1平面向量基本定理

6.3.1平面向量基本定理教学设计课题6.3.1平面向量基本定理 单兀 第六单兀学科 数学年级高一教材分析本节内容是平面向量基本定理，由平面向量共线定理导入，学习平面向量基本定理，为平面向量的坐标表示做铺垫。教学目标与核心素养.数学抽象：利用平面向量共线定理将平面向量基本定理具体化；.逻辑推理：通过课堂探究逐步培养学生的逻辑思维能力；.数学建模：掌握平面向量基本定理；.直观想象：利用平行四边形法则推导并掌握平面向量基本定理；.数学运算:能够正确运用平面向量基本定理；.数据分析:通过经历提出问题一推导过程一得出结论一例题讲解一练习巩固的过程，让学生认识到数学知识的逻辑性和严密性。重点平面向量基本定理难点平面向量基本定理教学过程教学环节教师活动学生活动设计意图导入新课旧知导入：思考1：向量的加法运算是什么运算法则呢？三角形法则作平移，首尾连,由起点指终点4 A7AB+BC=ACB平行四边形法则作平移，共起点，四边形,对角线OA\OB"二OC、O• A思考2：平面中的非零共线向量该如何表示？向量a｛丰0与j共线的充要条件是：存在唯一一个实数入，使b=Xa思考3：根据思考1和2,你有什么猜想？平面内任一向量可以由同一平面内的两个不共线向量表示。我们知道：已知两个力，可以求出它们的合力；反过来，一个力可以分解为两个力。思考4：物理中我们根据什么方法进行力的分解？平行四边形法则。由此我们推断出：可以通过作平行四边形，用同一平面内的两个不共线的向量表示平面内任一向量。学生思考问题，引出本节新课内容。设置问题情境，回顾旧知，激发学生学习兴趣，并引出本节新课。讲授新课知识探究（一）：平面向量基本定理如图，设e1,e2是同一平面内两个不共线的向量，a是这一平面内与e1,e2都不共线的向量。在平面内任取一点0，作OA=e1,OB=e2,OC二a，将。按e1,e2的方向分解，你有什么发现？学生根据力的分解探究平面向量基本定理。利用力的分解探究得出平面向量基本定理，培养学生探索的精神.如图，过点C作平行于直线0B的直线，与直线0A交与点M过点C作平行于直线0A的直线，与直线0B交与点N则OC=OM+ON由OM与e1共线,ON与e2共线可得，存在实数/仆，使得OM=1^1,ON=%e2所以a=Xe+Xe学生根据环环相扣的思考题，探究平面向量基本定理。通过思考，培养学生探索新知的精神和能力.即：与e，q都不共线的a都可以表示成x1彳+X2q的形式。思考1：你能根据上述过程证明以下结论吗？学生根据环环相扣的思考题，探究平面向量基本定理。通过思考，培养学生探索新知的精神和能力.⑴当a是与e；或e2共线的非零向量时，a=Xe；+X2e；;（2）当a是零向量时，a=X；e；+X2e；。证明：G）我们学过：向量a^a牛o与洪线的充要条件是:存在唯一一个实数X，使b=Xa因为a是与e；或e2共线的非零向量，所以a=X；e；+X2e2;（2丽定0与任意向量共线因为a是零向量，所以a=Xe+Xe。思考2：根据上述讨论你能得到J什么结论？上述讨论表明：平面内任一向量：都可以按e；，e:的方向分解，即a=九；1+九2个，且这种表示形式是唯一的。] F I I ]假设a=旦e+旦e，那么a=日e+ne=Xe+Xe；； 22 ；； 22 ；； 22可得。；一片匕+（x2_电工=o由此得X；—N；，X2—%全为0.‘假设X-N，X-N不全为0,不妨假设X-NW0,则e=-XT―^Te.、；；2 2 ； ； >X-N,2一 ‘， ii[由此可得e；,e2共线。这与已知e；,e2不共线矛盾 J即X=n，X=n

也就是说，有且只有一对实数仆仆使n2q平面向量基本定理：如果e，e2是同一平面内的两个不共线向量，,那么对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数入，、入，使a八e+九若e，e不共线，我们把e,e叫做表示这一平面内所有向量的一个基底。2思考3：(D基底工e是否唯一？基底1 2;唯一满足什么条件？基底",e2”线G)定理中(D基底工e是否唯一？基底1 2;唯一满足什么条件？基底",e2”线G)定理中入，入是否唯一？可以为0吗?1 2基底确定，X，九唯一。可以为0。小试牛刀12.判一判(正确的打“J”，错误的打“X”)(1)平面向量的一个基底{e1,e2}中，e1,e2一定都是非零向量.(J )(2)在平面向量基本定理中，若a=0,则%=入2=0.(J)⑶在平面向量基本定理中，若a〃ej，则入2=0；若a〃e2，则入］=0.(J)(4)表示同一平面内所有向量的基底是唯一的.(X).做一做⑴设e「e2是同一平面内两个不共线的向量，以下各组向量中不能作为基底的是(B)A.{e「ejB.{ei+e23ei+3e2}C.电5eJD.{ei，ei+e2）⑵在^ABC中，D为BC边上靠近点8的三等分点,2-1/一一一二-++—b,若AB=a,AC=b，则AD= 3 3（用a,b表示）.例题讲解例1：如图,OA,08不共线，且AP=tAB,（teR）用OA0B表示OP.练一练巩固掌握平面向量基本定理解：因为AP=tAB所以op=OA+AP=OA+tAB=OA+10—OA）=OA+tOB-tOA学生例题，巩固平面向量基本定理，并能够灵活运用.利用例题，化抽象为具体，提高学生的抽象能力和逻辑思维能力。=G-1>)OA+tOB力。思考4：观察OP=G-1"OfA+tOB,你有什么发现?由以上关系式得：~=G-1)入2=t可得：~+九2二1由此可得结论：若A,B,P三点共线，O为直线外一点，则OP=11OA+%OB,且〜+12=1。反之亦成立。例2：如图，CD是AABC的中线，CD=1AB，2用向量方法证明AABC是直角三角形。证明：如图设CD=〃,DA=b贝UCA=a+b,DB=-b,于是。总=a-bCA•CB=(+b)(-)=a2-b21—■因为。=2AB所以CD=da因为a2=CD2,b2=DA2所以CA•CB=0因此CA1CB于是AABC是直角三角形。例3如图所示，在AABC中，点M是AB的中点，且AN=1NC,BN与CM相交于点E,设AB=a,AC=b,乙一试用基底｛a,b｝表示向量AE.一一一一［解］易得AN=；AC=；b,AM=：AB=(a,

3 3 乙乙［解］由N,E,B三点共线知存在实数m,满足AE=mAN+(1—m)AB=1mb+(1—m)a.3由C,E,M三点共线知存在实数n,满足AE=nAM+(1—n)AC=1na+(1—n)b,乙所以1mb+(1—m)a=|na+(1—n)b,3 21—m=jn,22由于｛a,b｝为基底，所以1、7m=1—n,TOC\o"1-5"\h\zm=3, — 5 5一一2 1解得, 所以AE不a+的4 5 5〔n=5，

一例4设｛e『ej是平面内的一个基底，如果庆8=3?— ——2e2,BC=4e1+e2,CD=8e]—9e2，求证:A,B,D三点共线.— ————[证明]•••AB=34一2e2，AD=AB+BC+CD=15e]——>—>ff—10e2=5(3e1—2e2)=5AB,即AD=5AB,AAD与AB^ff线，又AD与AB有公共点A,・・.A,B,0三点共线.（1）三点共线问题的解法一是利用平面向量基本定理、结合向量的线性运算表示有公共点的两向量之间的共线关系.二是找直线外一点（任意一点也可）0,若存在唯一实数对入，U£R使0P=、0A+u0B（入+u=1）.则P,A,8三点共线.⑵注意向量共线与平面向量基本定理放在一起思考解决是否共线问题.提升训练1、OABCD中，E、F分别是DC和AB的中点，学生和教师共同探究完成练习题。通过这3个题，巩固基础知识，学生和教师共同探究完成练习题。通过这3个题，巩固基础知识，发散学生思维，培养学生思维的严谨性和对数学AFB1-17-因为AE=a+-b,FC=-b+a2 2所以AE//FC即A