小学奥数数论专题知识总结

#截断求和法:99,999及其因数99（3、9、11、33）：两位截断求和，得到的和除以99余数,即原数除以99的余数。999（3、9、27、37、111、333）：三位截断求和，得到的和除以999余数,即原数除以999的余数.如：12345.345+12=357,357V999,所以12345;999余357。截断求差法:从右开始截断,奇段和－偶段和。11，101，1001及其因数7、11、13、77、91、143。①11:一位截断作差。从右开始，1位截断，（奇数位数字之和）-（偶数位数字之和）；11的余数，即为原数;11的余数；如不够减,求出的负数+11。如：234569。奇数位数字之和3+5+9=17,偶数位数字之和2+4+6=12,17-12=5,所以234569；11余5,即234569三5（mod11）如：98,（奇数位8V偶数位9）8-9=-1,—1+11=10,贝U98；11=8……10,即98三10（mod11）②101:两位截断作差。从右开始，2位截断，（奇位和）-（偶位和）；101的余数，即为原数；101的余数；如不够减,求出的负数+101。③1001（7、11、13、77、91、143）:三位截断作差。从右开始，3位截断，（奇位和）一（偶位和）：1001的余数,即为原数;1001的余数；如不够减,求出的负数+1001。3、费马小定理如果p是质数，a是自然数，且a不能被p整除，则ap-1三1（modp）。即：假如2是自然数，p是质数，且a,p互质，那么a的（p—1）次方除以p的余数恒等于1.如：a是自然数2,p是质数5,2和5互质，2（5-1）；5余1。2是自然数10,p是质数3,10和3互质，10（3-1）；3余1。4、同余问题（求除数）同余的定义:（1）若两个整数a、b除以m的余数相同，则称a、b对于模m同余。（2）已知三个整数a、b、巾，如果m能被（a-b）整除，就称a、b对于模m同余，记作amb（modm）,读作a同余于b模m。5、中国剩余定理（物不知数问题：求被除数）在一千多年前的《孙子算经》中有著名算题:今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二.问物几何？物不知数问题,又叫孙子问题、韩信点兵问题.方法:最小公倍数法：和同加和,余同加余,差同减差（缺同减缺）.列举法（逐步满足条件法）口诀法（仅适应于3、5、7）:三人同行七十稀,五树梅花廿一枝；七子团圆正半月,除百零五便得知.口诀法解释（只看数字即可）:将除以3的余数乘70,将除以5的余数乘21,将除以7的余数乘15,全部加起来后除以105,得到的余数就是答案。步骤：2X70+3X21+2X15=140+63+30=233,233；105=2……23三、完全平方数完全平方数：0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,441,484-完全平方数特征:末位数字只能是：0、1、4、5、6、9；（个位数字是2、3、7、8的一定不是完全平方数）奇数的平方的个位数字是奇数,十位数字是偶数,如25,49,81.（个位数和十位数都是奇数的整数一定不是完全平方数）如果完全平方数的十位数字是奇数,贝它的个位数字一定是6；反之,如果完全平方数的个位数字是6,它的十位数字一定是奇数.如16,36,196,256.（个位数是6,十位数是偶数的一定不是平方数）偶数的平方是4的倍数,奇数的平方是4的倍数加1.（5）奇数的平方是8n+1型，偶数的平方是8n或8n+4型。（形如8n+2,8n+3,8n+5,8n+6,8n+7型的一定不是完全平方数）（6）完全平方数的形式一定是3k或3k+1,即除以3余0或1。（形如3k+2的一定不是完全平方数）（7）完全平方数的形式一定是4k或4k+1,即除以4余0或1。（形如4k+2和4k+3的一定不是平方数）(8)能被5整除的数的平方是5k型，不能被5整除的数的平方是5k±1型。(9)完全平方数对的形式具有：16m,16m+1,16m+4,16m+9。(10)完全平方数的各位数字之和只能是0，1，4,7，9.(各数位数字和是2、3、5、6、8的一定不是平方数)(11)若质数p能整除完全平方数a，则p也能整除a。(12)两个相邻整数的平方之间不可能再有完全平方数。(13)一个自然数n是完全平方数的充要条件是n有奇数个因数.(因数个数为奇数个的自然数是平