－c＝4－1＝3，故椭圆的方程为4＋3＝1，应选D.22x＋y＝1上一点P到两个焦点的距离之积是m，则m的最大值是()2．已知椭圆259A．25B．34C．9D．16[导学号35950691]分析：选A.设椭圆的焦点为F1，F2，则|PF1|＋|PF2|＝10，故m＝|PF1|＋|PF2|2＝25.应选A.|PF1||PF·2|≤23．已知椭圆x2＋my2＝1的离心率e∈(1，1)，则实数m的取值范围是()234A．(0，)B．(，＋∞)4334，＋∞)D．(34)C．(0，)∪(4，1)∪(1，433[导学号35950692]分析：选C.椭圆的标准方程为x2＋y2＝1.当m>1时，e2＝1－1∈(1，1m4m1)，解得m>4；312m－1133当0<m<1时，e＝＝1－m∈(，1)，解得0<m<，故实数m的取值范围是(0，)1444m(4，＋∞)，应选C.322xy4．已知椭圆a2＋b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(－c,0)、F2(c,0)，若椭圆上存在点a＝c，则该椭圆离心率的取值范围为( )P使sin∠PF1F2sin∠PF2F12A．(0，2－1)B.2，1C.0，2D．(2－1,1)2[导学号35950693]分析：选D.依据正弦定理得|PF2|＝|PF1|，sin∠PFsin∠PF1F22F1因此由a＝c可得a＝c，sin∠PF1F2sin∠PF2F1|PF2||PF1|即|PF1|＝c＝e，因此|PF1|＝e|PF2|，又|PF1|＋|PF2|＝e|PF2|＋|PF2|＝|PF2|·(e＋1)＝2a，|PF2|a则|PF2|＝2a，e＋1由于a－c<|PF2|<a＋c(不等式两边不可以取等号，不然分式中分母为0，无心义)，因此a－c<2ae＋1<a＋c，c2c即1－<<1＋，ae＋1a因此1－e<21－e1＋e<2，2<1＋e2，e＋1<1＋e，即{解得2－1<e<1，选D.1的直线l交椭圆C：x2y25．已知斜率为－2a2＋b2＝1(a>b>0)于A，B两点，若点P(2,1)是AB的中点，则C的离心率等于()12A.2B.233C．4D．2[导学号35950694]分析：选D.设A(x1，y1)，2222x1y1x2y2B(x2，y2)，则a2＋b2＝1，a2＋b2＝1.两式相减得x1－x2x1＋x2y1－y2y1＋y22＋b2＝0，ab2y1－y2y1＋y2＝－－111得2＝－x1＋x22×＝，ax1－x224即a2＝4b2＝4(a2－c2)，23，e＝3因此3a2＝4c2，e2＝c2a＝42.应选D.x2y26．椭圆C：4＋3＝1的左、右极点分别为A1，A2，点P在C上且直线PA2的斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线PA1斜率的取值范围是( )1333A.2，4B.8，41，1D．3，1C.24x2y2[导学号35950695]分析：选B.由椭圆C：4＋3＝1可知其左极点A1(－2,0)，右极点A2(2,0)．2设P(x，y0)(x0≠±，2)代入椭圆方程可得y0＝－3x0－44利用斜率计算公式可得kPA1·kPA2＝－3，再利用已知给出的kPA2的范围即可解得kPA14338，4.应选B.227．F1，F2是椭圆x＋y＝1的两个焦点，A为椭圆上一点，且∠AF1F2＝45°，则△AF1F297的面积为()A．77C.7D.75B.422[导学号35950696]分析：选C.由题意可得a＝3，b＝7，c＝2，故|F1F2|＝22，|AF1|＋|AF2|＝6，|AF2|＝6－|AF1|.∵|AF2＝222||AF1|＋|F1F2|－2|AF1||F·1F2|cos45°＝|AF2－4|AF1|＋8，1|(6－|AF1|)2＝|AF1|2－4|AF1|＋8.解得|AF1|＝7，2177∴△AF1F2的面积S＝××22×sin45＝°，应选C.222x2y28．设点P是椭圆a2＋b2＝1(a>b>0)上一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，I为△PF1F2的心里，若S△IPF1＋S△IPF2＝2S△IF1F2，则该椭圆的离心率是( )12A.4B.213C．2D．2[导学号35950697]分析：选C.设△PF1F2的内切圆半径为r，由S△IPF1＋S△IPF2＝2S△IF1F2，111得|PF1|×r＋|PF2|×r＝2×|F1F2|×r，222即|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|，即2a＝2×2c，c1因此椭圆的离心率为e＝＝，应选C.2y2F1的直线交椭圆E9．设F1，F2分别是椭圆E：x＋2＝1(0<b<1)的左、右焦点，过点b于A，B两点，若|AF1|＝3|F1B|，AF2⊥x轴，则椭圆E的方程为( )23y2242＝1A．x＋＝1B．x＋y23C．x2＋2y2＝1D．x2＋3y2＝1[导学号35950698]分析：选A.如下图，AF2⊥x轴，∴|AF2|＝b2.|AF1|＝3|BF1|，12B－3c，－3b.将B点代入椭圆方程，1225－bc23＝1，得－＋b232∴25c2＋b＝1.99又∵b2＋c22122＝1，∴c＝3，b＝3.232故所求的方程为x＋y＝1.应选A.10．已知两定点A(－2,0)和B(2,0)，动点P(x，y)在直线l：y＝x＋3上挪动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为( )26226A.13B.13213413C．13D．13[导学号35950699]c2分析：选B.由题意知c＝2，离心率e＝＝.由于动点P在直线l：y＝x＋3上挪动，因此2a＝|PA|＋|PB|.作点A对于直线y＝x＋3的对称点C，如下图．由对称性可求得点C(－3,1)．当a有最小值时，对应的离心率e有最大值.2a＝|PA|＋|PB|≥|CD|＋|DB|＝|BC|＝－3－22＋1－02＝26，则a≥262.224226故椭圆C的离心率的最大值emax＝amin＝26＝26＝13，应选B.211．设F1，F2分别为椭圆x22→→3，4＋y＝1的左、右焦点，点P在椭圆上，且|PF1＋PF2|＝2则∠F1PF2＝()ππA.6B.4ππC．3D．2[导学号35950700]分析：选D.法一：设∠F1PF2＝θ，依据余弦定理|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF·2|cosθ，2即12＝|PF1|＋|PF2|－2|PF1|·|PF2|cosθ.→→22|cosθ.由|PF1＋PF2|＝23，得12＝|PF1|＋|PF2|＋2|PF1||PF·2π两式相减得4|PF1|·|PF2|cosθ＝0，cosθ＝0，θ＝2.→→→→→3，又|OF1|法二：由于PF1＋PF2＝2PO，O为坐标原点，|PF1＋PF2|＝23，因此|PO|＝＝|OF2|＝3，因此P，F1，F2在以点O为圆心的圆上，且F1F2为直径，因此∠F1PF2＝π2.2212.如图，F1，F2分别是椭圆x＋y2＝1(b>0)的左，右焦点，椭圆的离心率为3－1，P4b为椭圆上第一象限内的一点，→→与△PF1F2三边所在直线都相切，切点分别PF1·PF2＝0，圆A为B，C，D，则圆A的半径为()A．43B．43－6C．43－2D．6－23[导学号35950701]分析：选B.由于圆A与△PF1F2三边所在直线都相切，切点分别为B，C，D，因此|PC|＝|PB|，|F2B|＝|F2D|，|F1C|＝|F1D|.由于|PF1|＋|PF2|＝2a，因此|PF1|＋|PC|＋|F2D|＝2a，因此|F1C|＋|F1D|＝2a＋2c，因此|F1C|＝|F1D|＝a＋c＝23，→→又由于PF1·PF2＝0，因此∠F1PF2＝90°，设∠PF2F1＝θ，由于P为椭圆上第一象限内的一点，因此45°<θ<90°，则2ccosθ＋2csinθ＝2a，即sinθ＋cosθ＝a＝3＋1，c2因此1＋sin2θ＝3＋12＝1＋3，22因此sin2θ＝3，因此2θ＝120°，θ＝60°，|PF1|＝2csinθ＝2csin60＝°3c.2由于椭圆的离心率为3－1，因此c＝2(3－1)，因此圆A的半径为|F1C|－|PF1|＝23－3×2(3－1)＝43－6.二、填空题x2y213．已知椭圆a2＋b2＝1(a>b>0)的一个焦点是F(1,0)，若椭圆短轴的两个三平分点M，N与F组成正三角形，则此椭圆的方程为________．[导学号35950702]分析：由△FMN为正三角形，得c＝|OF|＝3|MN|＝3222×b＝1.解3得b＝3，2a2＝b2＋c2＝4.故椭圆的方程为x＋y＝1.4322答案：x＋y＝143π2，则E14．设AB是椭圆E的长轴，点C在E上，且∠CBA＝，若|AB|＝4，|BC|＝4的两个焦点之间的距离为________．π[导学号35950703]分析：设坐标原点为，O，作CD⊥AB于点D(图略)，由∠CBA＝4|BC|＝2，可得|BD|＝|CD|＝1，又由|AB|＝4，可得|AO|＝|OB|＝2，则|OD|＝1，因此C(1,1)．22不如设椭圆E的标准方程为x＋y2＝1，4b24将点C(1,1)代入可得b＝3，则c＝a2－b2＝4－4＝26，33因此E的两个焦点之间的距离为2c＝463.答案：463x2y2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别是→15．椭圆C：2＋2F1，F2，A，B是C上两点，AF1＝ab→3F1B，∠BAF2＝90°，则椭圆C的离心率为________．[导学号35950704]分析：设|F1B|＝x，|AF1|＝3x，|AF2|＝y，则由勾股定理，得|BF2|＝|AB|2＋|AF2|24x2＋y2＝16x2＋y2.由椭圆的定义，得|AF1|＋|AF2|＝|BF1|＋|BF2|，即3x＋y＝x＋16x2＋y2，化简得y＝3x.因椭圆的长半轴为a，半焦距为c，则由椭圆的定义得|AF1|＋|AF2|＝6x＝2a，a＝3x.又由勾股定理，得|F1F2|＝|AF1|2＋|AF2|2＝32x＝2c，则c＝322x.32x故椭圆C的离心率为e＝c＝2＝2a3x2.答案：22x2y216．若A、B为椭圆C：a2＋b2＝1(a>b>0)长轴的两个端点，垂直于x轴的直线与椭圆交于点M，N，且kAM