线性规划问题的数学模型

关于线性规划问题的数学模型第一页，共五十三页，编辑于2023年，星期三线性规划问题第一节线性规划问题的数学模型（一）引言线性规划是运筹学的重要分支之一，也是研究较早、发展较快、应用较广而且比较成熟的一个分支。自1947年线性规划被成功的运用于工业、交通、农业和军事等各个领域后，现在它已成为管理科学的重要基础和手段之一。随着计算机的普及，它的适应领域越来越广泛。线性规划研究的问题主要有两类：一是一项任务确定后，如何统筹安排，尽量作到用最少的人力物力资源去完成这一任务。二是已有一定数量的人力物力资源，如何安排使用他们，使得完成任务最多。其实这两类问题是一个问题的两个方面，就是所谓寻求整个问题的某个整体指标最优的问题。

1.运输问题2.生产的组织与计划问题

3.合理下料问题4.配料问题

5.布局问题6.分配问题第二页，共五十三页，编辑于2023年，星期三（二）线性规划问题的数学模型1.运输问题

设有两个砖厂A1、A2。其产量分别为23万块与27万块。它们生产的供应B1、B2、B3三个工地。其需要量分别为17万块、18万块和15万块。自各产地到各工地的运价格如下表：问应如何调运，才使总运费最省。

运价工地砖厂B1B2B3A1506070A260110160第三页，共五十三页，编辑于2023年，星期三解：设xij表示由砖厂Ai运往工地Bj砖的数量（i=1,2；j=1,2,3)运量工地砖厂B1B2B3发量A1x11x12x1323A2x21x22x2327收量17181550第四页，共五十三页，编辑于2023年，星期三目标函数

约束条件第五页，共五十三页，编辑于2023年，星期三2.生产的组织与计划问题

某工厂生产A、B两种产品，现有资源数、生产每单位产品所需原材料数以及每单位产品可得利润如下表所示。问如何制定生产计划使两种产品总利润最大？单位产品

产品耗用资源

资源A（公斤）B（公斤）现有资源铜（吨）94360电力（千瓦）45200劳动日（个）310300单位利润（万元/公斤）712

第六页，共五十三页，编辑于2023年，星期三

解：假设生产A产品x1公斤，

B产品x2公斤，x1

，x2称为决

策变量，简称变量。得到利润7x1+12x2万元，这一问

题的数学模型为：

约束条件

目标函数第七页，共五十三页，编辑于2023年，星期三

上述例子虽然有不同的实际内容，但是都可归结为一类优化问题。从数学上说它们具有以下共同特征：

⑴

每一个问题都是求一组变量（称为决策变量）的值。这组变量的一组定值就代表一个具体方案。通常要求这组变量的取值是非负的。

⑵

存在一定的限制条件，称为约束条件。这些约束条件都可以用一组线性等式或不等式来表示。⑶

都有一个期望达到的目标，并且这个目标可以表示为决策变量的线性函数（称为目标函数）。按所研究问题的不同，要求目标函数值最大化或最小化。我们将具有上述三个特点的最优化问题归结为线性规划问题，其数学模型称为线性规划问题的数学模型，简称线性规划数学模型。第八页，共五十三页，编辑于2023年，星期三线性规划问题的数学模型的一般形式

（1）式称为目标函数（2）式中等式或不等式称为约束条件（3）式是非负约束条件

x1,

x2,…,xn称为决策变量，简称变量。第九页，共五十三页，编辑于2023年，星期三满足约束条件的一组变量的值称为线性规划问题的一个可行解，使目标函数取得最大（或最小）的可行解称为最优解。此时，目标函数的值称为最优值。

建立线性规划数学模型的步骤

首先，确定决策变量。线性规划的数学模型建得是否容易，求解是否方便，取决于决策变量的选取是否得当。

其次，确定约束条件，并根据实际问题添加非负条件。明确问题中所有的限制条件，并用决策变量的线性等式或不等式表示。一般可用表格形式列出所有的限制数据，然后根据所列出的数据写出相应的约束条件，以避免遗漏或重复所规定的限制要求。

最后，确定目标函数，并确定是求极大还是求极小。用决策变量的线性函数来表示实际问题所要达到的目标，得到目标函数。第十页，共五十三页，编辑于2023年，星期三第二节两个变量的线性规划问题的图解法例1

求x1、x2的值，使它们满足并且使目标函数f=2x1+5x2的值最大。图解法是利用直观的几何图形求解线性规划的一种几何解法第十一页，共五十三页，编辑于2023年，星期三x12x1+5x2=192x1+5x2=152x1+5x2=82x1+5x2=4x2=3x1=4x1+2x2=80x2最优解为x1=2，x2=3相应的目标函数的最大值为S=2*2+5*3=19第十二页，共五十三页，编辑于2023年，星期三x1x1+2x2=8x1+2x2=6x1+2x2=2x1+2x2=0x2=3x1=4x1+2x2=80x2例2

若把例1的目标函数改为s=x1+2x2

，最优解有

无穷多个，它们对应的目标函数值都是8。（见下图）第十三页，共五十三页，编辑于2023年，星期三例3

求x1、x2的值，使它们满足并且使目标函数s=2x1+2x2的值最小。第十四页，共五十三页，编辑于2023年，星期三x1x20X1-x2=1X1+2x2=02X1+2x2=22X1+2x2=62X1+2x2=102X1+2x2=16最优解X1=1，x2=0,目标函数最小值s=2解：例4

若把例3改为使的目标函数的值最大，从图可看出目标函数无上界，因此无最优解第十五页，共五十三页，编辑于2023年，星期三例5

求x1、x2的值，使它们满足并且使目标函数s=2x1+2x2的值最小。第十六页，共五十三页，编辑于2023年，星期三x1x2-x1+

x2=1x1+

x2=-2没有可行解，当然没有最优解。解：第十七页，共五十三页，编辑于2023年，星期三（一）线性规划问题的标准形式

线性规划问题的数学模型有各种不同的形式。为了便于讨论，需要将线性规划数学模型写成统一格式。

线性规划问题的标准型是：第三节单纯形法约束条件（2）式又称等式约束（3）式称非负约束。标准型的特点为（1）目标函数为最大值形式（2）约束条件用等式表示且等式右端的常数为非负值（3）决策变量非负。第十八页，共五十三页，编辑于2023年，星期三

把一般的线性规划问题化成标准型的过程称为线性规划问题的标准化。线性规划问题的标准化的方法如下：1.求目标函数的最小值

令F=-f，则可将求f的最小值问题转化成求F的最大值问题，即2.约束条件为不等式

引入一个非负变量xn+i，转化为线性等式，称

xn+i为松弛变量。3.若有bi≤0可在该约束条件两边同乘-1，化为

4.如果有某个变量xj无非负约束

可引进非负变量xj/,xj//，令xj=xj/-

xj//

代入约束条件和目标函数中。第十九页，共五十三页，编辑于2023年，星期三例1

将下面的线性规划问题化成标准型。解⑴引进松弛变量

x4≥0

,

x5≥0

，将式中不等式约束条件变换成等式约束条件：⑵将3x1-x2-2x3=-5两边同乘-1，变为-3x1+x2+2x3=5⑶变量x3无非负约束，引进非负变量x6,x7，令x3=x7-x6

，代入约束条件和目标函数。得最后，令F=-f，则可将求f的最小值问题转化成求F的最大值问题。标准型为：第二十页，共五十三页，编辑于2023年，星期三（二）、基本概念

定义在线性规划的标准型中，如果有变量只在某一个约束方程中系数为1，在其余约束方程中系数全为0，则称为该约束的一个基变量；如果每个等式约束都有一个基变量，则称等式约束条件是这些基变量的典型方程组。如果线性规划的约束条件是典型方程组，不失一般性，设n个变量的线性规划问题的典型方程组为：第二十一页，共五十三页，编辑于2023年，星期三其中基变量为x1,

x2,

…

,

xm，从而xm+1,

xm+2,

…

,

xn称为非基变量。

令非基变量xm+1=0,

xm+2=0,

…

xn=0

，则可求得约束方程的一个解：x1=b1,

x2=b2,

…

,

xm=bm,

xm+1=0

,

xm+2=0,

…

,

xn=0称为基本解。如果bi≥0(i=1,2,…,m)则称此基本解为基本可行解。

(三)、单纯形法1．单纯形法的基本思想单纯形法的基本思路是：根据标准型，从可行域的一个基本可行解开始，转移到另一个基本可行解，并且使目标函数值逐步变优，当目标函数值达到最大值时，就得到问题的最优解。第二十二页，共五十三页，编辑于2023年，星期三下面举例说明单纯形法的基本思想

例2

求解线性规划问题

解

先将问题化成标准型第二十三页，共五十三页，编辑于2023年，星期三

显然x4,

x5为基变量，x1,

x2,

x3为非基变量，约束条件是典型方程组。由（1）可得：将（2）代入目标函数可得f=2x1+3

x2+

x3+0,令非基变量x1=

x2=

x3

=0则有f=2x1+3

x2+1x3+0=0

,

同时得到一个基本可行解

x1=

x2=

x3

=0,x4=1,x5=3

由f=2x1+3

x2+

x3+0可知，非基变量的系数都是正数，若将其中任意一个非基变量变成基变量（取值从0变成正数）,都可以使目标函数值增加,所以只要在目标函数的表达式中还存在有正系数的非基变量，就表示目标函数值还有增加的可能，从而不是最优解，就需要将非基变量与基变量进行对换。我们把非基变量转换为基变量称为进基。一般选择正系数最大的那个非基变量（本例为x2

）为进基变量，以求得目标函数值较快的增加。将x2换入到基变量中。同时，还要确定基变量中有一个要换出来成为非基变量。变量由基变量转化成非基变量称为出基。第二十四页，共五十三页，编辑于2023年，星期三

怎样确定出基变量，由（2）式，x2

为进基变量，x1,

x3仍为非基变量，故x1,

x3的值为零。代入（2）式可得

随着x2的值增加，x4,

x5的值会逐渐变小，由于

才能保证x4≥0,

x5≥0

（即解的可行性）。当x2=9/4时，x5=0。即用

x2替换x5

（x5出基），于是得到新的基变量x4,

x2

,非基变量x1,

x3,

x5

。这种确定出基变量的方法称为最小比值原则。第二十五页，共五十三页，编辑于2023年，星期三由（2）式写出用非基变量表示基变量的表达式：整理得

代入目标函数得f=27/4+5/4

x1-17/4

x3–9/4x5令非基变量x1=

x3=

x5

=0得一新的基本可行解

x1=0,x2=9/4,x3=0,x4=1/4,x5

=0代入代入目标函数

得相应的目标函数值

f=27/4非基变量x1的系数是正数，说明目标函数值还可能增加，于是再用上述方法，确定进基、出基变量，又得到另一个基本可行解

x1=1,x2=2,x3=x4=x5

=0f=2×1+3×2=8用非基变量表示目标函数f=8-3x3–5x4-1x5第二十六页，共五十三页，编辑于2023年，星期三式中所有非基变量的系数均是负数，意味着目标函数值不可能再增加，故此时的基本可行解就是最优解，最优值为8

2．最优性检验由标准形等式约束条件得代入目标函数进行简单的运算后，用非基变量表示目标函数为称为非基变量的检验数。将用检验数来判定线性规划问题是否有最优解，有最优解定理。第二十七页，共五十三页，编辑于2023年，星期三定理

(1)如果关于非基变量的所有检验数

则基本可行解就是最优解(2)如果关于非基变量的所有检验数且其中有一个非基变量xm+k的检验数为零

则该线性规划问题有无穷多个最优解(3)如果存在非基变量xm+k的检验数>0

且xm+k对应的系数列均小于等于零

则该线性规划问题无最优解

第二十八页，共五十三页，编辑于2023年，星期三3.单纯形表

用表格的形式来表示上面求解线性规划问题的单纯形法的计算过程可以使计算和检验更加简便。具体方法如下：

将目标函数式改写为-f+c1

x1

+c2

x2

+…+cnxn=0且作为等式约束方程组的第m+1个方程，得对方程组(3-1)的增广矩阵施行初等行变换，化为如下的阶梯形矩阵第二十九页，共五十三页，编辑于2023年，星期三将矩阵表示成单纯形表xBb100010

001-f000-f0x1x2…xmxm+1…xnx1x2…xmb1b2bm……………………a1m+1a2m+1amm+1a1na2namn……下面通过具体的例子说明用单纯形法求解线性规划问题。

第三十页，共五十三页，编辑于2023年，星期三例1

用单纯形法解线性规划问题解

将该线性规划问题化为标准型第三十一页，共五十三页，编辑于2023年，星期三显然x3,

x4,

x5为基变量，x1,

x2为非基变量。可得单纯形表(下表所示）。这种直接从线性规划问题得到的单纯形表称为初始单纯形表xBb22100

121

[2]0108400016-f

2

3

00001x3x4x5x1x2x3x4x5初始基本可行解为

x1=

x2=0,x3=12,x4=8,x5=16。由于检验系数有正数，所以这个基本可行解不是最优解。从x1，

x2中选一个检验数最大的变量x2进基。根据最小比值原则(mim{12/2,8/2}=4)确定,x4出基。进基变量x2所在列与出基变量x4所在行的交叉处元素称为主元，加上方括号，再施行行初等变换，将主元所在列的主元化为1，其余元素化为0，得下表注

用最小比值原则确定出基变量的一般方法是：在单纯形表中，b列元素与进基变量列对应的正元素之比，取其比值最小的所对应的基变量出基。第三十二页，共五十三页，编辑于2023年，星期三xBb

1

01-104

1/2101/20

4[4]000

16-f1/200

-3/20-12x3x2x5x2x3x5x4x11xBb001-1-1/400101/2-1/8210004-f000

-3/2

-1/8-14x1x2x3x4x5x3注：比值相等时可任选其一

x2x11/4最优解为x1=4x2=2x3=x4=x5=0目标函数值为f=14

非基变量的检验数小于0第三十三页，共五十三页，编辑于2023年，星期三例2

用单纯形法求解线性规划问题解

x3,

x4为基变量，x1,

x2为非基变量。可得初始单纯形表

XBb[1]-1102-31014-f32000X1X3X4X2X3X4第三十四页，共五十三页，编辑于2023年，星期三XBb1-11020-23110-f05-30-6X1X2X3X4X1X4有检验数>0系数列均≤0

无最优解例3

用单纯形法求解线性规划问题第三十五页，共五十三页，编辑于2023年，星期三解

将该线性规划问题化为标准型：F=-f

进行换基迭代，计算过程如表第三十六页，共五十三页，编辑于2023年，星期三XBb[1]11006120108010013-F33000011100601-1102010013-F00-300-18XBb[1]11006120108010013-F33000011100601-1102010013-F00-300-18XBb[1]11006120108010013-F33000011100601-1102010013-F00-300-18xBb

[1]

1100

6

12010

801003-F

33

0000

11100601-110

201003-F0

0

-300-18

x1x4

x3x5

x2

x3x4x5x1x4x511非基变量有检验数<0

，有检验数=0无穷多个最优解其中一个最优解是x1=6,

x2=0最优值为f=-F=-18第三十七页，共五十三页，编辑于2023年，星期三第四节两阶段法

求解线性规划问题的单纯形法必须满足每个等式约束都有一个基变量即线性规划的约束条件是典型方程组，但经常出现的情况是线性规划的标准型的约束条件不是典型方程组，从而不具有初始单纯形表，这时，需要在线性规划问题中加入人工变量，把问题变为约束条件是典型方程组的情形，再按上述方法换基迭代求出最优解。

人工变量是后加入原约束方程组中的虚拟变量，我们必须把它们从基变量中逐渐替换掉。若经过基的变换，基变量中不再含有人工变量，这表示原问题有解；若经过基的变换，最后在基中还有一个或几个人工变量，这意味着原问题无可行解。两阶段法是处理人工变量的方法之一，它是将加入人工变量后的线性规划问题分成两阶段求解。第三十八页，共五十三页，编辑于2023年，星期三第一阶段：判断原线性规划问题是否有基本可行解。其方法是：对于线性规划问题标准型的目标函数、等式约束、非负约束引入人工变量y1,

y2,…,ym，构造一个辅助线性规划问题。

对辅助线性规划问题应用单纯形法，求出辅助问题的最优解。若最优值Z=0，说明所有人工变量都变换为非基变量，表明原问题已得到一个基本可行解，则进入第二阶段；否则原问题无可行解，计算结束。第三十九页，共五十三页，编辑于2023年，星期三第二阶段：在第一阶段所得的初始单纯形表基础上，进行换基迭代。将第一阶段最终计算表中的目标函数的系数换成原问题目标函数的系数，划去人工变量所在的列，完成单纯形表，就得到求解原问题的初始单纯形表。然后用单纯形法进行计算求出最优解。例1

用两阶段法求解下面的线性规划问题解第一阶段

：第一、第二约束中暂缺基变量，分别引入人工变量

y1、

y2,引入辅助线性规划问题第四十页，共五十三页，编辑于2023年，星期三Z用非基变量表示：

用单纯形表进行换基迭代如下XBb511[8]101024320110-Z7541000201001-Z00011102-Z0000-1-10XB

x1

x2x3

x4y1y2by1511[8]1010y224320110-Z754100020第四十一页，共五十三页，编辑于2023年，星期三XBx1x2x3x4

y1y2b

x45/81/81/811/805/4y23/4[15/4]11/40-1/4115/2-Z3/415/411/40-5/4015/2

x4

3/501/3012/15-1/301x21/5111/150-1/154/152-Z0000-1-10由于得到辅助问题的最优值Z=0，且人工变量均已出基，于是进入第二阶段。第四十二页，共五十三页，编辑于2023年，星期三第二阶段

在第一阶段的最终表中划去人工变量所在的列，并将-Z行换成

-f行即得原问题的初始单纯形表。这里需注意的是，填–f行前，需将f

用非基变量表示，由上表最后一次换基迭代知：用单纯形法进行计算，如下表所示第四十三页，共五十三页，编辑于2023年，星期三XBx1x2x3x4bx4[3/5]01/3011x21/5111/1502-f20-1/30-10x1101/185/35/3x20113/18-1/35/3-f00-4/9-10/3-40/3原线性规划问题最优解为

x1=5/3,x2=5/3,x3=x4=0最优值为

f=40/3

第四十四页，共五十三页，编辑于2023年，星期三例2

用两阶段法求解下面的线性规划问题解化成标准型第四十五页，共五十三页，编辑于2023年，星期三解第一阶段

：引入人工变量y1、y2、y3,引入辅助线性规划问题Z用非基变量表示：

用单纯形表进行换基迭代如下：

第四十六页，共五十三页，编辑于2023年，星期三xBx1x2x3y1y2y3by195010014y213-20102y3[3]-230014-Z136100020y10[11]-910-32y2011/3-301-1/32/3x11-2/31001/34/3-Z044/3-1200-13/38/3x201-9/111/110-3/112/11y2000-1/312/30x1105/112/3305/3316/11-Z000-4/30-1/30第四十七页，共五十三页，编辑于2023年，星期三于是得辅助问题的最优值Z=0。人工变量y2尚未出基，且y2所在行的非人工人工变量列元素均为零，无法让y2出基。但是由最后一