2022年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（白卷）试卷

…………○……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○……○……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页绝密·启用前2022年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（白卷）试卷题号一二三四总分得分注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上评卷人得分一、单选题1.已知集合A={1,2,4,6}，B={2,2.设z=(1−i)(2+i)，则z=（

）

3.已知非零向量a，b满足b=2a=2，且2a−b=3a，则a⋅b=（

4.设备的经济寿命是指设备从投入使用开始到因继续使用在经济上不合理而被更新所经历的时间.已知某单位在修筑中老铁路时，新采购了一台工程设备，该工程设备的经济寿命满足N0=2P−LNλ，其中N0为设备的经济寿命（单位：年），P为设备目前的市场价值，E总c=P0tc5.已知圆C：x2+(y−1)2=a2(a＞0)与直线l：x-y-1=0相交于A，B两点，若△ABC的面积为2，则圆C6.把函数fx=cosx−π6图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把所得图象向左平移π3个单位长度得到函数gx的图象，则gx=（

）

7.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（

）

A．5

B．4

C．3

D．2

8.设9−log3a=3，则8a=（

）

9.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1a＞b＞0的右焦点为2,0，右顶点为A，O为坐标原点，过OA的中点且与坐标轴垂直的直线交椭圆C于M，N两点，若四边形OMAN是正方形，则10.记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为32，b=2，2asinB−acosC=ccosA，则c=（

）

11.已知AB，CM分别为圆柱上､下底面的直径，且AB=2，圆柱的高为3，AB⊥CM，则点M到平面ABC的距离为（

）

A．52

B．2

C．72

D．312.已知函数fx=ex−lnx+kx−1有两个零点，则实数k的取值范围为（

）

评卷人得分二、填空题13.某科研机构为评定新研发的水稻的亩产量，随机抽取了部分地块进行测试，得到的样本亩产量（单位：kg）分别为1120，1135，1128，1123，1128，1129，1126，则该次新研发的水稻亩产量的平均值的估计值为___________kg.

14.已知α,β∈0,π2，cos15.已知双曲线x2a2−y2b2=1a＞0,b＞0的左､右焦点分别为F1评卷人得分三、双空题16.已知函数fx=ex,x≤0x−评卷人得分四、解答题17.记Sn为等比数列{an}的前n项和.已知a4=−8a1，S6=21.

(1)求18.针对长江经济带河湖保护中存在的突出问题，水利部门出台了一系列指导和保护措施，取得了积极成效.为了解当地居民对长江及沿岸生态环境的保护意识，分别从长江沿岸的两地居民中各随机抽取了20位居民进行问卷调查，并将调查问卷的成绩进行统计，得到如下数据：

甲地得分：79，60，80，96，89，54，74，72，65，52，61，85，61，81，79，74，53，68，68，53.

乙地得分：80，86，73，60，52，96，77，93，75，99，81，67，55，77，74，97，85，77，99，78.

(1)根据表中数据绘制茎叶图并大致判断甲､乙两地哪个地区居民的环保意识相对较高，并说明理由；

(2)现从90分以上的调查问卷中随机抽取2份进行分析，求这2份问卷中至少有1份来自甲地的概率.

19.如图，已知直三棱柱ABC−A1B1C1的底面△ABC是正三角形，BC=CC1=2，D为AB的中点，点P，N分别为A1C，A1D的中点，过点P，N的平面交AA120.设抛物线C：x2=8y，过点0,1的直线l与C交于A，B两点，分别过点A，B作抛物线的切线，两切线相交于点P.

(1)求点P21.设函数fx=axlnx−2x，其中a＞0.

(1)若函数fx在x22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x=6cosθy=3sinθ（θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcosθ−2ρsinθ=4.

23.设a,b,c∈R，a+b+c=−1.

参考答案1.B

【解析】

根据交集的定义，即可求解.

因为集合A={1,2,4,6}，B2.A

【解析】

利用复数乘法求出z即可得解.

因z=(1−i)(3.A

【解析】

直接利用数量积的运算和a2=a2，即可求解.

因为b=2a=2，则b=2，a=1.

4.C

【解析】

把P=7500，N0=6，λ=350代入已知公式计算可得．

由设备目前的市场价值为7500万元可知P=7500，经济寿命为6年可知N0=6，低劣化值为350万元可知λ=5.C

【解析】

本题考查直线与圆，考查运算求解能力及数形结合思想.结合圆心到直线的距离和圆内的弦长可求解.

如图，

由圆C方程可知圆心C(0,1)，半径为a，由点到直线的距离公式可知圆心C到直线l的距离d=|0−1−1|12+(−1)2=2，

又△6.D

【解析】

根据三角函数平移法则以及诱导公式即可求出．

将函数fx=cosx−π6图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变可得y=cos27.B

【解析】

先依据三视图得到该几何体的直观图，再去求其体积即可.

根据题意，几何体是一个如图所示的三棱锥，

且三棱锥的高h=2，底面积S=12×4×3=6，8.C

【解析】

运用对数恒等式以及指数幂的运算性质即可求解

因为9−log3a=3−2log3a9.A

【解析】

待定系数法去求椭圆C的方程

由椭圆方程可知Aa,0，由四边形OMAN是正方形可知Ma2,a2，

又点M在椭圆C上，则有a22a2+a22b2=1，解得a2b2=310.B

【解析】

由正弦定理边角互化可求得sinA=12，结合面积公式即可求得c.

因为2asinB−acosC=ccosA，由正弦定理可得2sinAsinB−sinAcosC=11.D

【解析】

首先得出VM−ABC的表达式，运用等体积法求出体积，再利用体积公式求点M到平面ABC的距离即可.

如图所示，连接AM，BM，设O1，O分别为上､下底面圆的圆心，连接AO，BO，分别过A，B作底面圆的垂线，垂足分别为H，N.

因为AB⊥CM，结合圆柱的性质可知CM⊥平面ABNH，且VM−ABC=2VM−ABO，

而VM−ABO=13×12×2×3×1=33，

故VM−ABC=233.

12.A

【解析】

令fx=ex−lnx+kx−1=0，得k=lnx+1−exx，令gx=lnx+1−exx，转化为函数gx=lnx+1−exx与直线y=k的图象有两个交点求解.

解：函数fx的定义域为0,+∞，

令fx=ex−lnx+kx−1=0，得k=lnx+1−exx.

令gx=lnx+1−13.1127

【解析】

由均值定义计算．

该次新研发的水稻亩产量的平均值的估计值为17×1120+113514.115【解析】

由α,β∈(0,π2)，cos(α+β)=45，即可求得sin(α+β)，用二倍角公式即可求得sinβ和cosβ，用拼凑角思想可表示出α=15.±2【解析】

根据双曲线的第一定义以及正三角形的性质可得c2=3a2，再根据点F1到其中一条渐近线的距离为2，可知b=2，然后由a,b,c的关系即可解出a，从而得出该双曲线渐近线的斜率．

因为△F1AB为等边三角形，所以AF1=2csin60∘=4c3,AF2=16.

答案见解析

答案见解析

【解析】

根据所选条件及分段函数解析式分类讨论，结合指数函数的性质解得即可；

解：因为fx=ex,x≤0x−1,x＞0，

选择条件①fx≤12，

此时不等式fx≤12，即为x≤0ex≤12或x＞0x−1≤12，17.(1)an=−(【解析】

（1）根据a4a1=q3，求公比，再求首项，即可求数列的通项公式；

（2）由（1）可知bn=2n−2，再根据等差数列前n项和公式求和.

(1)

因为a4=−8a1，所以a4a1=q3=−8，解得q18.(1)乙地居民的环保意识相对较高，理由见解析

(2)13【解析】

（1）根据表中数据绘制茎叶图可通过数据的分布，平均数或中位数判断；

（2）利用古典概型的概率求解.

(1)

解：根据表中数据绘制得到如图所示的茎叶图：

由茎叶图中的数据分布情况可知，乙地所收集的调查问卷得分情况较高，则乙地居民的环保意识相对较高

理由1：乙地调查问卷得分大多在70分以上，甲地调查问卷得分70分以下的明显更多，所以乙地居民的环保意识相对较高；

理由2：甲地调查问卷得分的平均分为70.2，乙地调查问卷得分的平均分为79.05，所以乙地居民的环保意识相对较高；

理由3：甲地调查问卷得分的中位数为68+722=70，乙地调查问卷得分的中位数为77+782=77.5，所以乙地居民的环保意识相对较高.（以上三点写出其中一点即可）

(2)

由题中的数据可知，90分以上的调查问卷来自甲地的只有1份，记为A，来自乙地有5份，分别记为B，C，D，E，F，

随机抽取2份的可能结果有A,B，A,C，A,D，A,E，A,F，B,C，B,D，B,E，B,F，C,D19.(1)证明见解析

(2)64【解析】

（1）通过证明PN⊥平面A1ABB1来证得平面EMN⊥平面A1ABB1.

（2）先求得EN，结合相似三角形求得三角形EMN边EN上的高，从而求得三角形EMN的面积.

(1)

因为AA1⊥平面ABC，CD⊂平面ABC，所以CD⊥AA1.

又因为△ABC是正三角形，D是AB的中点，所以CD⊥AB.

又AA1∩AB=A，所以CD⊥平面AA1B1B.

因为点P，N分别为A1C，A1D的中点，所以PN//CD，所以PN⊥平面A1ABB1.

又PN⊂平面EMN，故平面EMN⊥平面A1ABB1.

(2)

在Rt△A1AD中，由AA1=2，AD=1，可知A1D=20.(1)y=−1【解析】

（1）根据题意可知，直线l斜率存在，设Ax1,y1，Bx2,y2，设直线l的方程为y=kx+1，与抛物线方程联立可求出x1+x2=8k，x1x2=−8，再利用导数的几何意义求出过点A，B的切线方程，然后联立可得点P的坐标，即可得到点P的轨迹方程；

（2）由（1）可得，PA⋅PB=x1−4k,y1+1⋅x2−4k,y2+1，化简运算可得，PA⋅PB=−8k2−4，即可求出PA⋅PB的最大值.

(1)如图，结合图象可知，当直线l的斜率不存在时，直线l与C只有一个交点，不合题意；

当直线l斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+1，

联立x2=8yy=kx+1，化简可得x2−8k21.(1)1

(2)1,【解析】

（1）由题意得f′e=alne+1−2=0，求出a=1，然后再检验即可，

（2）将问题转化为alnx+x+2x−3≥0在1,+∞上恒成立，构造函数Fx=alnx+x+2x−3，x∈1,+∞，利用导数求出其最小值在于等于零即可求出a的取值范围

(1)

由题意得函数fx的定义域为0,+∞，求导可得f′x=alnx+1−2.

因为函数fx在x=e处取得极小值，所以f′e=alne+1−2=0，即2a−2=0，

解得a=1，

当a=1时，f′x=lnx−1，

当0＜22.(1)x26+y23【解析】

（1）利用cos2θ+sin2θ=1消去参数θ，可得曲线C的普通方程，利用极坐标与直角坐标的互化公式可求出直线l的直角坐标方程，

（2）设曲线C上任意一点M6cosθ,3sinθ到直线l的距离为