结构力学第四章1课件

●§4-1.结构位移计算目的●§4-2.结构的外力虚功和虚变形功§4-3.虚功原理§4-5.图乘法及其应用§4-6.其他外因引起的位移计算§4-7.互等定理第四章结构的位移计算DisplacementofDeterminateStructures§4-1.结构位移计算目的一、结构的位移(DisplacementofStructures)AFP线位移，角位移，相对线位移、角位移等统称广义位移线位移角位移相对线位移CDFP相对角位移制造误差等铁路工程技术规范规定:

二、计算位移的目的引起结构位移的原因1、刚度要求如：荷载、温度改变

T、支座移动c、在工程上，吊车梁允许的挠度<1/600跨度；桥梁在竖向活载下，钢板桥梁和钢桁梁最大挠度<1/700和1/900跨度高层建筑的最大位移<1/1000高度。最大层间位移<1/800层高。§4-2.结构的外力虚功和虚变形功一、功(Work)、实功(RealWork)和虚功(VirtualWork)两种状态力状态位移状态FPFP/2FP/2（虚）力状态（虚力状态）（虚位移状态）无关（虚）位移状态q注意：（3）位移状态与力状态完全无关；（2）均为可能状态。即位移应满足变形协调条件；力状态应满足平衡条件。（1）属同一体系；一些基本概念：实功：广义力在自身所产生的位移上所作的功功：力×力方向位移之总和广义力：功的表达式中，与广义位移对应的项虚功：广义力与广义位移无关时所作的功W=FP×Δ/2W=FP1×Δ11/2orW=FP2×Δ22/2W=FP1×Δ12orW=FP2×Δ21变力功§4-3.虚功原理原理的表述：任何一个处于平衡状态的变形体，当发生任意一个虚位移时，变形体所受外力在虚位移上所作的总虚功Wex，恒等于变形体各微段外力在微段变形位移上作的虚功之和Ude。也即恒有如下虚功方程成立一、变形体的虚功原理Wex=Ude

任何一个处于平衡状态的变形体，当发生任意一个虚位移时，变形体所受外力在虚位移上所作的总虚功Wex,恒等于变形体各微段外力在微段变形位移上作的虚功之和Ude。变形体虚功原理的证明:1.利用变形连续性条件计算所有微段的外力虚功之和Wex微段外力分为两部分体系外力相互作用力微段外力功分为两部分体系外力功dWe相互作用力功dWn微段外力功dW=dWe+dWn所有微段的外力功之和:Wex

=∫dWe+∫dWn=∫dWe=δWe2.利用平衡条件计算所有微段的外力虚功之和Ude微段外力功分为两部分在刚体位移上的功dWg在变形位移上的功dWi微段外力功dW=dWg+dWi所有微段的外力功之和:Ude

=∫dWi=δWi微段位移分为两部分刚体位移变形位移故有Wex

=Ude成立。几个问题:1.虚功原理里存在两个状态：力状态必须满足平衡条件；位移状态必须满足协调条件。2.原理的证明表明:原理适用于任何(线性和非线性)的变形体，适用于任何结构。3.原理可有两种应用：实际待分析的平衡力状态，虚设的协调位移状态，将平衡问题化为几何问题来求解。实际待分析的协调位移状态，虚设的平衡力状态，将位移分析化为平衡问题来求解。Wex=Ude=Σ∫[FNkδεm+FQkδγm+Mkδθm]ds例.求A端支座发生竖向位移c时引起C点的竖向位移.

2、虚功原理用于虚设的平衡力状态与实际的协调位移状态之间。解：首先构造出相应的虚设力状态。即，在拟求位移之点（C点）沿拟求位移方向（竖向）设置单位荷载。ABaCbc1ABC由求得：解得：这是单位荷载法

(Dummy-UnitLoadMethod)它是Maxwell,1864和Mohr,1874提出，故也称为Maxwell-MohrMethod(1)所建立的虚功方程,实质上是几何方程。(2)虚设的力状态与实际位移状态无关，故可设单位广义力P=1(3)求解时关键一步是找出虚力状态的静力平衡关系。(4)是用静力平衡法来解几何问题。虚功方程为：单位位移法的虚功方程平衡方程单位荷载法的虚功方程几何方程第一种应用一些文献称为“虚位移原理”，而将第二种应用称为“虚力原理”。

虚位移原理:一个力系平衡的充分必要条件是:对任意协调位移,虚功方程成立。虚力原理:一个位移是协调的充分必要条件是:对任意平衡力系,虚功方程成立”。§4-4.单位荷载法一.单位荷载法求k点竖向位移.由变形体虚功方程:变形协调的位移状态(m)平衡的力状态(k)Wex=Ude适用于各种杆件体系(线性,非线性).例1：已知图示粱的E、G,求A点的竖向位移。解：构造虚设单位力状态.l对于细长杆,剪切变形对位移的贡献与弯曲变形相比可略去不计.位移方向是如何确定的?例2：求曲梁B点的竖向位移(EI、EA、GA已知)ROBAP解：构造虚设的力状态如图示P=1RθPRθ小曲率杆可利用直杆公式近似计算;轴向变形,剪切变形对位移的影响可略去不计在杆件数量多的情况下,不方便.下面介绍计算位移的图乘法.4-5图乘法及其应用

(GraphicMultiplicationMethodanditsApplications)刚架与梁的位移计算公式为：例.试求图示梁B端转角.解:MPMk为什么弯矩图在杆件同侧图乘结果为正?例.试求图示结构B点竖向位移.解:MPMk二、几种常见图形的面积和形心位置的确定方法二次抛物线h三、图形分解求MPMi三、图形分解求MPMi当两个图形均为直线图形时,取那个图形的面积均可.三、图形分解求MPMi三、图形分解求C截面竖向位移MPMi三、图乘法小结1.图乘法的应用条件：（1）等截面直杆，EI为常数；（2）两个M图中应有一个是直线；（3）应取自直线图中。2.若与在杆件的同侧，取正值；反之，取负值。3.如图形较复杂，可分解为简单图形.例1.已知EI为常数，求A、B两点相对水平位移。三、应用举例lqhqMP解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图例2.已知EI为常数，求铰C两侧截面相对转角。三、应用举例解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图lqllqMP例3.已知EI为常数，求A点竖向位移。三、应用举例解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图qlllqMP例4.图示梁EI为常数，求C点竖向位移。三、应用举例l/2ql/2MP例4.图示梁EI为常数，求C点竖向位移。三、应用举例l/2ql/2MP例4.图示梁EI为常数，求C点竖向位移。l/2ql/2MP注：C处剪力不为零。lPlPl图示结构EI为常数，求AB两点(1)相对竖向位移,(2)相对水平位移,(3)相对转角。MP练习1111对称弯矩图反对称弯矩图

对称结构的对称弯矩图与其反对称弯矩图图乘,结果为零.11作变形草图PP11绘制变形图时，应根据弯矩图判断杆件的凹凸方向，注意反弯点的利用。如：求B点水平位移。练习解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图MPll注意:各杆刚度可能不同

已知EI为常数，求C、D两点相对水平位移,并画出变形图。MP解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图lqlq

已知EI为常数，求B截面转角。MP解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图Mi解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图求B点水平位移,EI=常数。lPllMP1MP练习解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图求C、D两点相对水平位移。lllMP已知：E、I