如何构筑有深的课堂

如何构筑有深的课堂第1页/共107页

好课应该是有深度的课堂

何谓有深度的课堂？（你是怎样理解深度）“深度”课堂不是“难度”课堂深度课堂是对常态课的一种超越深度课堂一定是有内涵的课堂深度课堂一定是有冲突的课堂深度课堂一定是有味道的课堂深度课堂一定是有活力的课堂深度课堂一定是有实效的课堂深度课堂一定是有后劲的课堂第2页/共107页教学中的10个不等式教师讲解≠机械灌输传统的教学手段≠落后的教学方法尊重学生≠放纵学生现代化的教学手段≠现代化的教学思想提倡教学民主≠不要教学秩序第3页/共107页教学中的10个不等式掌握定义≠理解概念掌握知识≠增长智慧追求时尚≠理念先进教学的观赏性强≠教学的时效性高课堂气氛活≠教学效果好第4页/共107页现在的课关注教学起点关注学生生活关注学习过程关注学科本质关注三维目标第5页/共107页构建深度课堂的十个策略读懂学生读懂教材适度拓展思想蕴伏植入文化局部美容问题引领数形结合巧设练习理念移植第6页/共107页

读懂学生——关注教学起点

即使是最普通的孩子，只要教育得法，也会成为不平凡的人。

爱尔维修第7页/共107页数学课真正的精彩是学生的精彩，而不是教师的精彩。

第8页/共107页不能真正了解学生，教师的教学行为就是盲目的，课堂也必然是低效的。只有读懂学生，我们的课堂教学才能做到扎实高效。第9页/共107页

学生前测的题目你能计算下面的分数加减法吗？你打算怎么计算？说明理由。若不会算，说说你的困惑在哪儿？案例1：《异分母分数加减》第10页/共107页如何找到解决问题的起点?——学生调研1.学生已有知识基础（包括知识技能、方法）2.学生已有生活经验和学习该内容的经验3.学生学习该内容可能的困难4.学生学习的兴趣、学习方式等5.资料学习第11页/共107页教学目标理解和掌握异分母分数加减法的计算方法，理解“为什么要通分”的道理。在原有的知识经验基础上，利用知识的迁移，数形结合的思想在辨析中自主构建新知，渗透转化的数学思想同时促进学生反思能力的提高。在活动中体会探究的快乐。第12页/共107页教学重点：

理解“只有分数单位相同才能相加减”的道理。教学难点：让学生明白“为什么要转化”的道理。第13页/共107页人数比第二题少了，怎么回事？第14页/共107页A:学生不会做,在思考时产生了疑问,没找到解决问题的办法第15页/共107页这种想法是学生受了整数,小数减法计算算理的影响.B:受整数和小数加减法的影响，没有验证的意识。第16页/共107页C:学生的想法受到同分母分数计算方法负迁移的影响，没有验证的意识。第17页/共107页第18页/共107页第19页/共107页对于第二题学生已有一定的经验,但做第三题时,学生受到数据干扰,思维开始混淆,产生了疑问.D:学生意识到单位相同的数才能相加减。E:学生有验证的意识。第20页/共107页虽然不对,但是已经有了一些想法.受数据影响开始产生困惑第21页/共107页第22页/共107页F:学生能够根据分数的意义,通过画图来解题.第23页/共107页启示1.花些时间了解你的学生，确定你的教学起点第24页/共107页案例2：为何“探究不出来”——除法竖式24÷272÷3现象：题1很多同学都可以通过摆小棒掌握列出竖式，题2很困难第25页/共107页思考步骤24÷272÷3第一步分整捆把2捆小棒平均分给2人，每人得到1捆把7捆小棒平均分给3个人，无法分把7捆小棒拆分成6捆和1捆把6捆小棒平均分给3个人，每人得到2捆

第二步分零根把4根小棒平均分给2个人，每人得到2根把剩下的1捆小棒拆开，与原来的2根小棒相加得到12根小棒把12根小棒平均分给3个人，每人得到4根

第三步得结果把每人得到的1捆小棒和2根小棒相加，得到最后的结果12回忆先前每人得到的2捆将每人得到的2捆与4根相加，得到最后的结果24.

第4步写竖式建立思考过程与竖式的联系建立思考过程与竖式的联系第26页/共107页

启示2：教师的职责“解惑”，解惑的前提“知惑”。“惑”就是你的教学关键学生学习困难具有两个特征：——思考过程过于复杂——与已有的知识和经验没有联系或相悖。教学关键：如何把“不能分”转化为“可以分”第27页/共107页读懂教材——关注学生生活读懂教材是教师必备的基本功，也是使用教材、进行有效教学的基础。现行教材中都是以情境来展示教学目标的。它给了老师更大的研读教材的空间，同时也给了我们很大的挑战。教材上的每幅图都有其深刻的含义和目的，做为教师只有把它研读透彻才能明白其中真知。第28页/共107页案例1：案例：计算364+578（1）300+500+60+70+4+8（2）360+570+4+8（3）300+500+64+78（4）364+580-2（5）364+600-22（6）列竖式启示1：如此繁多的算法如何处理第29页/共107页案例2：以33-7为例：说明算法多样化的三个层次第30页/共107页第一层次：操作水平，左图男孩借助实物操作，动作与思维兼而有之。第二层次：表象操作水平。孩子在自己的头脑中想自己的操作动作，但不赋予行为。第三层次：分析水平。根据模型计算第31页/共107页动作思维（动作表象）表象思维（图形表征）抽象思维（符号表征）启示2：算法多样化中的三个思维层次第32页/共107页可以从哪些角度去解读教材，读懂

教材？

1.要用整体联系的观点解读教材把数学看成一个不可分割的整体，就要理解并把握数学课程内部的联系。解读教材要了解在前面年级已学的数学和后面年级将要学的数学知识，根据已学的知识去理解掌握新的知识，把新知识视为已学知识的推广或拓展，把已学知识视为新知识的停靠点或生长点。当我们发现已学知识与新知识之间的联系时，我们的理解会深刻并且牢固。第33页/共107页案例解读三下“比赛场次”的教材时，是否联系到三上“搭配中的学问”和六上的“比赛场次”，是否想过它们之间的区别与联系？“搭配”问题是乘法的一种实际情境：两个集合的元素个数分别是m、n，它们交叉对应，一共可以搭配成（m×n）个不同的组合。第34页/共107页“搭配中的学问”问题（下面简称“搭配”问题）的特征是分别从两个有限集合任意取出一个元素组成一个组合，问这两个集合的所有元素能组成多少个不同的组合？“比赛场次”的问题（下面简称“比赛”问题）的特征是从一个有限集合任意取出两个元素组成一个组合，问这个集合的所有元素能组成多少个不同的组合？“比赛”问题不是简单的乘法问题，但把这类问题当作简单的乘法问题是学生常犯的错误。第35页/共107页在小学阶段，解决组合问题的基本策略是具体操作，一一列举；并重在培养学生有序思考的意识，理解怎么做才能不重复不遗漏。第36页/共107页2003年中国队所在的小组共有4支球队，每2支球队之间都进行一场比赛。整个小组共赛多少场？要不重不漏地找出所有比赛组合，用逻辑分类是个好策略。即以是否有中国队参赛为标准把所有的比赛分成两类：一类有中国队参赛，另一类没有中国队参赛，此外就没有第三种情况了。通过分类，原来的问题就转化为两个简单的问题，其中一个问题就是教材中的第一问：“中国队在小组中要进行几场比赛？”另一个问题：中国队外，其他3队要进行几场比赛？第37页/共107页读懂教材就要读懂教材中所蕴含的数学思维，进而是如何用数学语言恰当地表达数学思维的成果（包括数学模型）。第38页/共107页如果说三上的“比赛场次”，要学会的是用画图或列表等方法解决“比赛”问题，那么六上的“比赛场次”就要进一步探究“比赛”问题中的数量关系，即寻找“参赛人数”与“比赛场数”之间存在的数字关系和数字模式。比较两个学段“比赛场次”的教材，读懂它们不同的内涵，才能够层次分明地处理和落实好相同的课题在不同学段的学习目标。第39页/共107页王皓、马琳、朱世赫、李廷佑等13人进行比赛，每两个人之间都进行一场比赛。一共要比赛多少场？第40页/共107页参加比赛人数3表格示意图4线段示意图5比赛场数631+2=31+2+3=61+2+3+4=1010211画勾或连线数ABABABCABCADDBCABCDABCEABCDE第41页/共107页一共要比赛多少场？1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12=78（场）按照上面的规律，根据:1+2+3+‥‥‥+15=120（场）这个算式，你能推理出有多少名运动员吗？请你来推理王皓、马琳、朱世赫、李廷佑等13人进行比赛，每两个人之间都进行一场比赛。第42页/共107页星星体操队为联络方便，设计了一种联络方式:1.先由教练同时通知两位队长。2.两位队长再分别同时通知两名同学。

3.依此类推，每人再同时通知两个人。

第一分钟第一分钟第二分钟（每同时通知两人共需1分。）

12222+4=662分一共通知的人6分一共可以通知到多少名同学?

第43页/共107页学校数学教育的一个主要目标是使学生学会自主学习。自主学习的一个重要内涵是学会阅读，学会与教材文本对话。教师的责任不是直接教教材，而要教会学生自己去学教材，鼓励学生自己与教材对话，然后针对学生自学教材中发现与存在的问题进行针对性的教学活动。这样的课堂教学活动对教师提出了更高的要求。教师的高明不是脱离教材另起炉灶，旁征博引，而是靠教材搭起师生的互动平台，捕捉契机，传授方法，启迪智慧，引导价值。这一切都必须源于教材；都必须立足于个性化地解读教材，不仅读懂而且读通教材的基础之上。第44页/共107页问题引领——关注学习过程

第45页/共107页案例4：没有问题的“轻松”课堂

——角的度量

创设情境认识量角器

使用量角器总结提高第46页/共107页课后留给老师们的思考：１.课堂学生似乎轻松地学会了角的度量，难道他们真的没有遇到问题吗？3.如何让学生在探究知识的过程中学会发现问题、提出问题并尝试着解决问题呢？2.在数学学习过程中是否还有比掌握量角的技能更重要的东西呢？4.这样的课堂似乎缺了点什么，缺了点什么呢？……第47页/共107页“问题丛生”的课堂问题一：“怎么才能量出这两个角谁大谁小呢？”

——小角量大角，渗透度量意识(1)⑵第48页/共107页问题二：“小角量大角太麻烦了，有更简便的测量方法吗？”——认识量角器，感受量角器的价值第49页/共107页第50页/共107页第51页/共107页第52页/共107页第53页/共107页问题三：“这样量怎么读不出度数”？——亲自尝试，探究量角的方法第54页/共107页

学生一上来就犯了从直尺一端开始测量的“经验主义”错误。不会正确摆放量角器。用量角器非中心点的一端顶住了角的顶点。因此，找不到角的度数。第55页/共107页

学生用量角器的圆弧直接卡住了两条边的任意一点直接去量点。第56页/共107页问题四：“究竟是30°还是150°呢？”

——亲自尝试，突破难点

30°

150°第57页/共107页

这是一节问题丛生的“活力课堂”，巧妙的教学设计魅力就在于此——让学生自己发现问题、提出问题、解决问题，积极主动地自主建构。

学生的错误是有价值的教学资源。从引发冲突，激起探究需要，到最后自主解决问题，这样才能真正让学生从知识产生过程的体验中，享受到探究的乐趣，获得自信和活力，让学生获得高质量的课堂生活。第58页/共107页思想蕴伏——关注学科本质案例1：正方体和长方体的展开图——有效的办法：在纸上画出，剪下来，再折一折。问题：动手操作代替空间想象，可行吗？思考：（1）这节课的目的是什么？（2）会不会过度依赖动手操作，而弱化了学生的想象力？第59页/共107页结论：操作是必要的，但仅仅是为了给学生建立展开图的表象是远远不够的。发现规律很重要生1：原来相对的面展开后都会隔开生2：前后上下四个面会连成一排生3：还有不是四个面会连成一排

……第60页/共107页（1）用小棒摆出不同的长方形结论：在“选”与“摆”的过程中都要自觉的思考图形的特征，因此，不仅仅是操作活动，还有思维活动（2）你能折出最大的正方形吗？——学生一步步的严密推理案例2第61页/共107页案例3.注重数学思想的渗透——以“平行四边形面积计算为例”（1）转化（2）“变”与“不变”——等积变形长方形面积相等，周长相等吗？圆柱铸成圆锥（3）观察长方形框架逐渐变形——对极限的无限遐想（4)类推第62页/共107页案例4小案例（2年级）1．方法的学习：简化问题——寻找规律；生：“有100棵树，倒过来数第18棵是正过来数的第几棵？”，是第82棵吗？师：能肯定吗？生：……师：困难是什么？（意识到问题所在）生：数字太大，小一点就好了；师：有没有什么办法把数字改小一点？（进入方法学习）生：有——有20棵树，倒过来数第18棵是正过来数的第几棵？（难度没有减小）师：数字还是大！换一个办法减小数字可以吗？生：有10棵树，倒过来数第1棵是正过来数的第几棵？那当然是第10棵！师：原来的问题会解吗（见学生迟疑）？倒过来数第2、3棵是正过来数的第几棵？生：那是第9个、第8个，知道了！倒过来数第8棵应当是正过来数的第3棵！师：100棵树的时候呢？生：应当是第93棵。师：那倒过来数第18棵呢、第37棵呢？生：应当是100-18+1=83，100-37+1=64，棵。师：我随便说第几棵，你是不是都能够给出答案？（一般化）第63页/共107页数学广角的启示1.“植树问题”——我们可以看到这样一些共同点第64页/共107页第一，任课教师往往特别重视关于“植树问题”的三种不同类型的区分，即所谓的“两端都种”“只种一端”与“两端都不种”。例如，在“应用模型，解决问题”这一环节，教师常常会不厌其烦地反复提出这样一个问题：“这属于(“植树问题”中的)哪个类型啊?”有的教师更为此设计了专门的练习题：“选一选，下面每一题相当于植树问题中的哪一种情况?(1)广场上的钟声；(2)音乐中的‘五线谱’；(3)衣服上钉的纽扣……”另外，在现实中这往往也就是诸多不同教案的主要区别所在：我们究竟应当同时引入所说的三种情况，还是应当首先重点研究其中的某一种然后再过渡到其他两种?第65页/共107页第二，就上述三个类型的区分而言，教学设计者往往又归结为“规律的发现”。如“从简单问题、简单事例人手，寻找规律，通过规律的得出，最终得到问题的解决”。另外，从实际的教学情况看，更有不少教师将此当成了“教学重点”，并普遍地采取了“学生独立探究(或分组探究)、反馈交流、教师总结”这样的教学方法。再则，主要地也就是基于这样一种认识，有不少教学设计者就将最后的“应用模型，解决问题”简单地命名为“应用规律”。

第66页/共107页第三，就相关的数学思想而言，有不少教师突出地强凋了所谓的“化归思想”，尽管从相关的教学实践看，“模型的建立与应用”似乎更可被看成这一教学活动的主线，而且，在此似乎也很难看出究竟什么是所说的“化归思想”，后者又如何在“植树问题”的求解过程中得到了具体的运用?第67页/共107页就“植树问题”这一内容的教学而言，事实上涉及了两种不同的数学活动：其一，以“植树问题”为(现实)原型引出普遍性的数学模式(例如，可以称为“分隔问题”)，然后再利用这一模式去解决各种新的实际问题，如路灯问题、排队问题、锯树问题、爬楼问题等。其二，对于上面所提到的每一个问题，我们又都可区分出三种不同的情况，就“植树问题”而言，这也就是所谓的“两端都种”“只种一端”与“两端都不种”。第68页/共107页思考：究竟何者应当成为这一教学活动的重点?什么又是这一教学活动的真正难点?第69页/共107页2.烙饼问题3.找次品问题4.鸡兔同笼问题第70页/共107页案例3：鸡兔同笼问题问题：一支铅笔4元，一支钢笔7元，共有46元买10支笔，应如何购买？有两种思维方法：算术方法：尝试，调整穷举，列表假设，推理代数方法：分析问题中的量，确定等量关系，设未知数，列方程（不同方式），解方程。第71页/共107页算术方法（一）尝试（猜测）——调整有的学生——尝试：买4支铅笔6支钢笔，供需要58元。

——调整：只有46元，不足，只能少买一些钢笔；买1支钢笔9支铅笔，可否？需43元。——再调整：自己有46元，还可多买钢笔；买2支钢笔8支铅笔，恰为46元。第72页/共107页算术方法（二）穷举，列表学生很容易在老师的诱导下，通过穷举、列表法做出判断。在“分类”讨论是数学思考问题的基本思想，穷举、列表等是最基本、重要的一种方法。为了把所有的情况表示清楚，我们常常采用这种方法。第73页/共107页算术方法（三）假设、推理假设有10支铅笔，0支钢笔，则一共需要40元。如何使用余下的6元？我们知道：

1支钢笔7元=1支铅笔4元+3元这样，可以用2支铅笔加6元换两支钢笔。由此可知46元可买8支铅笔，2支钢笔。第74页/共107页算术方法小结：从数学上来讲，前两种方法更重要一些，它们体现了数学基本思想——逼近、分类。它们也是数学的通性通法，在今后学习中非常有用。希望老师帮助学生掌握。从学生认知来说，前两种方法也是学生容易接受的方法。它们反映了比较自然的解决问题过程。很多老师更喜欢用第三种方法来解决类似问题，但这对于部分学生有一定难度。第75页/共107页代数方法：

1、量的分析铅笔每支4元、钢笔每支7元（1）铅笔的数量、钢笔的数量（2）铅笔和钢笔的总量10支（3）一共拥有46元（4）其中(1)(3)(4)是已知量,(2)是未知量.这些在讨论问题过程中都是不变的。第76页/共107页2、等量关系让学生用自然语言叙述等量关系等量关系1：铅笔、钢笔的数量之和是10支。等量关系2：买铅笔和钢笔的费用之和是46元。

3、设未知数、列方程第一种列方程方式：设未知量铅笔的支数为x，利用等量关系1：钢笔的数量为10-x,这样，利用等量关系2，有：4x+7(10-x)=46。第77页/共107页第二种列方程方式：设铅笔的支数为x，钢笔的支数为y，则

x+y=10（利用等量关系1）

4x+7y=46（利用等量关系2）

4、解方程。第78页/共107页适度拓展——巧设练习

第79页/共107页在熟练操作的背景下产生智慧熟能生巧——“熟”，表示反复地按照现有程序进行操作，达到得心应手的程度，以至于形成一种习惯。“巧”代表一种新的智慧“对基本概念的理解要变为直觉”——杨振宁●思维需要效率●记忆通向理解●速度赢得效率●严谨形成理性●重复依靠变式

第80页/共107页(1)变式引领下的数理演练●什么是变式？抽象的概念需要熟悉广泛、众多的事物才得以形成。变式就是从不同的角度组织感性材料，变换事物的非本质特征，在各种表现形式中突出事物的本质特征，从而使学生对概念的理解达到越来越高的概括化程度。第81页/共107页●通过变式教师为学生的思维提供了一个阶梯，重复而不呆板。每个便是具有创新的意味，但又能夯实基础。第82页/共107页

原问题：小明从学校去往同学家，前一段路程乘车用了15分钟，后一段路程步行也用了15分钟。其中，车子行驶的速度是18km/h，步行的速度是3km/h。小明去同学家的平均速度是多少？变式一：小明从学校去往同学家，去时以4km/h的速度走了4小时，原路返回以3km/h的速度行走，求他来回的平均速度。同原水平：不存在抽象，不加深对问题中核心概念的理解。第83页/共107页

变式二小明从学校去往同学家，前一半时间以4km/h的速度行走，后一半时间以3km/h的速度行走，求他的平均速度。高一级水平思维：通常，解决速度的问题，我们需要求出路程、时间，现在时间没有、路程也求不出。怎么办？未知数加入运算！设行走的总时间是2x，那么，结果就是：（4x+3x）÷2x。简单地：（4+3）÷2。发现，这时求平均速度，实际和时间无关。在思路上可以用到假设。第84页/共107页

变式三：小明从学校去往同学家，先乘车以24km/h的速度行走了一半的路程，后以4km/h的速度步行了一半路程，求他的平均速度。高一级水平：加深对问题中核心概念——“平均”的理解。2X÷(X÷24+X÷4)第85页/共107页

变式四：小明卖明信片，第一天以“甲种一元2张、乙种一元3张”的方式定价，共卖去甲种30张、乙种30张，得款多少元？第二天以“两元5张”方式定价，仍卖去甲种30张、乙种30张，得款多少元？如果是甲种2元3张，乙种1元2张，也是各卖30张呢？在更高一级水平上理解问题中的核心概念。第86页/共107页数形结合——关注学习的策略模式化方法——解决数学问题的有效策略模式化方法就是数学建模的过程，用数学描述或解释现实世界中的现象案例1.图1由五个同样大小的圆组成,请画一条直线将该图分成面积相等的两个部分。第87页/共107页案例2：用模式化的方法解决富有有挑战性的数学问题小林和小红的年龄之和是42岁，小林比小红大16岁，5年后，小红的年龄是多少？第88页/共107页小红存的钱是小明的3倍，丽丽存的钱比小红少20元，如果3人共存款645元，丽丽有多少元？第89页/共107页

新的教学内容、教学理念带给我们诸多的不适应第90页/共107页从不同的视角思考，可以画出以下几种统计图。案例一：“某企业有5位股东，100个工人，1990——1992年3年间的收益情况如下第91页/共107页从资金分配总额绘制统计图，说明老板与工人“有福同享，有难同当“第92页/共107页B.分别以1990年的资金总额为标准，按资金分配的增长绘制统计图，说明老板与工人的收益存在“剪刀差”第93页/共107页C.按平均每人收益绘制统计图，则老板与工人简直是“一个在天堂，一个在地下。第94页/共107页多数教师一般只能画出第一种统计图，使他们觉得很尴尬，其实不是他们不会解此题，而是不习惯这样的开放题。第95页/共107页例1：一个家庭有两个孩子，这两个孩子都是女孩子的概率是多少？是一男一女的概率又是多少？第96页/共107页错误：因为一个家庭有两个孩子的情况共有三种不同情况：即或者两个都为男孩、或者都为女孩，或者是一个男孩和一个女孩，所以：P（两个孩子都是女孩）=P(两个孩子是一男一女)=第97页/共107页分析与正解：这是最容易出现的一种错误，表面上看好像是对的，实际是错的。错误的原因解题者在解