数学分析知识点总结709

一章实集与函数§1 §1 教学目的使学生掌握的基本性质．教学重点：理解并熟练运用的有序性、稠密性和封闭性；牢记并熟练运用教学难点的概念及其应用．教学方法讲．(部分内容自学)教学程序：引言上中，我们大家共同探讨了《学分析》这门程和开始．”开始．答《学分析》研究的基本对象是，但这里的“实”上的（XX《复变》研究的是定义在复上的）.为此，我们.1.“限小”（包括整）也“限小”.此作如规定：于正限小中记；于正整则记；于负（包括负整）则将限小现在所得小之前加负号.00=例:32.9999|1；-2.001》-2.009999|)I；-3》-2.9999111用上述规定任何都可用个确定限小来如何比较大小?2两大小比较1）定义1给定两个非负.中非负整整．若、按上述规定有（）．规定：任何任何比较的价条件（通过有限来比较）．定义2（不足近似过剩近似）：有理的位不足近似的位过剩近似.其位不足近似注：的不足近似当增时不减即有n时不增，即有．命题：两个的价条件是：数 n,使（其中的位不足近似的位过剩近似）．命题应用例1设有理,满足．证明：由知：n,.令r有理且即．3、常用性质（II.）.封闭性（集）四运算是封闭的即任意两个不0）仍是......2...“”取）二、绝值式1、绝值定义绝值定义为.2、几意义从看绝值就是到原距离.表就是3、质12；3,；45；6.、几个重要1、2、均值：记算术平均值）几平均值）调和平均值平均值：即：n1 1 11 - a a a1 2 号当且仅当时成立a2ann3、Bernoulli:（xx）有不等式当且,且时,有严格不等式证：由且nn(1=n(1 —(114、利用二项xx得到的不等式：对由二项xxn(n-1)(1h)n =1nh2!有上式右端任何一项［练习］P4.5［课堂小结］:实数：.

h2 n(n—1)(n—2)h3 hn,3!［作业］P4.1.(1),2.(2)、(3),3§2 数集和确界原理授课章节：第一章实数集与函数一一§2 数集和确界原理教学目的：使学生掌握确界原理，建立起实数确界的清晰概念教学要求:掌握邻域的概念；理解实数确界的定义及确界原理，并在有关命题的证明中正确地加以.()....§1 实相.下面来下如何！1、证明任何(1)(2).()()2、证明.3、设证明若任何正则4、设证明存在满足.[申]:①由1结呢？这样思考是做科时经常的思路之.而不做完就完！而多想想能否具体出般结般？②由述几个小可体会出“”与不同③课后未布置作业的习题要尽可能多做以加深尽快掌握本本节主要内容：1、先定义实数集R中的两类主要的数集一一区间与邻域；2界集与无界集；3界集的界引出确界定义及确界存在定(确界原)一、区间与邻域1、区间(用来表示变量的变化范围)设且.其中开区:<x€ R|avx<b>=(a,b)限区间* 间：兰4[b]半开半闭区间开开区间5b)J开闭区间:卜亡R|a<x^b}=(a,b]无限区间

xR|xa],xR|x(Y,a].x=R|xa[=xR|xa--,a).xR|-x2“居”.字面意思“近的区”.与近的“区”很多，到底哪一类是我们所要讲的“”呢？就是“关于的对称区间”如何用数学语言来表达呢？的设，满足不等式的全体实数的集合称为点的其中点的空心的右和点的空心右U(a;、)二[a,a、)LU(a)U),a+)LU={x

xa兰x<a+6};xavxca点的左和点的空心左U—(a;6)=(a—6,a][U_(a)={xa—6cx^a};U[(a;6)=(—U(a)={x—5xv.(M)；u(p)={xXAM},U(-°a)={xXV-M}、有界集与无界集11一个集.若存在S有上(下)界集.称S若集S既有上界又有下界S有界集.闭区间、开区间有限)、等都是有界集,集合也是有界集.若SS无界集.等都是无界集，集合也是无界集.注：1)上(下)界若存在不唯一；2S关系如何？看下例1集有界性1；.M,M>0..2123.:S:.、确与确原理1、2确SR中满足1切有即S2存在使得即S中最小称S确记作从中得出:确就中112.:必要性用反法.2立与中最小矛盾.分析知识点总结.2.3SR一个数集若数满足：1对一切有S；2对任何存在S最大一个S记作.从可以出：就最大者.2要条件：1；2＞0v统称为例31则1 ；0.2则1 ；0.注：非空有数集或唯一.命题3：数集有则这必唯一.明：且则妨设有对.例：分析知识点总结.4.5.,,6,:,有或,,,,.,.. .3⑵做解释.. 最值.1）最值必种临点必（面）类似4.:Th1.1（）..必；必...1210n.1,n .2 ,n .9,1210121.:P91(1),(2); 2;4(2)(4);7§3:§3教学目.教学要求:(1 深刻理解的定义以及复合和初等,熟悉的各种表示法;(2 牢记基本初等的定义、性质及其图象.会求初等的存在域,会分析初等的复合关系.教学重点:的.教学难点:初等教学方法:堂讲引言关于，在中学节将对此作进步讨论.、的定义1.定义1 设，如果存在对应法则，使对，存在唯的个之对应，则称是定义在上的，记作:D>M...2“”表示按法则建立到关系表示这两个元素之间关系也.习惯上自变量因变量.有三个要素、法则和.当确后便自然确基本要素两个：和以也常表示由此我们两个相同是指它们有相同和1）（不相同法则相同不同）2）（相同只是法则表达形式不同）用公式法（解析法）表示时自变量通常存（自然）.此时可省略不写而只用“”或“”.（4）“映射”观来看本质上是映射于映射下象.“单”若同可以多于则种多.本书讨论单简.表示方法主要方法：解析法公式法、列表法表格法和图象法图示法）可用“特殊方法”来表示.分段：在域不同部分用不同公式来表示 例如 符号借助于sgnx可表示即.用语言叙述.注意；以下不是分段例 1取整比如：[3.5]=3,[3]=3,3.5]=-4.常即.此关非负小图形是条大锯看.2xx雷Dirichlet_1x〔0,x无是病态很用处却无法画出图形 .是周但却没最小周期事实上任理都是周期 .xxRiemmanI-,w+,二qq q,=1和1•、差、积如下:若XX值即令可商如下;注：1若贝y不能进行2为叙述方便、差、积、商常分别写为:、复合1 .引言有些实际问题中自变量因变量通过另外一些变量才建立起它们之间对应关系例：质量为m物体自由下落v,功率为抽去该问题实际意我们得到把代入即得“复合”，所“复合”［问题］任给两个都可以复合吗？考虑下例;就不能复合，结合上例可见，复合前提条件是“内”值域与“外”定义域交集不空（从而引出下面定义）定义（复合）对应内唯一一个值，而又通对应唯一一个值，，它以自变量，因变量，记作或.简记.和复合，并外，内，例子例求并求定义域.例⑴⑵则A.B.C.D.与能否进行复合，求复合.说明1）复合可由多个相继复合而成.每次复合，都要验证能否进行？在哪个集上进行？复合最终定义域是什么？.2..①②五、反.引言中叫做自量叫做因指出是自量地位并是绝对而是相对量但对来讲，是因习惯上说中是自量是因量是基于随现时我们研究随状况研究随我们引入反函2 概念R果由（则称上是1-1.称为满.1-11-1.R1-11-1.1-1.,.f:X>YfJ:Y>X）.1-1.1-1"x, 0x cfx=丿3-x 1兰xE2.:1-1.XX.、因互.RR.zy =z2-1z2zy _1=0）•.一是我们只1-1对应就行了；二是.只是到1-1,由条件我们有2fx人 f区X21-1再..由再由条件唯一不动点也不动点.性设是不动点由唯一性,不动点.唯一性设=...D .3、aDb.f4(x),xf(D).已 •图形 坐标系画出时差别.六、初等基本初等（6类）数C；..2.+sup'ar

为有理｛，当 a *=«a far当l时.rL_r<xX.[]“是存呢”初等3.由初等经过限次四则运算统称初等.Dirichlet、Riemann、取整都.注本课程研究此除对基本图象与性质应熟练掌握外还应常握确定2.求下列定义域.(1) ；(2)几个特例:设和都,则1)为2,,f(x)f(x)n）g(x)lnf(x):3;4:(2(3); 5:; 7:11§4§4....:..“”似先谈谈上和.11DDD.1D2DM D.11111“”类比出“”DxxDxx既xxDxxxxDxx.22D.正M,,D上.1几D图象完全落和之间；2DxxDxx既xx子(3)D31,.0,,.2..3.D.1(2).4,有f(x)

5x~2~2x+3

5x5x5—2——--=2x+3 2/6|x..2422= l524f(x)55x2x23f(x)55x2x2353tgt3'2tg2t15sint16costsect2 326

sin2t—产.2/6、单调函数3D，（1）SDD（2）DD例5．证明：在上是严格增函数.证明：设，如，则如，则故即得证.例6．讨论函数在上的单调性.，当时，有，但此函数在上的不是严格增函数.注：1）单调性与所讨论的区间有关.在定义域的某些部分，可能单调，也可能不单调.所以要会求出给定函数的单调区间；2）严格单调函数的几何意义：其图象无自交点或无平行于轴的部分.更准确地讲：严格单调函数的图象与任一平行于轴的直线至多有一个交点.这一特征保证了它必有反函数.总结得下面的结论：定理1．设为严格增（减）函数，则必有反函数，且在其定义域上也是严格增（减）函数.证明：设在上严格增函数.对.下面证明这样的只有一个.事实上，对于内任一由于在上严格增函数，当时，当时，总之.即，从而例7讨论函数在上反函数的存在性；如果在上不存在反函数，在的子区间上存在反函数否？结论：函数的反函数与讨论的自变量的变化范围有关8证明：当时在R 上严格增，当时在上严格递减.4.DD.D2D.12.1D.2..因“基本”法最小最小“基本”简“”.任给既基本周1,2C 常任何正都它.第二章引言了掌握变量变化规律往往需它变化过程来判断它变化趋势.例这么变量它开始1,然后去虽然无尽止但它变化趋势这趋势就它变化过程越来越接近零.我们就这变量极限0.、、积、.xx...“”字.里临着“”样对矛.xx矛.地“”.小.XXln=2nRsin—n.断•xx着xx.近.样....明..国xxxx早第3世纪提称“割术”.——割.其“”.除之外象梯计均源“”.必要对§1 ...xx....1“”但这“”任意而规律次性具体可如下；若函域全体整集合则称.12.21234）1“尺之棰日取其半部分xx出如下单位尺1，2，3，第天截下,得到:

xxXX竭”.把每天截下难出通项随着无增大而无地接近零般地若当无增大时能无地接近某称此收敛常称它.具有种特性收敛或称发散.0..“”法并不严格定义而仅是一种“描述性”法如何用学语言把析.为例观察该具下特性：随着无增大无地接近1无增大1减少随着无增大无减少会任意小只女口：使只即使只即；任给无论多么小正会存在一项从该项之后， 即当时.如何找N?（或存在吗？）解学式子即得：取即可 这样当时.综所述通项随无增大无接近1,即总存在正整当时有.即1精确定义记作或.定义1为实,若对任给正总存在正整则称实称为并记作或.（读作:当趋等或趋）取正整以在若没有则称不或称为.？1.|0|<<.N=则当n>N|-0|=<<2.（），3.124.5：n(n-1)(n-2)§33!n20:::

6n2

6n“

6n4 241 14n 27n(n-1)(n

27(n_1)(n_2)

27n

27n nBernoulli或0va—1=‘0va—1=‘an-1-11=,a-1an、n-1•、2-1因此则当即附此题请以下的错误做n=1、n)n 1n=nn1—=1_丄；1_；n n n趋零&由于有由于（ *）式是在的条件下成立的，故应取，当时就有 即总结用定义求极限或证明极限的关键是适当放大不等式，关键的追求有两点，一是把隐性表达式变成显性表达式，在重锁迷雾中看清庐ft真面目，二是抓住主要矛盾，舍去次要矛盾；要取舍合理，不能放大得过份.4关于数列的极限的定义的几点说明（1）关于：① 的任意性.定义 1中的正数的作用在于衡量数列通 项与常数 的接近程度，越小，表示接近得越好；而正数可以任意小， 说明与常数可以接 近到任何程度；②的暂时固定性.尽管有其任意性， 但一经给出，就暂时地被确 定下来，以便依靠它来求出；③的性.是任意小的正数，等等，是任意小的正数，定义 1中的不等式中的可用等来.而“可用 “；正由于是 任意小正数，可以限定小于一确定的正数 .（2） 关于：① 应性，一地，的变小而变大，常把定 作，来 是依于的；一经给定，就可以到一；②性 .的 应性不意味是由一确定的，给定的，若时能使得当时 ,有,则或更大的数时不等式自然成立 .所以不是一的 .事实上，在 许场合下，最重要的是的存在性，而不是它的有大 .基于， 在实际使用中的不必限于自然数，只要是正数即可；而且把“改 “无妨 .（3） 数列极限的几何理解：在 定义 1xx,“当时有“当时有”“当时有所有下标大于的项都落在邻域内；而在之外，数列 xx的项至只有（有限） .反之，任给，若在之外数列 xx的项只有有 限设这有限项的最大下标，则当时有，即当时有，由写出 数列极限的一种等价定义（邻域定义）： 定义 任给，若在之外数列中的项只有有限，则称数列收敛于 极限.1）2），收敛性和极限都不会发生影响.1.2..3.证2..2.1.P273,4,5,7,8.§2 §2 .目熟悉；掌握求常用方法求（1）使生解并能唯局部界保号保不式;（2）掌握并会四运算迫,并会用这些求某些.点迫及四运算法及应用.“”定义，并通过例题说明了验证，这是较基本内容，要求掌握.为了习技巧及其应用极来解决问题.还需要对性质作一步讨论.一、收敛性质性质1（唯一性） 若收敛，则它唯-证一假设都是，则由a-（n&-a卜&&”2；由任意性，式仅当时才成证二（反证）假设不唯一，即至少有两个不相等值，设为，且故不妨设，取由定义，，当时有又，当时有2（有界性）如果收敛，则必为有界设即令①性只是收敛的必要条件而非充分条件如②在证明必须分清何用定何3.2定不能用任给否随在变找到的也随在变的意义就不明3（保序性）设1）若存在212⑴知必这与已知矛盾推论保号.特别地贝打与同号思考把上述定理中的换成能否把结论改成？例设保序定理可得S,,S,,aan4四运算法、都收敛贝S、、也都收敛且 别地为常数再也收敛且于故只须关于和积与倒数运算的结论即可设；.1）2）xx..5、、且证明；以与已即.anaaaa aaak0::: n! 1 2kk+1nk!n…是正S迫性1：在中令此此看和2.1:1..;3：解4：解例5：11=(lim3 lim—)(lim1 lim—)=31=3n nn例

)nn nn6：K式原1如7：8:.1、引言..！ 出“整”特征角度对进行研究.那如果“整体无序”“部”否也无序如果“部”序可否“部”来推断整体性质简而言， 否部”来把握“整体”“部”就要讲“ XX”.2、子定义1为正整集无子集且则3f^丨112称为XX1XX各项都来自且保持些项中中取无多项按照其中顺序排成就XX（或XX中顺次取无多项成）2中中项中k中k中项.特地.注3项后称为;XXXX称为XX.如都XX.由XX同为收 敛或发.2.8XX给存正N,使得当由于故当从而也这就了（）．分考虑XX.按假它们.由于既XX，故由刚才（9）既样可得（10）（9）式（10）式给出7由2.8可见若XX则所XX于一个.于若XX或XX而不等则一发.例如其偶项组成XX1,而奇项组成XX于从而发.再如它奇项组成XX为XX发故发.由可见28判断发力工具.§3 存教学内容第二章—§3 存教学目使学生掌握判断存常用工具.12CauchyCauchy.、Cauchy及其.难相关.方法程序：引言研究比较复杂问题时通常分两来决先该是否有存问题若再考虑如何计算值计算问题.这是两基本问题.实际决了存问题之后即使值计算较为困难但由于当充分大时能充分接近其故可作为本节将讨存问题为了确个是否当然可能将个实本法是接本来作.可若为但之即.如•但观看来若又随 n增大减少而增 .——单调.、单调各项满足不等式则递增递减统单调．例如：递；递增；不是单调.二、单调定理〔问题〕1单调定吗？；2定单调吗？如果仅是单调不足以保证但若既单调又以面定理单调定理实系中且单调必2.12#1……，,……..而端除以得 ,得对等式边取则有2因为正因此取22:为记则后递减又为3.4；\,limXn・XX1——XX.2CauchyC auchy任存正整使当时.“”存贝打当时当时有先性,特别地时XXn n =a—aa •.—22n n N1 “’故()3Cauchy题 .CauchyCauchy:.“挤”起.c） Cauchy把a换成与.其好处数外a,只要根据身特征就鉴别其（）（发）散.例如（）且证.证令|an1-an

- 1aqnq

2n1a21q&-a_1q|?-|n1p■|an—anan.p'an.pj.1'ana2| |an1—an|pcqn2qn=c1q• q

」n1-q...^_卫mm mm m且 .45.an-p_an

++…+^p_< +…+］10n+10^ 10n4p—10n4\10丿6.下节进行.7：89：［作业］教材P38-391，3，5，6，10，11；教材P40-411 (1)(3)，3,4(1)-(3)(6)(8) ，5,10.(P3834)提示考虑用双逼原理可求得)附单调有界法欣赏Cauchy1789—1857,Rieman(1826—1866)先Riemann,得x =1n 1n(n—1) 1n(nn n2! n2 3!

n(n-1) 321n!/•n0xn

11112 3!n! 12 23 (n-1)n..Bernoulli）Bernoulli,1」x 1」n1

n22n \nn2+2n+1丿Bernoulli,有/.\,(11n1(n 1、 1 1+丄 / 2 亠 ，n1n n

n+2n+12yn1

1 11+-----

ln+2n丿一n+2 n1 '、n一n+2 Bernoulli）\..<n—<n—11=：Xn,/,=,•由AW<1,二<nAnn《）/•.《1991.M 1”.

1980.M 4P22.xx-an1b —a

n 1bn.,）:TheAmericanMathematicalMonthly》1974.Vol81.M 9P10—11........xxxf(x)x7|0,x=0.，..、运算、证明方法上都.F面就依次讨论些概念一一概念教学目：掌握分析能够用分析证明和计算.教学求：掌握当分析分析证明和计算简单.教学建议：.1A ..0;..“”.[问题]给它精确?,精确2. 1实.若给存使得.3、（1）1xxxxxxn.”示在右方曲全部落在如果给得小一即更窄一那么一般往右移无论带如窄总存在使得曲在右边个更窄内.现在上函若函值能无地于常则称别.种函精确1仿简写如下.推论设在上函则4.=A1.212、时函数1、引言上节讨论函数当时为在上在上，考虑时是否趋于某个本节假为在点某个空心邻域内函数，.现在讨论当时，对应的函数值能否趋于某个A数列.先看下面几个子：1.（是在上函数，当时，）2.（是在上函数，当时，）3.（是在上函数，当时，）由上述子可见，对有些函数，当时，对应函数值能趋于某个A但对有些函数却无此性质.所以有必要来研究当时，我们称上述第一类函数为当时以为描述性说法一样，这是一种描述性数学.那么如何给出这类函数..22A .31.2..——；但一经之后暂把看不.便通寻找成立.二——暂固.寻找常；另外正均正均扮演角色.也三——多；3它列N .它应.之应所依赖而适选取之；般.但求.——多值.（4）在定义中只函在某空心邻域内有定义而般在处函值否存在或者取什么样值.为对于函极限我们所研究当趋于过程中函变化趋势与函在该处函值无关.所以以考虑在点a函值否存在或取何值而限定“”.（5）定义中式；.从而定义2当时