电大本科工程数学复习资料

初行换初行换,B=初行换初行换,B=2→工程数学复习资料一、线性代数、矩的初等行变1两行互换）某一行乘以一个非零常数）某一行的K倍加到另一行。

0

、阶型矩阵：1）全为的行写在最下面，）首非零元的列标随行标增大而增大。如

6504

00

、行化阶梯型矩：满足下列条件的阶梯型矩阵1首非零元全为1，）首非零元所在列其余元全为。如：

2

4103

000

、求阵A的秩：

阶梯型矩阵。阶梯型矩阵非零行的行数既为矩阵A的即

例：

设矩阵

A

13

，求矩阵

A

的秩．3解：用初等行变换将矩阵化为阶梯形

5

5

1

240

000000

由此可知矩阵的秩为2、求阵方程AX=BB

(IX)AB求矩阵A的逆矩阵AI）

（I

A

）

0

例设矩阵A=

213

50

求AB.

或解矩阵方程

0200

2

解AB）

30541

50

→

1255

1005

∴

＝

5222201/113234

例：设矩阵

101

，求：

A

解：

1302/2I10011101100/2所以

A

100

．、n元性方程组解的判定）AX=b：r(Ab)=r(A)，方程组有解r(Ab)≠时方程组解

r)r(An时，方程组r(Abr(Arnr个AX=0方程组一定有解

rAn时r(A有-r个自由求齐次线性方程组的础解系：将程组中的自由未知量分别取，0）式所得到的解向量求AX=0的一般解和全部解：的一基础求的般和全部解：(Ab的一般相原方程组的全部解例：设齐次线性方程组

AX0

的系数矩阵经过初等行变换，得

10

A求此齐次线性方程组的一个基础解系和通解．

02

01

1/

解：因为

00000x得一般解：

（其中

x,3

4

是自由元）令

x2,x，31

0

；令

x0,x，得3

．→→+C→→+C01101所以，

X1

2

的个基础解系．方程组的通解为：

Xk，中k12

2

是任意常数．例：2.线性方程组

xxx2343x0234xx24xx24

的全部解

0

解：（A）=

11

122

00

20

→0010500

16x1方组的一般解x243

将常数项视为零，取

4

得相应齐次方程组的一个基础解系

，取

4

原方程组的一个特解

故方程组的全部解X=

8例：当取值时，线性方程组xx12xxxx14xxx14有解，在有解的情况下求方程组的全部解．解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形

1

30107

000由此可知当

时，方程组无解。当

时，方程组有解。此时齐次方程组化为

xx3x114分别令

03

及

34

，得齐次方程组的一个基础解系令

112，得非齐次方程组的一个特解0,034

01X

0

由此得原方程组的全部解为XXX01

2

（其中

k1

2

为任意常数）二、概率部分、假设A两事件，已知

P(P(B)(A0.4，P()

．解：

P()A(A0.4P()P)()0.60.2(A()(B)(AB)0.7、正态分布X～

N

(X

b

)

(a)

b

)

a

)

,P(X>b)=1-P（X<b）

b

))

例：.X～N(2,9),试求（）P(X<11);(2)P（5<X<8）.（已知Φ1）=0.8413，Φ（）=0.9772，Φ（）=0.9987）11解：P(X<11)=Φ()=Φ3P(5<X<8)=Φ(

85)-Φ()=ΦΦ(1)=0.135933、估计区间和假设检验：对于正态分布N（

）方差已：统计量U=

n

，其中

1nXni

i置信区间：

1

2

X

1

2

]

假检验：若

U

2

，则假设

0成立）方差未知：统计量

sn

，

2

1nni

()i

2置信区间：

X

n

n

]

假设检验：若

T

s

，则假设

0例某车生产滚珠已滚直径服从正态分布从一批产品里随机取出测直径平均值为，若已知这批滚珠直径的方差为

0.06

，试找出滚珠直径均值的置信度为的信区间

(u

0.975

)

．解：由于已知2，故选取样本函数

~N已知

x15.1

，经计算得9

0.063

滚珠直径均值的置信度为的信区间

[x

9

x

9

]

，又由已知条件

u

0.975

，故此置信区间为

[15.1392]例：对某一距离进行4次立测量，得到的数据为（单位：米15.51,15.47,15.50,由此计算出

s0.0216

，已知测量无系统误差，求该距离的置信度为

的置信区间（测量值服从正态分布(t

0.975

(3)

．解：由于未知2，已知

s0.0216

，经计算得x15.504

该距离的置信度为0.95的信区间为

[x

0.975

4

x

0.975

]4

，又由已知条件

t

0.975

，故此置信区间为

[15.4715.53]

。例.资料分析，某厂生产的一批砖，其抗断强度XN(32.5,1.21),从这批砖中随机地抽取了9块测得抗断强（单位：kg/cm

）的平均值为31.12，这批砖抗断强度是否合格α=0.05μ

0.975

=1.96）解：假设Ｈ：＝32.5已知ｎ＝，

X

＝31.12σ＝U

=

X

=

31.12

=3.76>1.96故认为这批砖的抗断强度不合格例：某钢厂生产了一批管材，每