求解微分方程

关于求解微分方程第一页，共七十六页，编辑于2023年，星期二例一曲线通过点(1,2)，且曲线上任意点切线的斜率均等于切点横坐标的2倍，求这曲线的方程。例

列车在平直线路上以

20m

/s的速度行驶，制动时列车获得加速度

0.4m

/s2

。问开始制动到停止需多少时间？这段时间列车又走了多远？第二页，共七十六页，编辑于2023年，星期二微分方程的定义定义

含有未知函数的导数(或微分、偏导数)的函数方程叫做微分方程，未知函数是一元函数叫做常微分方程，未知函数是多元函数叫做偏微分方程；其中出现的未知函数的导数(或微分、偏导数)的最高阶数叫做该微分方程的阶。n阶微分方程的一般形式：第三页，共七十六页，编辑于2023年，星期二(2)n阶微分方程的含有n个独立的任意常数的解称为它的通解；通解中确定了任意常数的解称为特解。微分方程的解定义

(1)对于微分方程设函数

y

(x)在区间I

上有n阶连续导数，如果在区间I

上满足则称y

(x)是方程在区间I

上的一个解，其图形称为积分曲线。第四页，共七十六页，编辑于2023年，星期二说明：(1)n阶微分方程的解中最多只能含有n个独立的任意常数。(2)微分方程的通解不一定包含它的全部解。如方程不包含特解

y

0。(3)

y(x0)=y0，y(x0)=y1

，…称为初始条件(或初值)。带有初始条件的微分方程问题称为初值问题。第五页，共七十六页，编辑于2023年，星期二微分方程解决实际问题的步骤(1)分析问题，建立微分方程并提出定解条件。(2)求微分方程的通解。(3)由定解条件定出任意常数，即求出特解。(4)讨论所得解的性质和意义。第六页，共七十六页，编辑于2023年，星期二例

证明x

C1cosktC2sinkt是方程的通解(k0),并求满足初始条件的特解第七页，共七十六页，编辑于2023年，星期二求曲线所满足的微分方程.例.已知曲线上点

P(x,y)处的法线与x

轴交点为

Q解:如图所示,令Y=0,得

Q

点的横坐标即点P(x,y)处的法线方程为且线段PQ被y轴平分,第八页，共七十六页，编辑于2023年，星期二作业(P298)：3(2)，5(2)，6。第九页，共七十六页，编辑于2023年，星期二§2可分离变量的微分方程第十页，共七十六页，编辑于2023年，星期二一阶微分方程的一般形式：F(x,y,y’)

0,或

y’f(x,y),或写成对称形式：

P(x,y)dxQ(x,y)dy。第十一页，共七十六页，编辑于2023年，星期二一个一阶微分方程称为可分离变量的微分方程，如果能把它写成形式

g(y)dyf(x)dx。若G(y)、F(x)分别是g(y)、

f(x)的原函数，得第十二页，共七十六页，编辑于2023年，星期二例

求微分方程的通解。例

解方程第十三页，共七十六页，编辑于2023年，星期二例

已知铀的衰变速度与含量M成正比(比例系数)。若t

0时铀的含量为M0，求时刻t

时铀的含量M(t)。解

由题设条件得微分方程由条件M(0)

M0

得CM0，所以tMM0铀的衰变规律第十四页，共七十六页，编辑于2023年，星期二例.

解初值问题解:

分离变量得两边积分得即由初始条件得C=1,(C

为任意常数)故所求特解为第十五页，共七十六页，编辑于2023年，星期二练习第十六页，共七十六页，编辑于2023年，星期二(P304)：1(1)(5)(7)(10)，2(2)，4，6。作业第十七页，共七十六页，编辑于2023年，星期二§3

齐次方程第十八页，共七十六页，编辑于2023年，星期二在一阶微分方程

y’

f(x,y)中，如果f(x,y)可以化为则该方程称为齐次方程。如何求解？第十九页，共七十六页，编辑于2023年，星期二例

解方程例.解微分方程例.解微分方程第二十页，共七十六页，编辑于2023年，星期二作业P309：1(1)(6)，2(3),3；第二十一页，共七十六页，编辑于2023年，星期二

§4

一阶线性微分方程第二十二页，共七十六页，编辑于2023年，星期二本节讨论一阶线性微分方程(1)(2)叫做对应于非齐次线性方程(1)的齐次线性方程。Q(x)

0时称为一阶非齐次线性微分方程，Q(x)

0时称为一阶齐次线性微分方程。第二十三页，共七十六页，编辑于2023年，星期二分离变量法这里表示P(x)的任一原函数。(3)一阶齐次线性方程(2)的解法得方程(2)的通解注：通解(3)包含了方程(2)的全部解。第二十四页，共七十六页，编辑于2023年，星期二常数变易法，令一阶非齐次线性方程(1)的解法第二十五页，共七十六页，编辑于2023年，星期二用常数变易法解非齐次方程的步骤：1.求出相应的齐次方程的通解；2.将通解中的任意常数C

变为函数C(x)，然后代入非齐次方程求出C(x)。3.非齐次方程的通解等于对应齐次方程的通解与方程的任意一个特解之和。第二十六页，共七十六页，编辑于2023年，星期二例解方程第二十七页，共七十六页，编辑于2023年，星期二习题(315)：1(3)(9)，2(5)，6，7(3)。作业第二十八页，共七十六页，编辑于2023年，星期二

§5

可降阶的高阶微分方程第二十九页，共七十六页，编辑于2023年，星期二三种可降阶的高阶微分方程一、型的微分方程二、型的微分方程三、型的微分方程第三十页，共七十六页，编辑于2023年，星期二y(n)f(x)型积分一次再积分一次共积分n次，便得到含n个任意常数的通解：——可逐次积分求得通解第三十一页，共七十六页，编辑于2023年，星期二例求y’

’’

e2x

cosx

的通解。解第三十二页，共七十六页，编辑于2023年，星期二y

f(x,y)

型令

y

p

，方程变为

p

f(x,p)，设其通解为p

(x,C1)

，——不显含y即y’(x,C1)

，说明：对于方程y(n)f(x,y(n1))，可令y(n1)

p而化为一阶微分方程p

f(x,p)。第三十三页，共七十六页，编辑于2023年，星期二例

求微分方程(1x2)y

2xy

的通解及满足初始条件y(0)1,y’(0)

3的特解。y

x33x

1。例

解方程第三十四页，共七十六页，编辑于2023年，星期二这时仍令

y

p

作为新未知函数，方程变为，设其通解为

p

(

y,C1)，则

y

f(y,y)型——不显含x第三十五页，共七十六页，编辑于2023年，星期二例解方程例.解初值问题第三十六页，共七十六页，编辑于2023年，星期二习题(P323)：1(2)(6)(10)，2(2)(4)(5)，3作业第三十七页，共七十六页，编辑于2023年，星期二

§6高阶线性微分方程第三十八页，共七十六页，编辑于2023年，星期二一、二阶线性微分方程举例例1

求弹簧振子的运动规律x(t)。xOx自由振动的微分方程强迫振动的微分方程第三十九页，共七十六页，编辑于2023年，星期二这就是串联电路的振荡方程，其中例2

设由电阻R、电感L、电容C和电源E

Emsint串联组成的电路中，电容C两极板间的电压为uC，则有第四十页，共七十六页，编辑于2023年，星期二二、函数的线性相关与线性无关定义

设y1,y2,

…

,

yn是定义在区间I上的n个函数，如果存在

n

个不全为零的常数k1,k2,…,kn，使在I上就称这n个函数在I

上线性相关，否则称为线性无关。第四十一页，共七十六页，编辑于2023年，星期二例如：1

,cos2x

,sin2x

在(

)线性相关；

1

,x

,x2

在任何区间上线性无关。说明：1)

线性相关

其中至少有一个函数可由其它函数线性表出；2)

y1,y2,…,

yn线性无关若k1

y1

k2

y2

…kn

yn0,则k1

k2…

kn0。3)y1与y2线性相关

常数。

第四十二页，共七十六页，编辑于2023年，星期二n阶线性微分方程的一般形式：二阶非齐次线性方程

对应的齐次线性方程f(x)

0齐次，f(x)

0非齐次。第四十三页，共七十六页，编辑于2023年，星期二证直接将y

C1y1C2y2代入(2)得：定理

如果y1,y2是齐次方程的两个解，那么y

C1y1C2y2也是解，其中C1,C2是任意常数。三、齐次线性方程解的结构第四十四页，共七十六页，编辑于2023年，星期二定理

设y1,y2是齐次方程(2)的两个线性无关的特解(称为(2)的一个基本解组)，则y

C1y1C2y2(C1,C2是任意常数)是它的通解，且此通解含有全部解。例

y1

x

,

y2

e

x

是齐次线性方程的一个基本解组，故其通解是第四十五页，共七十六页，编辑于2023年，星期二定理(解的叠加原理)设y1(x)

,y2(x)分别是方程的解，则y

y1(x)

y2(x)是如下方程的解：证非齐次线性方程解的结构第四十六页，共七十六页，编辑于2023年，星期二定理

设

y*(x)是非齐次方程(1)的一个特解，Y(x)是对应的齐次方程(2)的通解，则

y

Y(x)

y*(x)

是方程(1)的通解，且此通解含有全部解。证

由定理3，y

Y(x)

y*(x)

C1y1C2y2

y*(x)是(1)的解，又它含有两个独立的任意常数，故是通解。设y0(x)是(1)的任一解，则y0(x)

y*(x)是齐次方程(2)的解，故存在常数C10与C20，使得y0(x)

y*(x)

C10y1C20y2,于是y0(x)

C10y1C20y2

y*(x)

。例

yx2

是方程的一个特解，故其通解是第四十七页，共七十六页，编辑于2023年，星期二n阶线性微分方程上面关于二阶线性方程的结论可推广到n

阶线性方程1.

线性微分方程解的叠加原理：设y1(x)

,y2(x)

分别是方程L[

y]

f1(x)与L[

y]

f2(x)的解，则y

y1(x)

y2(x)是方程

L[

y]

f1(x)

f2(x)的解。L[

y]

f(x)

,其中2.

齐次线性方程解的结构：设y1,

y2,…,

yn是齐次线性方程

L[

y]0

的n

个线性无关的解(称为它的一个基本解组)，则y

C1y1

C2y2…Cn

yn(C1,C2,

…

,Cn是任意常数)是它的通解，且此通解含有全部解。第四十八页，共七十六页，编辑于2023年，星期二常数,则该方程的通解是().设线性无关函数都是二阶非齐次线性方程的解,是任意例.提示:都是对应齐次方程的解,二者线性无关.(反证法可证)(89考研)第四十九页，共七十六页，编辑于2023年，星期二解:故原方程通解为代入初始条件故所求特解为例已知微分方程个解求此方程满足初的特解.有三始条件第五十页，共七十六页，编辑于2023年，星期二非齐次线性方程解的结构：设y*(x)是非齐次方程

L[y]

f(x)的特解，Y(x)是对应的齐次方程L[y]

0的通解，则y

Y(x)

y*(x)

是非齐次方程L[y]

f(x)的通解，且此通解含有全部解。第五十一页，共七十六页，编辑于2023年，星期二作业习题(P331)：1(3)(7)，3，4(1)第五十二页，共七十六页，编辑于2023年，星期二

§7

常系数齐次线性微分方程第五十三页，共七十六页，编辑于2023年，星期二一、特征方程与特征根二阶常系数齐次线性方程

y

’’

p

y

’

q

y0

.

定义称代数方程r2

pr

q0.为微分方程的特征方程，它的根叫做微分方程的特征根。第五十四页，共七十六页，编辑于2023年，星期二1)

p24q

0

,

r1,

r2是两个不相等的实根，则是方程(1)的两个线性无关的解，方程的通解是微分方程的通解第五十五页，共七十六页，编辑于2023年，星期二取

u

x

,得

，这时方程(1)的通解为：

代入得：2)p24q

0

,

得到方程的一个解设另一个线性无关的解第五十六页，共七十六页，编辑于2023年，星期二得到两个线性无关的实解，所以通解是：根据解的叠加原理3)

p24q

0

,

得到一对共轭复根

r1

i,r2

i,这样得到两个线性无关的复数形式的解第五十七页，共七十六页，编辑于2023年，星期二①r1,

r2是不等二实根，②r1,

r2是相等二实根，其中③r1,

r2是一对共轭复根，求二阶常系数齐次线性方程(1)的通解的步骤如下：1)写出特征方程r2

pr

q

0；2)求出特征方程的两个根r1,

r2；3)根据r1,

r2的不同情况写出通解：第五十八页，共七十六页，编辑于2023年，星期二例

求y

’’

2y

’

3y

0

的通解。例求方程满足初始条件s(0)4

,

s

’(0)2

的特解。例

求方程

y

’’

2y

’5y

0

的通解。第五十九页，共七十六页，编辑于2023年，星期二n

阶常系数齐次线性方程求解步骤如下：1)

写出特征方程2)求出特征方程的

n个根(特征根)，3)

根据特征根写出

n个线性无关的解(基本解组)，4)

写出微分方程的通解。第六十页，共七十六页，编辑于2023年，星期二一对单共轭复根

i

：

k重实根r

：一对

k重共轭复根

i

：单实根r

：说明：n

次方程共有n

个根，对应每个特征根可写出一个基本解组中的解。方法如下：第六十一页，共七十六页，编辑于2023年，星期二特征根是r1

r2

0

,r3,41

2i,因此微分方程的通解为：y

C1+C2x

+ex(C3cos2x+C4sin2x)

.例

求方程的通解。解

特征方程第六十二页，共七十六页，编辑于2023年，星期二特征根是r1

r2

1

,r3,4微分方程的通解为：例

解方程解

特征方程r

42r3

3r2

4r

20,r

42r3

3r2

4r

2(r1)(r3r22r2

)(r1)2(r22)。第六十三页，共七十六页，编辑于2023年，星期二解整系数高次代数方程一般用分解因式法和试根法，应注意以下特殊情形：(1)系数之和为零时，有根x

1；(2)奇偶项系数之和相等时，有根x

1；(3)如果方程有有理根则p

是a0的因数，q

是an

的因数。习题(P340)：1(3)(6)(10)，2(2)(5)第六十四页，共七十六页，编辑于2023年，星期二§8

常系数非齐次线性微分方程第六十五页，共七十六页，编辑于2023年，星期二二阶常系数非齐次线性微分方程的一般形式：求方程(1)的通解，归结为求对应的齐次方程本节只介绍当方程(1)中的f(x)取两种常见形式时用待定系数法求出特解

y*

的方法。y

’’

p

y

’

q

y

f(x)

,

p,q是常数(1)y

’’

p

y

’

q

y0的通解和(1)的一个特解。第六十六页，共七十六页，编辑于2023年，星期二

f(x)是多项式Pm(x)与指数函数

ex的乘积，其导数仍然是同一类型，因此我们推测，特解具有形式

y*

exQ(x)，其中Q(x)是待定的多项式。将y*

exQ(x)

，y*’

ex[Q(x)Q’(x)]

，y*’’

ex[2

Q(x)2Q’(x)Q’’(x)]代入方程(1)并消去ex得：Q’’(x)(2+p)Q’(x)(2pq)Q(x)Pm(x)(2)一、f(x)

exPm(x)其中

是常数，Pm(x)是一个m次多项式。第六十七页，共七十六页，编辑于2023年，星期二Qm(x)

b0x

m

b1x

m1

bm1x

+

bm

，代入(2)式，比较同次幂系数，得到一个以b0,b1,

…

,

bm为未知数的m

1

个方程的方程组，从而可求出特解y*

Qm(x)ex

.2)

是特征方程r2

pr

q

0

的单根，即2+p+q

0，但2

p

0

，(2)式变为Q’’(x)+(2+p)Q’(x)

Pm(x)

，

可见

Q’(x)

应是m次多项式且Q(x)的常数项可任取(不妨取为零)，令

Q(x)

xQm(x)，用同样的方法可求出Qm(x)的系数b0,b1,

…

,

bm

.1)

不是特征方程r2

pr

q

0

的根，2+p+q

0

，要使(2)式两端相等，Q(x)必须是m次多项式第六十八页，共七十六页，编辑于2023年，星期二3)

是特征方程r2

pr

q

0的重根，即2pq

0,且

2

p

0

，(2)

式变为Q’’(x)

Pm(x)

，可见

Q’’(x)

应是

m

次多项式且

Q(x)的常数项和一次项系数可任取，因而可令

Q(x)

x2Qm(x)，然后用同样的方法求出Qm(x)的系数b0,b1,

…

,

bm

。结论：

f(x)

e

xPm(x)时方程(1)有

y*

xkQm(x)ex

形式的特解：当

不是特征根时取

k

0，当

是单特征根时取

k

1，当

是重特征根时取

k

2。第六十九页，共七十六页，编辑于2023年，星期二例

求微分方程y’’

2y’

3y

3x1

的通解。解特征方程r2

2r

3

0

有不等二实根1

,3。令y*

b0x

b1,代入方程得3

b0x

2b03b13x+1，

0不是特征根，Pm(x)

3x+1

,m

1。比较系数得b0

1

,b1