弹性力学第九章课件

第一节有关概念及计算假定第二节弹性曲面的微分方程第三节薄板横截面上的内力第四节边界条件扭矩的等效剪力第五节四边简支矩形薄板的重三角级数解第六节矩形薄板的单三角级数解第七节矩形薄板的差分解第八节圆形薄板的弯曲第九节圆形薄板的轴对称弯曲第九章薄板弯曲问题薄板是厚度远小于板面尺寸的物体。§9-1有关概念及计算假定定义薄板的上下平行面称为板面。薄板的侧面，称为板边。平分厚度的面,称为中面。比较薄板受到横向荷载（⊥板面）的作用--

薄板的弯曲问题。薄板受到纵向荷载（∥板面）的作用--

平面应力问题；杆件受到横向荷载（⊥杆轴）的作用--

梁的弯曲问题。杆件受到纵向荷载（∥杆轴）的作用--

杆件的拉压问题；(3)在内力中，仅由横向剪力与横向荷

载q成平衡，纵向轴力的作用可以不计。(2)在中面位移中,w是主要的，而纵向位

移u,v很小，可以不计；(1)具有一定的刚度，横向挠度；1.

垂直于中面的线应变可以不计。取，由，得 故中面法线上各点，都具有相同的横向位移，即挠度w。

本章研究小挠度薄板的弯曲问题。

根据其内力和变形特征，提出了3个计算假定(kirchhoff)：计算假定弯应力（合成弯矩）及扭应力（合成扭矩）横向切应力（合成横向剪力）挤压应力

2.

次要应力分量远小于其他应力分量，它们引起的形变可以不计。薄板中的应力与梁相似，也分为三个数量级：

(1)在薄板弯曲问题中，略去了次要应力引起的形变;但在平衡条件中，仍考虑它们的作用。说明：⑵薄板弯曲问题的物理方程(b)与平面应力问题的物理方程相同。但沿板厚方向，对于平面应力问题的应力为均匀分布，合成轴力而薄板弯曲问题的应力为线性分布，在中面为0，合成弯矩和扭矩。⑶从计算假定1、2，得出

故中面法线在薄板弯曲时保持不伸缩，并且成为弹性曲面的法线。实践证明，只要是小挠度的薄板，薄板的弯曲理论就可以应用，并具有足够的精度。类似于梁的弯曲理论，在薄板弯曲问题中提出了上述3个计算假定，并应用这3个计算假定,简化空间问题的基本方程，建立了小挠度薄板弯曲理论。 §9-2弹性曲面的微分方程

本节从空间问题的基本方程出发，应用3个计算假定进行简化，导出按位移求解薄板弯曲问题的基本方程。薄板问题解法2.将其他未知函数─纵向位移u,v；主要应变分量;主要应力分量；次要应力分量及最次要应力均用w来表示。

薄板弯曲问题是按位移求解的，主要内容是：

4.导出板边的边界条件。3.导出求解w的方程。

1.取挠度w(x,y)为基本未知函数。

2.

将，用表示。应用几何方程及计算假定2，得又由计算假定3，

故得3.主要应变用表示。

应用其余三个几何方程，得：(a)4.主要应力用表示。应用薄板的三个物理方程及式(a)，得：(9-4)因为上下板面是大边界，必须精确满足应力边界条件

由此求出及，代入得到(9-5)6.更次要应力用表示。应用第三个平衡微分方程，将体力及板面上的面力等效地移置到上板面，有代入并对z积分，得由下板面的边界条件求出，故更次要应力为(9-6)说明：⑴在三个计算假定下，纵向位移u,v；主要应变；主要应力；沿z向均为线性分布，在中面为0；次要应力（横向切应力）沿z向为抛物线分布；－－均与材料力学相似。更次要应力（挤压应力）沿z为三次曲线分布。⑵按位移求解薄板弯曲问题，只取为基本未知函数。在导出求的基本方程中应用了3个计算假定，与材料力学解梁的弯曲问题相似。

求内力：取出的六面体，x面上，有应力，，y面上，有应力，，。其中，，=，沿z为直线分布，在中面为0；

，，沿z为二次分布，方向∥横截面。

x面面积上，应力的主矢量和主矩为：x面内力─合成主矢量称为横向剪力,─合成主矢量为0,合成主矩称为扭矩,─合成主矢量为0,合成主矩称为弯矩,类似地，求出y面面积上的内力：y面内力弯矩扭矩横向剪力内力的正负号规定，根据应力符号确定:正的应力方向的主矢量为正;正的应力×正的矩臂的力矩方向为正,如图。内力符号内力均为单位宽度上的主矢量和主矩，所以其量纲均应降低一次长度量纲。(e)(f)中面内力平衡条件考虑上图的中面平衡条件，可得：薄板内力是横截面上，应力向中面合成的主矢量和主矩。再将用w来表示，同样地得出挠曲线微分方程将前两式代入后式，得§9－4边界条件扭矩的等效剪力薄板的边界条件：在上下板面（大边界），已精确地满足了3个应力边界条件。边界条件板边为小边界，可以应用圣维南原理来简化边界条件,将板边的边界条件归结为中面的位移边界条件或中面的内力边界条件。

板边（小边界）的边界条件尚未考虑,是求解挠曲线微分方程的边界条件。，可看成是中面的挠曲微分方程,或中面的平衡方程；边界条件薄板板边的边界条件分为三类：1.固定边--若为广义固定边，则其中为给定的约束位移。若完全固定，则固定边(a)2.简支边

--若为广义简支边，则其中分别为给定的约束位移和弯矩。若，则一般的简支边条件为简支边因故第二个条件可以简化。简支边的条件为简支边3.自由边

--若为一般的自由边，则上式边界条件共有3个，与四阶微分方程不相对应。经过约20年后，基尔霍夫指出，薄板板边上的扭矩可化为等效的横向剪力。自由边在EF=dx微分段上，总扭矩，化为E、F上等效的一对力，分别向下（E）和向上（F）；

在FG=dx微分段上，总扭矩，化为F、G上等效的一对力，分别向下（F）和向上（G）。图中，取出板边AB（y面），扭矩的等效剪力在F点，合成集中力,向下。再化为宽度上的分布剪力。故AB边界总的分布剪力为

此外，在A，B两端，还有两个未被抵的集中剪力

用挠度表示为因此，自由边的边界条件成为同理可导出的自由边条件。4.自由边交点的角点条件─在角点B，集中力为若B点有支承，阻止挠度的发生，则有若B点无支承，应无集中力，有角点条件角点集中力的正负号及方向，根据扭矩确定，见习题9-2。固定边是位移边界条件，自由边是内力边界条件，简支边是混合边界条件。小挠度薄板的弯曲问题，已经归结为求解挠度w，w应满足挠曲线微分方程和板边的边界条件。§9－5四边简支矩形薄

板的重三角级数解求w条件对于四边简支的矩形板，边界条件为(b)四边简支纳维将w表示为重三角级数，

其中m，n为正整数。代入式(b)，全部边界条件满足。将q(x,y)也展为重三角级数，再代入式(a)，得将q代入上式，比较两边系数，得 纳维解答是用多种正弦波形的叠加来表示挠度w的。对于各种形式的荷载q，均可方便地求出解答。它的主要是，只能适用于四边简支的薄板。当q为集中荷载F，作用于一点时，可用代替q，并且只在处的微分面积上存在，其余区域q=0，于是中当q为均布荷载时，代入式(f)，便可求出，并得出w解答。设矩形板的两对边为简支边，其余两边为任意边界。§9－6矩形薄板的单三角级数解两对边简支其中是待定的函数，m为正整数。式(a)已满足了的简支边条件,莱维采用单三角级数表示挠度，将式(a)代入挠曲线微分方程，得两对边简支将也展开为单三角级数，两对边简支代入式(b)，比较系数，得出求的常微分方程，其中为式(d)的特解；其余四项为齐次方程的通解。将代入式(a)，得w解，其中的系数由其余两边界条件来确定。式(d)的解为书中列举了受均布荷载时,四边简支板的解答。矩形薄板应用重三角级数和单三角级数求解，是非常重要的解法。下面我们进一步说明几点。从求解薄板弯曲问题来看，两者比较如下：

适用性四边简支两对边简支，另两边可任意求解较困难，须求解系数

收敛性慢快应用局限于四边简支可推广应用到其他各种边界纳维解法莱维解法简便2.应用叠加方法，可将莱维提出的单三角级数解，用于解决各种矩形薄板的边

界条件问题。3.纳维解法和莱维解法，不仅在薄板的静力（弯曲）问题中得到了广泛的应用，而且可以推广应用于薄板的动力、稳定问题,以及能量法中。1.试考虑四边固定的矩形板，受任意荷载，如何应用莱维法求解？2.试考虑一边固定三边自由的矩形板，受任意荷载，如何应用莱维法求解？思考题

应用差分法求解薄板弯曲问题，是比较简便的。

首先将挠曲线微分方程变换为差分方程,插分方程§9－7矩形板的差分解对点，即固定边和简支边附近的w值，如下图所示。若AB为简支边，对于o点，若AB为固定边，则对于o点，(a)固定边(b)简支边对于自由边的情形，边界点的w值是未知数，须列式(a)的差分方程，其中涉及边界外一、二行虚结点的w值，用自由边的边界条件来表示，所以求解时比较麻烦。对于具有支承边（简支边，固定边）的矩形板，每一内结点的w值为未知数，对每一内结点应列式(a)的方程。其中涉及边界点和边界外一行虚结点的w值，如式(b)或(c)所示。例1四边简支的正方形薄板，，受到均布荷载的作用，试取的网格，如图，用差分法求解薄板中心点的挠度和内力（取）。2121012120网格精确解答案:例2同上题，但四个边界均为固定边。网格精确解答案:总之，对于具有支承边的矩形板，采用差分法求解是十分简便有效的，取较少的网格便可求得精度较好的挠度值w。而由w求内力时，因为对近似解w求导数后会降低精度，所以须适当地加密网格。

对于的正方形薄板，受均布荷载作用，试取的网格，分别求解下列边界问题的中心点挠度，并进行比较：边（1）四边简