求极值的若干方法

1 1)fP0U(P0PU(P0)P0f(P)P0)fP0)P0f、统、统解元常用导理１[2](P142) fx0连续Uo(x0; )可导．当xx0 x0时x当x (x0,x0 时x) 0fx0当xx0x0)时x当xx0,x0)时x0fx0当xUo(x0时x符号保持则 xx0取理[2](P142) fx0U(x0; 阶可导xx0 处二阶可导且f(x) 0，f(x) 0．f x0) 0fx0f (x0) 0fx0既利用理１也利用理２但行导好用理１．1f(xxx21)1fx01f(x) (3x2 1)sgn(x3 x) x 01）f (x) 0x 33

fx 01x ( ,)f x) 0x一减小；x ( , 3 x) 0xx [ 3,0)f (x) 0x一减小；3

(0,

3f(x) 0x33x [ )x) 0x一减小；x , x) 0x一增添，3所以由定理１能够获取3xx 3 值 2 x 01获极小值0．3 9若用定理２则有 f (x)6xsgn(x 3 x)

x 01）中 ，xx 3x) 0x 3 x3 3x 3 x ，由只好判断出f在

获极大值而没法判断点 03

1能否获极值．x稳固点x0的二阶f x) 0点x0必定是函x的极值点但假如碰到f(x应用定理２没法鉴别这需借助更高阶的来鉴别．定理３[2](P143) 设 fx0某邻域内直n 1阶函x0n阶可(k) 0(k1,2L n ))x0)0则n为偶f x0获极值(n)(x0) 0取极大值(n)x0)0取极小值．n为奇fx0取极值例2 求函f(x) x4(x1)3的极值．因为f(x) x3(x1)2(7x4)所以x0,1, 4是函f(x的三个稳固点．f的二7阶为2f x) x2(x x2 8x 2)，f(0) f ) 0f (4

4f(xx

f7 7数f x) 6x(35x3 60x2 x )，3) 0f ( ) 0 n

数 fx 1f(4)(x) 24(35x3 45x2 x )，)(0) 0n 4fx 0f(0) 0f( ) (4)4(3)3 2 7 7 7 8235432.2、稳固点困难计算简单犯错这时我们x与nx一般解．P36)推论1[3]( 设x0f(x点则：P36)１假如 f(x) 0则x与nx)如 x) 0则x与f 2n1(x仍相同点但 x与f 2n(x种类恰好相反即 x02nx点．例3 y (x8)25(x1)4解y5 (x8)10(x1)4，(y5) 10(x 1)4 4(x8)10(x1)3 2(x 1)3(7x11)．令(y5) 0,x1 1x2 8x3 11，7当x( , 1)

11( )y

5 ) 0 y 5

11x( 1,

) (8,

) 5 ) 0y 5单一减当 时，7 735x 1x 80x11 (4510(18 ．7 7 745 1x 1x 80x 11

)4．5．7 7 74y 55

4 )2)542(x 8)(x 1) (x 8)251)500 0 0[4](P11)．f(0) m f(0) m ) 0x 0 00)．0 0x00f(0) m 、f(0) m 0f(0)．x 0 0近似地够出3, x 0,例4 x 3, x 0.解 0f () (3) 33(Ix 1)，，令0x 1，e1x ) 0xe

1) 0，e1 1故x 1f(

) ( )3e．e e ex 0) 1 0；0x 1 f) 3(I1) 0e4lim f(x) 3 )，x013lim Inx 3lim xx0 1 x0 1limf(x)

lime

3xInx

e x e e

)．x0 x003．[1](P137 P138 ) fP0(0,0U(P0P0fxyxP0) xyy f)() 0fP0 xyxyxP0) (xyy f)() 0fP0 xy

2)(P0) 0fP0i

fxx

xyf 2)(P) 0fPxy0 0一些问题．1

fxxyy

f2)(P) 0也没另作议论．xy 0如f(x,y) 4 6与g(x,y) 4 6简单考证两都)(0,0)处都知足 (f f

2)(0,0) 0)而)xxyyxy(0,0处取2假如存些明显也我们议论问题些也应该考虑如数y2明显(0,0)存该(0,0)却一般高等学教材中，像样并没明确给出存处他们过依据初等学中图像性质推测出在该取此我参照特一推出了特一般存处特1(x0,y0)5(x,y)即 1(x,y)0 f 2n(x,yf(x,y(0,02n(x,y)f(x,y) 02n)(x0,y0)(x,y)1,21x0,y0)于 (00一邻内任一)) 0y0或f(x,y) 0,y0故有2n(x,y) 2n1(0,0或2n1) 2n1(0,0之(x,y)

1(x

或2n1(x,y) 2n(x

2n 0 0 0 00,y0或) (x,y)２) 0) 0设0,y0)(0,y0)邻域内f(x,y) 0,y0，所以有

2n1(x,y)1(0,y0)，因) 0故2n1)2n1(0,y0)f(0,y0)，2n(x,y)2nx0,y0(x0,y0)1 22例5 求函数z(x2 y2)2 (1 x2

2 1y (0 a b)a x[1

2x2

1 1( )y2 ]

1 1)x

2y2]剖析：直接z求偏导zx

2 2 2a a b

zy

2 2 2a b b ，(x2

)(1

(x 2

y2)(1 )2 2 2 2a b a b6(0,0)z

2z2 (x2 y2)(1 x

2y )(0ab)，2 2a bf2x[1

2x2

1 1( )y2 ] 0,a 2 a2 b2b a

1 12 a b

222b

] 0.)(0,

(

)，2 2又f 1 1

f 1 1A xx 2 12x2 2(

)B

xy 4(

2)x，a a b a bf1 1 12yf2 2C xy 22(a2 bb2 ，)C B2 0A 0) f, b C B2 0A 0(0, b f2 2( a )C 2 0f( a )2 2bz 0z(0,0) 0, b ．2 2[5](P26) f(1,2,L,n,y) 、二连 续(,,L,,y) 0则程f(1,2,L,n,y) 0所确立n元y y(1,2,L,n在P(x必要

0,x

0,Lx0,y0)0(i 1,2,L,n此中0 1 2 n

1 2 n7f (x0,xxf(x

0,x

0,Lx

0y00h

xx 1 2

n j L

)(h 1 2 n

ijijf(x

0 ijnny 1 2 nH(P0)yy(,,L,nP0H(P0)yy(1,x2,L,nP0当H(P0)不yy(,,L,nP0不取fx4x2y20,fy2y2x20,62x2y2z22xy2x2y0所确立的函数zz(x,y)的解令x22z2yfx4x2y20,fy2y2x20,f 2x2 2xy2x 2y 0.解稳固点P1(0,1,1)P2(0,1,3) 从而可得xx 4xy 2yy 2zP1) 2(P2) 2，所以2 1 2 1H(P1)

P) ，21 1 1 12明显H(P1H(P2由理５可知函数z z(x,y)点1 点2 ．P(0,1) 1 P(0,1) 3利用拉格朗日乘数法

[6](P167)把原方程设拘束条件将隐函数问题转化求条件的问题．72x22y2z28xzz80的)zx22y2z2z8)，令8Lx4x8z0,4 y180,x2z0,L 2x2 z2 8xz z 80.1 1 16 82155P1( 7, 7P2( )，21又x 4xy 0yy 4，f

2 16 0( 0)，28168P(

,0,

xyP2( )

7 7 0 01)为 81．710)z (x,y(x))8y2xy 1001 ， ⑴f x2 (1x)2 2x2 2x1x 1f1．2 2明比拉格朗日乘更短但过要注意几个：适适于比较单、含自变量较少不超三个；对有些拘束较复杂、不易拘束不适适；案 [7](P42．9(x y)2 z2 11 (xy)2代u x2 y2 z2ux2 1 (xy)2

12xy

ux 2y 0,uy 2x 0.), )

(x y)2 z2 1 1 2 1P(,11 1 ,0)P(,2 2

1 1 1 12, 2

,0)P4(

2,

)P3P4x 2 2 1xy一定知足yxy都已经

u x2 z2 2xyxy1z21(xy)2(,．ux2 y2 后u1 是利含更多自变量无需显函其简捷但其足之处过题过程中往常依据问题实质状况来推测若想要确立该及该种类需要依据函数 L阶微符号来判断．定理６[8](P257P258) 设P0函L稳固若0函fP0；若0函fP0大．例 9函f(x,x

,x)x2

2 x2 x

4a

1(a

0,k1,2,3,4)下的1 2 3 4 1

2 3

kk kk 1设函L(x1,x2,x3,x4)对L偏导并令它们都等于 0有

x12 x22 x32 x42

4( akk 1)，k 11012x1a10,122x2a20,2aL 2x 0,ax3 3 342x4a40,44akxk10.k1xi 4

ai (i1,2,3,4) ， 2 ，4a2 a22当 a4a

k kk1 k12kk1d2L2(2x1L2x4) 0，xi

ai (i1,2,3,4) f 14a2 4 a2．k kk1 k 1n1gradf(x1,x2,L ,xn) igrad i(x1,x2,L,xn),组 i1 的i(x1,x0,(i 1,2,L,n 1).[9](P35)．10[9](P35) nl1nx1x2Lxn

(xx2 L xn．ny f(x1,x2,L,xn) x1x2L xnx1 x2Lxn lgrad(x1x2Lxn)grad(x1x2Lxnl),x1x2Lxnl.一步11Lx2x3

Lxn,x1x3

LLxn,

L x

L1,1,,1,l.

x1,l L ,）

lnL xnn，l ,

,n n n

n,2 ,L,n) l ，n11 2L n．nM(, ,题[10](P96) ．11[10](P96) ux2 (x y)2 z2 1u 2 2 2，x usin cos ,y usin sin ,z ucos 1 sin2 (2 sin2 )1 u(1, 3 )u 1u 1．2 4 2 2、乘且短省去了对充分性考虑比般省事很多同就6 联差异及如何才能使产品多而料省成本低而收益些往常都归纳学中边我们给出定义[12](P80)．定义2fDDP0P1f(P0P1m，DM称MfD上mfD上12P0

P1、行导就从中找出往常闭元时都按下步骤进行．第步出偏导存第二步计算这些处及第三步述者实问题中依据对问题剖析知存则就例127(P176) 公P1 182Q1P212Q2元QQ1 2Q 5中Q Q1Q2．公行策略试确立使公取收益．２无策略试确立其致使公收益策略下收益依据题意收益1LP1(2Q5)22 221611025，1令13LQ1 4Q1 16 0,LQ2 2Q2 10 0.1Q

，24 Q

P1 10

(

P27

．( (4,5) 一且该实质问题必定存在最大值故最大值必在处达到最大收益为L2 42 2 16 0 5 5 2．1 P2于是2Q1 Q26结构拉格朗日函数2F 2Q12 Q2 16Q2

10Q

5(2Q1Q26)，令FQ1 4Q1 16 2 0,2FQ 2Q2 10 0,2F 6 0.1 Q2 4 2 P P2 8， ，1 ，最大收益为5242549（）．由上述结果知公司推行差异订价所总收益要大于一致价钱的总收益．华东师范大学数学系编华东师范大学数学系编数学剖析下册[M高等教育第一版社，2002华