材料力学第9章-压杆稳定3+第8章-能量法1课件

第九章压杆稳定9.1引言9.2细长压杆的欧拉(Euler)临界载荷9.3中、小柔度压杆的临界应力9.4压杆的稳定条件9.5压杆的合理设计9.6用能量法求压杆的临界载荷材料力学1各种支承约束条件下等截面细长压杆临界载荷的欧拉公式支承情况两端铰支一端固定另端铰支两端固定一端固定另端自由失稳时挠曲线形状临界载荷Fcr的欧拉公式长度系数

=1

0.7

=0.5

=29.2细长压杆的欧拉(Euler)临界载荷2ABCD临界应力总图中柔度杆的临界应力也可用抛物线公式计算：9.3中、小柔度压杆的临界应力细长杆中长杆短粗杆39.4压杆的稳定条件二、折减系数法其中：为许用压应力。为折减系数，位于0和1之间。折减系数同时取决于材料性质和压杆的柔度（参考图9.11)。根据折减系数法，压杆的稳定条件可写为：稳定计算的三类问题

1.稳定校核

2.选择截面

3.确定许用载荷59.4压杆的稳定条件压杆稳定性计算步骤a、计算、与:b、由压杆类型算，大柔度杆，，中柔度杆，根据有关经验公式计算。c、由稳定性条件进行稳定校核或确定许用载荷：d、设计截面，这一类稳定性计算一般用折减系数法通过试算来实现。69.5压杆的合理设计影响压杆稳定性的因素有截面形状，压杆长度，约束条件及材料性质等。要提高压杆稳定性，也要从这几方面着手。一、合理选择材料细长压杆临界力只与弹性模量有关。由于各种钢材的E值大致相等，所以选用高强度钢或低碳钢并无差别。中柔度杆临界应力与材料的强度有关，选用高强度钢在一定程度上可以提高压杆的稳定性。7增大截面惯性矩I（合理选择截面形状）9.5压杆的合理设计9三、改变压杆的约束条件9.5压杆的合理设计细长压杆的临界压力与相当长度的二次方成反比，所以增强对压杆的约束可极大的提高其临界压力。如采用稳定性比较好的约束方式，或者在压杆中间增添支座，都可以有效的提高压杆的稳定性。109.5压杆的合理设计

例6厂房的钢柱由两根槽钢组成，并由缀板和缀条联结成整体，承受轴向压力F=270kN。根据杆端约束情况，该钢柱的长度系数取为m＝1.3。钢柱长7m，材料为Q235钢，强度许用应力[s]=170MPa。该柱属于b类截面中心压杆。由于杆端连接的需要，其同一横截面上有4个直径为d0=30mm的螺钉孔。试为该钢柱选择槽钢型号。119.5压杆的合理设计由型钢表查得，14a号槽钢的横截面面积为A=18.51cm2＝18.51×10-4m2，而它对z轴的惯性半径为iz=5.52cm=55.2mm。下面来检查采用两根14a号槽钢的组合截面柱其稳定因数j是否不小于假设的j＝0.5。注意到此组合截面对于z轴的惯性矩

Iz和面积

A都是单根槽钢的两倍，故组合截面的iz值就等于单根槽钢的iz值。于是有该组合截面压杆的柔度：139.5压杆的合理设计由图9.11查得，Q235钢压杆相应的稳定因数为j＝0.262。显然，前面假设的j＝0.5这个值过大，需重新假设j值再来试算；重新假设的j值大致上取以前面假设的j＝0.5和所得的j＝0.262的平均值为基础稍偏于所得j的值。重新假设j＝0.35，于是有149.5压杆的合理设计试选16号槽钢，其

A=25.15×10-4m2，iz=61mm，从而有组合截面压杆的柔度：由图9.11得j=0.311，它略小于假设的j＝0.35。现按采用2根16号槽钢的组合截面柱而j＝0.311进行稳定性校核。此时稳定许用应力为按横截面毛面积(不计螺孔)算得的工作应力为159.5压杆的合理设计如果z0，Iy0，Iz0，A0分别代表单根槽钢的形心位置和自身的形心主惯性矩以及横截面面积则Iy＝Iz的条件可表达为亦即消去公因子2A0后有在选用16号槽钢的情况下，上式为179.5压杆的合理设计由此求得h＝81.4mm。实际采用的间距h不应小于此值。3.按钢柱的净横截面积校核强度钢柱的净横截面积为按净面积算得的用于强度计算的工作应力为它小于强度许用应力[s]=170MPa，满足强度条件。18第九章压杆稳定9.1引言9.2细长压杆的欧拉(Euler)临界载荷9.3中、小柔度压杆的临界应力9.4压杆的稳定条件9.5压杆的合理设计9.6用能量法求压杆的临界载荷材料力学199.6用能量法求压杆的临界载荷如图所示压杆，假设在临界载荷作用下达到微弯平衡状态，临界压力在轴向位移上所做的功等于压杆微弯状态下的应变能即：B点的轴向位移：其中：所以：AByxlFcrxB´dxds219.6用能量法求压杆的临界载荷又：由以上两式有：所以挠曲线确定后，就可以知道临界压力的大小。挠曲线一般可以采用满足位移边界条件的近似曲线代替。AByxlFcrxB´dxds229.6用能量法求压杆的临界载荷AByCyxlFx例用能量法求两端球铰的压杆的临界压力。解：设压杆微弯曲时的挠曲线方程为：该挠曲线满足位移边界条件：则任一截面上的弯矩为：由：有：239.6用能量法求压杆的临界载荷因为挠曲线只是近似曲线，如果对它求两次导数，会引起数值上更大的偏差。基于式：的结果比基于式。的结果更精确。259.6用能量法求压杆的临界载荷qlxfx例如图细长杆，一端固定，另一端自由，承受集度为q的轴向均布载荷作用。试用能量法确定载荷q的临界值qcr。解：假设压杆微弯时的挠曲线方程为：其中为压杆自由端的挠度。解法一：压杆微弯时，横截面x的轴向位移为：均布载荷所做的功：26第九章压杆稳定材料力学欧拉临界应力稳定条件或折减系数法欧拉临界载荷29第八章能量法一、杆件的应变能二、应变能普遍表达式(克拉贝隆原理)三、卡氏定理能量法四、互等定理五、虚功原理单位力法图乘法六、超静定问题力法七、冲击应力30

求解弹性体系(如杆件)的变形可采用的方法：1、分析法/解析法

平衡方程——静力平衡关系几何方程——变形几何关系物理方程——应力应变关系

利用应变能的概念，解决与弹性体系变形有关的问题的方法。在求解组合变形、曲杆或杆系以及超静定问题时，能量法是一种非常有效的方法，是结构分析的基础。

能量法/基本概念2、能量法31

能量法有关的几个基本概念

3、能量守恒：忽略缓慢加载过程中动能和其它形式的能量损失，杆件能量守恒，即杆内所储存的应变能U在数值上与外力所作的功W相等。功能原理

U＝W1、外力功:线弹性体系在外力的作用下产生变形，每个外力在与它相对应的位移上所作的功W。2、应变能:弹性体受外力作用下产生变形而储存了能量，这个被储存的能量即为应变能或变形能U。能量法/基本概念32

一、杆件产生基本变形时的应变能1、轴向拉伸或压缩FLLOBLFA能量法/杆件的应变能式中——轴力，

A——横截面面积33

由拉压杆件组成的杆系的应变能：F12345——结构中第i杆的轴力

Li——结构中第i杆的长度，

Ai——第i杆的截面面积式中n——杆系中杆件的总数。能量法/杆件的应变能34

取微段研究：微段的应变能：整个杆件的拉压应变能受力复杂杆(轴力沿杆的轴线变化)的应变能qLdxdx(dx)x能量法/杆件的应变能35

2、圆截面杆的扭转mLmOBmA圆截面杆的应变能式中T——圆杆横截面上的扭矩；——圆杆横截面对圆心的极惯性矩。

能量法/杆件的应变能36

受力复杂的圆截面杆(扭矩沿杆的轴线为变量)ddxTT整个杆的扭转应变能为可取微段分析：能量法/杆件的应变能37

3、平面弯曲纯弯曲梁的应变能：式中M——梁横截面上的弯矩；

I——梁横截面对中性轴的惯性矩LmmoBAm能量法/杆件的应变能38

横力弯曲梁(弯矩沿梁的轴线为变量)的应变能整梁的弯曲应变能按微段分析：和拉压、扭转应变能比较能量法/杆件的应变能39

4、剪切纯剪切时微段梁的应变能：FSdxFSOBCFS/A由于切应力在截面上并非均匀分布。引入系数k,因此微段梁的应变能为：能量法/杆件的应变能40

整个梁的剪切应变能：式中(b为截面的宽度，S为截面对中性轴的静矩)(2)一般实心截面的细长梁:剪切应变能远小于其弯曲应变能，通常忽略不计。(1)

k

由截面的几何形状决定:矩形截面:k=1.2,圆截面:k=10/9,圆环形截面:k=2能量法/杆件的应变能41

F例：矩形截面悬臂梁，长L，截面高h，宽b，k=1.2。细长梁整个梁的弯曲应变能：细长梁的剪切应变能远小于弯曲应变能，可忽略不计！整个梁的剪切应变能：得解：42

二、应变能的普遍表达式(克拉贝隆原理)FOB

A基本变形下应变能的一般表达式：式中F——广义力(力或力偶)；

——广义位移(线位移或角位移)且F=C(力与位移成线性关系)表明：弹性体的应变能是一个状态量，仅决定于外力和位移的最终值，与加载的过程无关。能量法/克拉贝隆原理43

应变能的普遍表达式(克拉贝隆原理)的导出设在某弹性体上作用有外力，在支承约束下，在相应的力方向产生的位移为，(i=1,2,…,n)。则物体的应变能为：能量法/克拉贝隆原理44

证明：弹性体在载荷作用下同时发生几种基本变形(即组合变形）。且弹性体在变形过程中贮存的应变能只取决于外力和位移的终值，与加力顺序无关。因此可假设

按同一比例从零逐渐增加到终值，即外力增加的过程为：若材料是线弹性的，则对应的位移也以的比例增加，相应的位移为：式中：01(从0线性增加到1)能量法/克拉贝隆原理45

如果增加d，则位移的相应增量为：则外力在以上位移增量上所作的功为（略去高阶微量）：积分得此式称为克拉贝隆原理。能量法/克拉贝隆原理46

特别注意点：——广义力，可以是一个力，也可以是一个力偶，或者是一对力，或者是一对力偶。——在所有力共同作用下(因与全部作用力有关)，与广义力相对应的沿着力的方向的广义位移。力——沿力矢方向的线位移力偶——力偶转向的角位移一对力——该对力两作用点沿力矢方向的相对线位移一对力偶——该对力偶两作用截面间沿力偶转向的相对角位移能量法/克拉贝隆原理47

F

力：F，位移：力：m，位移：FFLL+例子力：F，位移：力：m，位移：mmm能量法/克拉贝隆原理48

关于应变能计算的讨论以上计算公式仅适用于线弹性材料在小变形下的应变形能的计算。应变能可以通过外力功计算，也可以通过杆件微段上的内力功等于微段的应变能，然后积分求得整个杆件上的应变能。3应变能为内力（或外力）的二次函数，故叠加原理在应变能计算中不能使用。只有当杆件上任一载荷在其他载荷引起的位移上不做功时，才可应用。例如：能量法/克拉贝隆原理49

4应变能是恒为正的标量，与坐标轴的选择无关，在杆系结构中，各杆可独立选取坐标系。能量法/克拉贝隆原理M(x)

—只产生弯曲转角FN

(x)

—只产生轴向线位移T(x)—只产生扭转角不计FS产生的应变能50

例1试计算图示吊车架的应变能，并应用它求节点A的竖直位移。已知E=200GPa,F

=57.6kN。斜杆AB由两根

50505mm等边角钢组成，每根角钢的横截面面积，横杆AC由两根No.10槽钢组成，每根槽钢的横截面面积。设各杆自重可以不计。F30°ACB2m能量法/克拉贝隆原理51

解:FA由节点A