固体力学的基本概念

固体力学的基本概念第1页/共104页体力还可以用单位质量上的体力来表示ρ表示物体的密度，X,Y,Z为F在坐标上的投影；i,j,k为沿坐标轴正向的单位矢量。体力可以用单位体积的体力表示；也可以用单位质量的体力来表示第2页/共104页(2)面力——作用于物体表面单位面积上的外力——面力分布集度（矢量）xyzO——面力矢量在坐标轴上投影单位：1N/m2=1Pa(帕)1MN/m2=106Pa=1MPa(兆帕)说明：(1)F是坐标的连续分布函数；(2)F的加载方式是任意的;(3)的正负号由坐标方向确定。第3页/共104页绪论二.内力、截面法第4页/共104页

外力作用引起构件内部的附加相互作用力。求内力的方法－－截面法1、截开2、代替3、平衡内力第5页/共104页截面法·求内力内力的计算是分析构件强度、刚度、稳定性等问题的基础。求内力的一般方法是截面法。截面法的基本步骤：①截开：在所求内力的截面处，假想地用截面将杆件一分为二。②代替：任取一部分，其弃去部分对留下部分的作用，用作用在截开面上相应的内力（力或力偶）代替。③平衡：对留下的部分建立平衡方程，根据其上的已知外力来计算杆在截开面上的未知内力（此时截开面上的内力对所留部分而言是外力）。第6页/共104页组合受力（CombinedLoading）与变形§2-2.杆件变形的基本形式和内力第7页/共104页拉压§2-2-1.轴向拉压的概念及实例轴向拉压的外力特点：外力的合力作用线与杆的轴线重合。一、概念轴向拉压的变形特点：杆的变形主要是轴向伸缩，伴随横向缩扩。轴向拉伸：杆的变形是轴向伸长，横向缩短。轴向压缩：杆的变形是轴向缩短，横向变粗。第8页/共104页拉压轴向压缩，对应的力称为压力。轴向拉伸，对应的力称为拉力。力学模型如图第9页/共104页拉压二.工程实例第10页/共104页拉压第11页/共104页拉压

内力指由外力作用所引起的、物体内相邻部分之间分布内力系的合成（附加内力）。内力的计算是分析构件强度、刚度、稳定性等问题的基础。求内力的一般方法是截面法。三.轴向拉压横截面上的内力·轴力及轴力图第12页/共104页拉压2.轴力——轴向拉压杆的内力，用N表示。例如：截面法求FN

（N）。

AFF简图AFFFAN截开：代替：平衡：第13页/共104页①反映出轴力与截面位置变化关系，较直观；②确定出最大轴力的数值及其所在横截面的位置，即确定危险截面位置，为强度计算提供依据。拉压3、轴力图——N(x)的图象表示。

轴力的正负规定:

N

与外法线同向,为正轴力(拉力)N与外法线反向,为负轴力(压力)N>0NNN<0NNNxP+意义第14页/共104页拉压[例1]图示杆的A、B、C、D点分别作用着大小为5P、8P、4P、

P

的力，方向如图，试画出杆的轴力图。解：求OA段内力N1：设置截面如图ABCDPAPBPCPDOABCDPAPBPCPDN1第15页/共104页拉压同理，求得AB、BC、CD段内力分别为：N2=–3P

N3=5PN4=P轴力图如右图BCDPBPCPDN2CDPCPDN3DPDN4Nx2P3P5PP++–第16页/共104页拉压轴力(图)的简便求法：自左向右:轴力图的特点：突变值=集中载荷遇到向左的P，轴力N增量为正；遇到向右的P，轴力N增量为负。5kN8kN3kN+–3kN5kN8kN第17页/共104页一、连接件的受力特点和变形特点：1、连接件剪切

在构件连接处起连接作用的部件，称为连接件。例如：螺栓、铆钉、键等。连接件虽小，起着传递载荷的作用。特点：可传递一般力，可拆卸。PP螺栓§2-2-２.剪切的概念及实例第18页/共104页PP剪切铆钉特点：可传递一般力，不可拆卸。如桥梁桁架结点处于它连接。无间隙m轴键齿轮特点：传递扭矩。第19页/共104页2、受力特点和变形特点：剪切nn（合力）（合力）PP以铆钉为例：①受力特点：构件受两组大小相等、方向相反、作用线相互很近（差一个几何平面）的平行力系作用。②变形特点：构件沿两组平行力系的交界面发生相对错动。第20页/共104页剪切nn（合力）（合力）PP③剪切面：构件将发生相互的错动面，如n–n

。④剪切面上的内力：内力—剪力Q

，其作用线与剪切面平行。PnnQ剪切面第21页/共104页扭转§2-2-３扭转轴：工程中以扭转为主要变形的构件。如：机器中的传动轴、石油钻机中的钻杆等。扭转：外力的合力为一力偶，且力偶的作用面与直杆的轴线垂直，杆发生的变形为扭转变形。ABOmmOBA第22页/共104页扭转扭转角（）：任意两截面绕轴线转动而发生的角位移。剪应变（）：直角的改变量。mmOBA第23页/共104页扭转工程实例第24页/共104页扭转一、传动轴的外力偶矩

传递轴的传递功率、转速与外力偶矩的关系：其中：P—功率，千瓦（kW）

n—转速，转/分（rpm）其中：P—功率，马力（PS）

n—转速，转/分（rpm）其中：P—功率，马力（HP）

n—转速，转/分（rpm）1PS=735.5N·m/s,1HP=745.7N·m/s,1kW=1.36PS第25页/共104页3扭矩的符号规定：“T”的转向与截面外法线方向满足右手螺旋规则为正，反之为负。扭转二、扭矩及扭矩图

1扭矩：构件受扭时，横截面上的内力偶矩，记作“T”。

2截面法求扭矩mmmTx第26页/共104页扭转4扭矩图：表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。

目的①扭矩变化规律；②|T|max值及其截面位置强度计算（危险截面）。xT第27页/共104页扭转[例1]已知：一传动轴，n=300r/min，主动轮输入P1=500kW，从动轮输出P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，试绘制扭矩图。nABCDm2

m3

m1

m4解：①计算外力偶矩第28页/共104页扭转nABCDm2

m3

m1

m4112233②求扭矩（扭矩按正方向设）第29页/共104页扭转③绘制扭矩图BC段为危险截面。xTnABCDm2

m3

m1

m44.789.566.37––第30页/共104页弯曲内力§2-2-４平面弯曲一、弯曲的概念1.弯曲:杆受垂直于轴线的外力或外力偶矩矢的作用时,轴线变成了曲线，这种变形称为弯曲。2.梁：以弯曲变形为主的构件通常称为梁。第31页/共104页3.工程实例弯曲内力第32页/共104页弯曲内力第33页/共104页弯曲内力4.平面弯曲：杆发生弯曲变形后，轴线仍然和外力在同一平面内(纵向对称面、载荷作用面、曲挠面重合）。

对称弯曲（如下图）——

平面弯曲的特例。纵向对称面MP1P2q曲挠面载荷作用面第34页/共104页弯曲内力非对称弯曲——

若梁不具有纵对称面，或者，梁虽具有纵对称面但外力并不作用在对称面内，这种弯曲则统称为非对称弯曲。

第35页/共104页弯曲内力二、梁的计算简图

梁的支承条件与载荷情况一般都比较复杂，为了便于分析计算，应进行必要的简化，抽象出计算简图。1.构件本身的简化通常取梁的轴线来代替梁。2.载荷简化作用于梁上的载荷（包括支座反力）可简化为三种类型：集中力、集中力偶和分布载荷。3.支座简化第36页/共104页弯曲内力①固定铰支座

2个约束，1个自由度。如：桥梁下的固定支座，止推滚珠轴承等。②可动铰支座

1个约束，2个自由度。如：桥梁下的辊轴支座，滚珠轴承等。第37页/共104页弯曲内力③固定端

3个约束，0个自由度。如：游泳池的跳水板支座，木桩下端的支座等。XAYAMA4.梁的三种基本形式①简支梁M—集中力偶q(x)—分布力②悬臂梁第38页/共104页弯曲内力③外伸梁—集中力Pq—均布力5.静定梁与超静定梁静定梁：由静力学方程可求出支反力，如上述三种基本形式的静定梁。超静定梁：由静力学方程不可求出支反力或不能求出全部支反力。第39页/共104页三、弯曲内力：弯曲内力[举例]已知：如图，P，a，l。

求：距A端x处截面上内力。PaPlYAXARBAABB解：①求外力第40页/共104页ABPYAXARBmmx弯曲内力②求内力——截面法AYAQMRBPMQ∴弯曲构件内力剪力弯矩1.弯矩：M

构件受弯时，横截面上其作用面垂直于截面的内力偶矩。CC第41页/共104页弯曲内力2.剪力：Q

构件受弯时，横截面上其作用线平行于截面的内力。3.内力的正负规定:①剪力Q:绕研究对象顺时针转为正剪力；反之为负。②弯矩M：使梁变成凹形的为正弯矩；使梁变成凸形的为负弯矩。Q(+)Q(–)Q(–)Q(+)M(+)M(+)M(–)M(–)第42页/共104页[例2]：求图（a）所示梁1--1、2--2截面处的内力。xy解：截面法求内力。

1--1截面处截取的分离体

如图（b）示。图（a）四、例题qqLab1122qLQ1AM1图（b）x1弯曲内力第43页/共104页2--2截面处截取的分离体如图（c）xy图（a）qqLab1122qLQ2BM2x2弯曲内力图（c）第44页/共104页一．应力的概念１.内力大小不能衡量构件强度的大小。２.强度：①内力在截面分布集度－－应力；②材料承受荷载的能力。定义：由外力引起的内力分布状况及其集度。§2-３

应力问题的提出：工程构件，大多数情形下，内力并非均匀分布，集度的定义不仅准确而且重要，因为“破坏”或“失效”往往从内力集度最大处开始。第45页/共104页第46页/共104页σ—N/m­2(pa

)τ—N/m­2国际单位制：1kpa=

103Pa1MPa=106Pa工程单位制：Kgf/cm2

第47页/共104页拉压变形前1.变形规律试验及平面假设：平面假设：原为平面的横截面在变形后仍为平面。纵向纤维变形相同。abcd受载后PPd´a´c´b´二、拉（压）杆横截面上的应力第48页/共104页拉压均匀材料、均匀变形，内力当然均匀分布。2.拉伸应力：sN(x)P轴力引起的正应力——

：在横截面上均布。危险截面：内力最大的面，截面尺寸最小的面。危险点：应力最大的点。3.危险截面及最大工作应力：第49页/共104页拉压三、拉(压)杆斜截面上的应力设有一等直杆受拉力P作用。求：斜截面k-k上的应力。PPkka解：采用截面法由平衡方程：Pa=P则：Aa：斜截面面积；Pa：斜截面上内力。由几何关系：代入上式，得：斜截面上全应力：PkkaPa第50页/共104页拉压PPkka斜截面上全应力：PkkaPa分解：pa=反映：通过构件上一点不同截面上应力变化情况。当=90°时，当=0,90°时，当=0°时，(横截面上存在最大正应力)当=±45°时，(45°斜截面上剪应力达到最大)tasaa第51页/共104页2、单元体：单元体—构件内的点的代表物，是包围被研究点的无限小的几何体，常用的是正六面体。

单元体的性质—a、平行面上，应力均布；

b、平行面上，应力相等。3、拉压杆内一点M

的应力单元体:

1.一点的应力状态：过一点有无数的截面，这一点的各个截面上的应力情况，称为这点的应力状态。补充：拉压sPMssss第52页/共104页取分离体如图3，a逆时针为正；ta绕研究对象顺时针转为正；由分离体平衡得：拉压4、拉压杆斜截面上的应力sssstasaxs0图3第53页/共104页第54页/共104页扭转四.薄壁圆筒扭转时的应力薄壁圆筒：壁厚（r0：为平均半径）（一）、实验：1.实验前：①绘纵向线，圆周线；②施加一对外力偶m。第55页/共104页扭转2.实验后：①圆周线不变；②纵向线变成斜直线。3.结论：①圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改变，只是绕轴线作了相对转动。

②各纵向线均倾斜了同一微小角度。

③所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。第56页/共104页扭转acddxbdy´´①无正应力②横截面上各点处，只产生垂直于半径的均匀分布的剪应力，沿周向大小不变，方向与该截面的扭矩方向一致。微小矩形单元体如图所示：第57页/共104页扭转（二）、薄壁圆筒剪应力大小：

A0：平均半径所作圆的面积。第58页/共104页扭转（三）、剪应力互等定理：

上式称为剪应力互等定理。该定理表明：在单元体相互垂直的两个平面上，剪应力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平面的交线，其方向则共同指向或共同背离该交线。acddxbdy´´tz第59页/共104页扭转

单元体的四个侧面上只有剪应力而无正应力作用，这种应力状态称为纯剪切应力状态。acddxbdy´´tz第60页/共104页§2-４

应变与变形一．应变的概念

变形体在外力的作用下，不仅产生应力，同时还发生变形。与正应力和剪应力相对应，变形体有两个基本变形特征值：正应变和剪应变。正应变ε剪应变γ第61页/共104页σσxxdxτσxσxdxuu+duτβα)(直角改变量bag+==dxduxe二、应变变形物体受力后几何形状或尺寸的改变第62页/共104页

一般地，一点的应变可由考查该点附近小单元体的变形而定义。变形包括单元体尺寸和形状二种改变。过A点沿坐标方向线段的尺寸改变线应变第63页/共104页

线应变(正应变)、剪应变(切应变)所反映的变形特征分别与正应力和剪应力的作用相对应。过A点直角形状的改变剪应变第64页/共104页1、杆的纵向总变形：3、平均线应变：2、线应变：单位长度的线变形。一、拉压杆的变形及应变§2－4－1直杆的轴向拉压变形拉压abcdL第65页/共104页4、x点处的纵向线应变：6、x点处的横向线应变：5、杆的横向变形：拉压PPd´a´c´b´L1第66页/共104页二、拉压杆的弹性定律1、等内力拉压杆的弹性定律2、变内力拉压杆的弹性定律内力在n段中分别为常量时※“EA”称为杆的抗拉压刚度。拉压PPN(x)dxx第67页/共104页3、单向应力状态下的弹性定律4、泊松比（或横向变形系数）拉压三、是谁首先提出弹性定律

弹性定律是材料力学等固体力学一个非常重要的基础。一般认为它是由英国科学家胡克(1635一1703)首先提出来的，所以通常叫做胡克定律。其实，在胡克之前1500年，我国早就有了关于力和变形成正比关系的记载。第68页/共104页“”胡：请问，弛其弦，以绳缓援之是什么意思?

郑：这是讲测量弓力时，先将弓的弦松开，另外用绳子松松地套住弓的两端，然后加重物，测量。

胡：我明白了。这样弓体就没有初始应力，处于自然状态。

东汉经学家郑玄(127—200)对《考工记·弓人》中“量其力，有三均”作了这样的注释：“假令弓力胜三石，引之中三尺，弛其弦，以绳缓擐之，每加物一石，则张一尺。”

(图)拉压第69页/共104页

郑：后来，到了唐代初期，贾公彦对我的注释又作了注疏，他说：郑又云假令弓力胜三石，引之中三尺者，此即三石力弓也。必知弓力三石者，当弛其弦以绳缓擐之者，谓不张之，别以绳系两箭，乃加物一石张一尺、二石张二尺、三石张三尺。其中”“两萧就是指弓的两端。一条“胡：郑老先生讲“每加物一石，则张一尺”。和我讲的完全是同一个意思。您比我早1500中就记录下这种正比关系，的确了不起，和推测》一文中早就推崇过贵国的古代文化：目前我们还只是刚刚走到这个知识领域的边缘，然而一旦对它有了充分的认识，就将会在我们面前展现出一个迄今为止只被人们神话般地加以描述的知识王国”。1686年《关于中国文字和语言的研究真是令人佩服之至』我在第70页/共104页补充题：图示为一变截面圆杆ABCD。已知P1=20KN，

P2=35KN，P3=35KN。l1=l3=300mm，l2=400mm。

d1=12mm，d2=16mm，d3=24mm。试求：(1)1—1，11—11，111—111截面的轴力，作轴力图(2)杆的最大正应力max(3)B截面的位移及AD杆的变形第71页/共104页P1P2P3111111111111l1l2l3ABCDP1P2P3111111111111l1l2l3ABCDR解：求支座反力R=-50KN第72页/共104页P1P2P3111111111111l1l2l3ABCDR(1)1—1，11—11，111—111截面的轴力，作轴力图。P1N1-N1+P1=0N1=20KN（+）第73页/共104页P1P2P3111111111111l1l2l3ABCDR-N2+P1-P2=0N2=-15KN（-）P2P1N2第74页/共104页P1P2P3111111111111l1l2l3ABCDRN3-R=0N3=R=-50KN（-）RN3第75页/共104页P1P2P3111111111111l1l2l3ABCDRN2=-15KN（-）N1=20KN（+）N3=-50KN（-）15+-2050第76页/共104页P1P2P3111111111111l1l2l3ABCDR(2)杆的最大正应力maxAB段：DC段：N2=-15KN（-）N1=20KN（+）N3=-50KN（-）BC段：第77页/共104页P1P2P3111111111111l1l2l3ABCDRmax=176.8MPa发生在AB段。N2=-15KN（-）N1=20KN（+）N3=-50KN（-）第78页/共104页N2=-15KN（-）N1=20KN（+）N3=-50KN（-）(3)B截面的位移及AD杆的变形P1P2P3111111111111l1l2l3ABCDAB段：BC段：CD段：第79页/共104页(3)B截面的位移及AD杆的变形P1P2P3111111111111l1l2l3ABCD第80页/共104页补充题：一等直杆受自重及集中力P作用。杆的长度为l，横截面面积为A，材料的容重为，弹性模量为E，许用应力为[]。试分析杆的自重对强度的影响，并求杆的伸长。lPmmPxmmAxN(x)解：N(x)=P+Ax+P+AlPNmax=P+Al第81页/共104页lPmmPxmmAxN(x)+P+AxPNmax=P+Al强度条件为或可见，若杆的l与材料的[]相比很小，则杆的自重影响很小，可略去不计。第82页/共104页lPlPmmPxmmAxN(x)AdxN(x)N(x)+dN(x)dx第83页/共104页lPlPmmPxmmAxN(x)AxN(x)N(x)+dN(x)dxW=Al为杆的自重第84页/共104页§2－4－1薄壁圆筒的扭转变形①圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改变，只是绕轴线作了相对转动。

②各纵向线均倾斜了同一微小角度。

③所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。与的关系：第85页/共104页4.与的关系：此为薄壁圆筒扭转时剪应变与扭转角的关系由试验测定扭转角后,剪应变也可求出.

薄壁圆筒的扭转试验发现，当外力偶m在某一范围内时，φ与m（在数值上等于T）成正比。第86页/共104页由、、间的线性关系，可推出(a)Too(b)该式称为材料的剪切胡克定律G称为材料的剪切弹性模量

。其单位是Pa。第87页/共104页一、试验条件及试验仪器1、试验条件：常温(20℃)；静载（及其缓慢地加载）；

标准试件。拉压dh力学性能：材料在外力作用下表现的有关强度、变形方面的特性。§2－5应力和应变的关系第88页/共104页2、试验仪器：万能材料试验机；变形仪（常用引伸仪）。拉压第89页