第1章特殊平行四边形解答题培优提升专题训练2021-2022学年北师大版九年级数学上册(答案)

解答题培优提升专题训练（附答案）1．如图，AE⊥CD于E，BF平分∠ABC与AD交于F．AE与BF交于G．▱ABCD中，（1）延长DC到H，使CH＝DE，连接BH．求证：四边形ABHE是矩形．（2）在（1）所画图形中，在CH的延长线上取HK＝AG，当AE＝AF时，求证：CK＝2．如图，在菱形AECF中，对角线AC，EF交于点O，AB⊥CF的延长线于点B，CD∥AB交AE的延长线于点D．（2）若AB＝4，BC＝8，求菱形AECF的面积．3．如图，在等腰△ABC中，D是底边BC上异于C点的任意一点，AN是△ABC的外角∠CAM的平分线，CE∥AD交AN于E．（1）求证：四边形ADCE是平行四边形；（2）将题中“D是底边BC上异于C点的任意一点四边形ADCE是什么四边形？为什么？（3）在（2）中，当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是正方形”改为“D是底边BC上的中点”，则？并证明．4．在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝9，对角线AC、BD交于点O，一直线过O点分别交AD、BC于点E、F，且ED＝4，求证：四边形AFCE为菱形．5．如图，四边形ABCD的对角线AC⊥BD于点E．点F为四边形ABCD外一点，且∠FCA＝90°，BC平分∠DBF，∠CBF＝∠DCB．（1）求证：四边形DBFC是菱形（2）若AB＝BC，∠F＝45°，BD＝2，求AC．；6．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于D，作DE∥BC交AB于点E，作DF∥AB交BC于点F．（1）求证：四边形BEDF是菱形（2）若∠BDE＝15°，∠C＝45°，CD＝2，求DE的长．；7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延F，使EF＝DE，连接CF，BF．（1）求证：四边形CFBD是菱形（2）连接AE，若CF＝6，DF＝4，求AE的长．；8．在Rt△ABC中，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．（1）证明：四边形ADCF是菱形；（2）若AC＝4，AB＝5，求菱形ADCF的面积．9．如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，且BE＝DF．（1）求证：平行四边形ABCD是菱形；（2）若AB＝10，AC＝12，求平行四边形ABCD面积．10．如图，射线BG⊥线段AB，P为射线BG上一点，以AP为边作正方形APCD，且点D与点B在AP两侧，在线段DP上取一点E，使∠EAP＝∠BAP，直线CE与线段AP，AB分别M、F（点F与点A、B不重合）．（1）求证：△AEP≌△CEP；（2）判断CF与AB的位置关系，11．如图，点E在正方形ABCD外，DE＝CD，且DE∥AC．连接AC，AE，CE，过点D作DF⊥CE于点F，交AE于点G．（1）求∠DAE的度数；（2）求证：AG2+DG2＝2AD2；（3）连接BG，并延长交AC于点N，交DE于点M，求证：四边形CEMN为平行四边12．如图，在P是AB边上一点（不与A，B重合），过点P作PQQ，且；13．如图，点E、F分别在▱ABCD的边AB、CD的延长线上，且BE＝DF，连接AC、EF、14．如图，E是AC上一点，点F在BE延长线上，且EF＝BE，EF与CD交于点（1）求证：DF∥AC．（2）连结DE，CF，若AB⊥BF，且（3）在（2）的条件下，若四边形CFDE是正方形，且AB＝2，求BC的长．AC，BD为平行四边形ABCD的对角线，点G，连结DF．G恰好是CD的中点，求证：四边形CFDE是菱形．15．如图，已知在△OAB中AO＝BO，分别延长AO，BO到点C、D，使得OC＝AO，OD＝BO，连接AD，DC，CB．（2）以AO，BO为一组邻边作平行四边形AOBE，连接CE．若CE⊥AE，求∠AOB的16．如图，在正方形ABCD中，E、F、G、H分别是各边上的点，且AE＝BF＝CG＝DH．求E为线段AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．40°时，直接写出∠EFC的度数．Rt△CEF中，∠C＝90°，∠CEF，∠CFE外角平分线交于点A，过点A分别作B，D为垂足．（1）∠EAF＝°（直接写出结果不写解答过程）；（2）①求证：四边形ABCD是正方形．②若BE＝EC＝3，求DF的长．（3）如图（2），在△PQR中，∠QPR＝45°，高PH＝5，QH＝2，则HR的长度是（直接写出结果不写解答过程）．19．如图，在正方形ABCD中，点E是边BC延长线上一点，联结DE，过点B作BF⊥DE，F，BF与边CD相交于点G．（1）求证：CG＝CE；（2）联结CF，求证：∠BFC＝45°；（3）如果正方形ABCD的边长为2，点G是边DC的中点，求EF的长．D作DF⊥AE，垂足为点F，交CE的延长线于状，并说明理由；21．在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E在线段OC上，点F在线段AB上，连接BE，连接EF交BD于点M，已知∠AEB＝∠OME．（1）如图1，求证：EB＝EF；（2）如图2，点N在线段EF上，AN＝EN，AN延长线交DB于H，连接DF，求证：22．如图，过△ABC边AC的中点O，作OE⊥AC，交AB于点E，过点A作AD∥BC，与BO的延长线交于点D，连接CD，CE，若CE平分∠ACB，CE⊥BO于点F．（1）求证：①OC＝BC；（2）若BC＝3，求DE的长．参考答案1．证明：（1）如图1，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∵CH＝DE，∴CH+CE＝DE+CE，即EH＝CD，∴四边形ABHE是平行四边形，∵AE⊥CD，∴∠AEH＝90°，∴平行四边形ABHE是矩形．（2）连接BK，如图2，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴∠AFB＝∠CBF，∵BF平分∠ABC，∴∠ABF＝∠CBF，∴∠AFB＝∠ABF，∴AB＝AF，∵AE＝AF，∴AE＝AB，由（1）得：四边形ABHE是矩形，∴∠ABH＝∠BHE＝90°，AE＝BH，∴∠BHK＝90°，AB＝BH，∵AB∥CD，AE⊥CD，∴AE⊥AB，∴∠BAG＝90°，在△BHK和△BAG中，

，∴△BHK≌△BAG（SAS），∴∠HBK＝∠ABG，∴∠HBK+∠HBF＝∠ABG+∠HBF＝∠ABH＝90°，2．证明：（1）∵四边形AECF是菱形，∴AD∥BC，∵CD∥AB，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AB⊥BC，∴平行四边形ABCD是矩形；（2）解：∵四边形AECF是菱形，AB＝4，BC＝8，设BF＝x，则FC＝8﹣x，∴AF＝FC＝8﹣x，在Rt△ABF中AB2+BF2＝AF2，∴（8﹣x）2＝x2+42，解得：x＝3，∴FC＝8﹣3＝5，∴SAECF＝FC•AB＝5×4＝20．菱形3．（1）证明：∵△ABC是等腰三角形，∵AN是△ABC的外角∠CAM的平分线，∴∠MAC＝2∠NAC，∴∠NAC＝∠ACB，∴AN∥BC，∵CE∥AD，（3）解：当△ABC是等腰直角三角形时，四边形ADCE是正方形，证明：∵△ABC是等腰直角三角形，∴AD⊥BC，AD＝CD，4．证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD＝BC＝9，OA＝OC，∠ABC＝90°，∴∠EAO＝∠FCO，在△AEO和△CFO中，，∴△AEO≌△CFO（ASA），∴AE＝CF，∴四边形AFCE是平行四边形，∵AE＝AD﹣ED＝9﹣4＝5，∴CF＝5，∴BF＝BC﹣CF＝4，在Rt△ABF中，由勾股定理得：AF＝＝＝5，∴AE＝AF，5．（1）证明：∵AC⊥BD，∠FCA＝90°，∠CBF＝∠DCB．∴BD∥CF，CD∥BF，∴四边形DBFC是平行四边形∵BC平分∠DBF，∴∠CBF＝∠CBD，∵∠CBF＝∠DCB，∴∠CBD＝∠DCB，∴CD＝BD，；∵AB＝BC，AC⊥BD，∴AE＝CE，过C作CM⊥BF于M，如图所示：∵BC平分∠DBF，∵∠F＝45°，∴AE＝CE＝CM＝，∴AC＝2AE＝2，故答案为：2．∴∠ABD＝∠DBC，∴∠ABD＝∠EDB，∴BE＝DE，∴平行四边形BEDF是菱形；∵DH⊥BC，∴DH＝DF，∵∠C＝45°，∴△CDH是等腰直角三角形，∴DF＝2DH＝4，∴DE＝4．7．（1）证明：∵点∴CE＝BE，EF＝DE，E为BC的中点，又∵∴四边形CFBD是平行四边形，∵D是边AB的中点，∠ACB＝90°，∴CD＝AB＝BD，∴平行四边形CFBD是菱形；D，E分别是边AB，BC的中点，∴DF⊥BC，∴CE＝＝＝4，∴AE＝＝＝4．∵AF∥BC，，∴△AEF≌△DEB（AAS）；∴AF＝DB，又∵AF∥BC，∴AD＝BC＝CD，∴平行四边形ADCF是菱形；∴菱形ADCF的面积＝2△ACD的面积＝△ABC的面积＝AC×AB＝×4×5＝10．，∴△ABE≌△ADF（ASA），∴AB＝AD，在Rt△ABO中，由勾股定理得：＝8，∴BD＝2BO＝16，∴平行四边形ABCD面积＝AC•BD＝×12×16＝96．＝10．证明：（1）∵四边形APCD为正方形，∴DP平分∠APC，PC＝PA，∴∠APD＝∠CPD＝45°，∵PE＝PE，∴∠FCP＝∠BAP，∴CF⊥AB．∴∠DAE＝∠AED，∴∠DAE＝∠CAE＝∠CAD＝22.5°；（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADC＝90°，∴∠CDF＝180°﹣90°﹣22.5°﹣22.5°＝45°，∵DC＝DA，DF⊥CE，∠CDF＝∠EDF＝22.5°，∵∠DEA＝22.5°，∵DF为CE的中垂线，2，∴△ADG≌△BCG（SAS），∴∠BGC＝∠AGD＝45°，∴∠BGC＝∠GCE＝45°，∴MN∥CE，12．证明：（1）∵PQ⊥CP，∴∠QPC＝90°，∴∠BPC+∠PCB＝90°，∴∠B＝180°﹣（∠BPC+∠PCB）＝90°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形；（2）连接CQ，∴∠D＝90°，∵∠CPQ＝90°，，∴Rt△CDQ≌Rt△CPQ（HL），∴CD＝CP．13．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝DC，AB∥DC，又∵BE＝DF，∴AB+BE＝DC+DF，即AE＝CF，∵AE＝CF，AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形．∴AC、EF互相平分；（2）∵AB∥DC，∴∠AEO＝∠CFO，∵EF平分∠AEC，∴∠AEO＝∠CEO，∴∠CEO＝∠CFO∴CE＝CF，∵EF＝BE，∴DG＝CG，在△DFG和△CEG中，，∴△DFG≌△CEG（ASA），∴FG＝EG，∴四边形CFDE是平行四边形，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∵AB⊥BF，∴平行四边形CFDE是菱形；（3）解：∵四边形CFDE是正方形，∴EF＝CD＝AB＝2，EF⊥CD，∴CG＝DG＝EG＝FG＝EF＝1，∵BE＝EF＝2，＝＝．∵AO＝BO，∴AC＝BD，∵CE⊥AE，AE∥BD，∴EC⊥BD，∴∠CFD＝90°，∵四边形AEBO是平行四边形，∴AE∥BO，∴∠AEC＝∠CFD＝90°，即△AEC是直角三角形，∵EO是Rt△AEC中AC边上的中线，∴EO＝AO，∵四边形AEBO是平行四边形，∴OB＝AE，∵OA＝OB，∴AE＝OA＝OE，∴△AEO是等边三角形，∴∠OAE＝60°，16．证明：（1）∵四边形ABCD为正方形，又∵AE＝BF＝DH＝CG，∴AH＝BE＝CF＝DG，∴∠EHG＝90°，∴四边形EFGH是正方形．17．（1）证明：如图1，作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q，∵∠DCA＝∠BCA，，∴△EQF≌△EPD（ASA），∴EF＝ED，∴矩形DEFG是正方形；（2）如图2中，在Rt△ABC中，AC＝AB＝4，∵CE＝2，∴AE＝CE，∴点F与C重合，此时△DCG是等腰直角三角形，（3）①如图3，当DE与AD的夹角为40°时，综上所述，∠EFC＝130°或40°．18．解：（1）∵∠C＝90°，∴∠AFE＝DFE，∠AEF＝BEF，∴∠AEF+∠AFE＝（∠DFE+∠BEF）＝270°＝135°，∴∠EAF＝180°﹣∠AEF﹣∠AFE＝45°，故答案为：45；（2）①作AG⊥EF于G，如图1所示：则∠AGE＝∠AGF＝90°，∵AB⊥CE，AD⊥CF，∴∠B＝∠D＝90°＝∠C，∴四边形ABCD是矩形，∵∠CEF，∠CFE外角平分线交于点A，∴AB＝AG，AD＝AG，∴AB＝AD，∴四边形ABCD是正方形；②设DF＝x，∴BC＝6，由①得四边形ABCD是正方形，∴BC＝CD＝6，，同理，GF＝DF＝x，EC+FC2＝EF2，2即32+（6﹣x）2＝（x+3）2，（3）解：如图2所示：把△PQH沿PQ翻折得△PQD，把△PRH沿PR翻折得△PRM，延长DQ、MR交于点G，由（1）（2）得：四边形PMGD是正方形，MR+DQ＝QR，MR＝HR，DQ＝HQ＝2，∴MG＝DG＝MP＝PH＝5，在Rt△GQR中，解得：a＝，即HR＝；故答案为：．由勾股定理得：（5﹣a）2+32＝（2+a）2，19．解：（1）∵四边形ABCD为正方形，∴∠E+∠CBG＝∠E+∠EDC，在Rt△BCG与Rt△DCE中，在△MCG和△FCE中，，∴△MCG≌△FCE（ASA），∴MG＝FE，MC＝FC，∴△MCF为等腰直角三角形，∴∠BFC＝45°．（3）作CN⊥BF于点N，CN＝NF，2，∴BG＝DE＝∴BC•CG＝BG•CN，∴CN＝＝＝，在△CNG和△DFG中，，1）∵四边形ABCD是正方形，AB＝AD，∵∠CDE＝20°，∴∠ADE＝70°，∵DE＝AB，∴∠DAE＝∠DEA＝×（180°﹣70°