中考数学锐角三角函数的综合复习含详细答案

中考数学锐角三角函数的综合复习含详细答案一、锐角三角函数1.己知在平面直角坐标系中，点4（3,0）,8（—3,0）,C（—3、8）,以线段8c为直径作圆,圆心为石，直线AC交。上于点。，连接QD.（1）求证：直线。。是OE的切线；（2）点尸为x轴上任意一动点，连接C/交于点G,连接5G：①当tan/4CF=；时，求所有产点的坐标（直接写出）；②求处的最大值.CF（43A RG 1【答案】（1）见解析；⑵①1—,0,凡（5,0）；②——的最大值为【解析】【分析】（1）连接。石，证明NEDO=90。即可；（2）①分“尸位于48上”和"尸位于84的延长线上”结合相似三角形进行求解即可；②作GM_L8C于点M，证明〜A4BC,得也《2_,从而得解.2【详解】（1）证明：连接。石，则：VBC为直径ZBDC=90°ZBDA=90°vOA=OBOD=OB=OAZOBD=ZODBEB=EDZEBD=ZEDB

ZEBD+NOBD=ZEDS+ZODB即：AEBO=ZEDO•••CB_Lx轴ZEBO=90°ZEDO=90°・•・直线O。为。石的切线.(2)①如图1，当尸位于A8上时：WNF、〜AABCANNF.Af；•—▲—▲一AC二设AN=3x,则Nf；=4x,Af；=5x・・.CN=CA-AN=l0-3xtanNAC尸=FtanNAC尸=F】N▲MBGV-4x10-3x'解得：A：=—7 3144匚-5°

AF.=>x=—1 315043OF=3——=—1 3131即K即K如图2,当尸位于84的延长线上时：AAMF、〜AABC・,・设AM=3x,则MA=4x,4F?=5x・・.CM=CA+AM=10+3xtailZACF=EMtailZACF=一■CM~10+3x7解得…I整=5x=2。尼=3+2=5即8(5,0)图2②如图，作GM_L5C于点•••是直径ZCGB=ZCBF=90°「•'CBF〜kCGBBGMGMG• _ _ 一'CF~~BC~~TV 半径=4BGMG41.-= 4一二一C尸8 82•••丝的最大值为Cr 2【点睛】本题考查了圆的综合题：熟练掌握切线的判定定理、解直角三角形；相似三角形的判定和性质和相似比计算线段的长：理解坐标与图形性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题.

2.如图，在平行四边形ABCD中，AE平分'BAD,交于点巴匕AE与BF交于点P,连接EF,PD（1）求证：四边形"BE"是菱形；求tan乙4DP的值【答案】（1）证明见解析（2）求tan乙4DP的值【答案】（1）证明见解析⑵或S一【解析】试题分析：（1）根据AE平分/BAD、BF平分NABC及平行四边形的性质可得AF=AB=BE,从而可知ABEF为平行四边形，又邻边相等，可知为菱形（2）由菱形的性质可知AP的长及NPAF=60。，过点P作PH_LAD于H,即可得到PH、DH的长，从而可求tanZADP试题解析：⑴YAE平分NBADBF平分NABCZBAE=ZEAFZABF=ZEBF•AD//BCZEAF=ZAEBZAFB=ZEBFZBAE=ZAEBZAFB=ZABF・AB=BEAB=AF・AF=AB=BE•AD//BC•ABEF为平行四边形又AB=BE•ABEF为菱形（2）作PH±AD于H由NABC=60。而已（1）可知NPAF=60。，PA=2,则有PH=正，AH=1,/.DH=AD-AH=5/.tanZADP=1

考点：1、平行四边形；2、菱形；3、直角三角形；4、三角函数3.在正方形ABCD中，对角线AC,BD交于点0,点P在线段BC上（不含点B）,ZBPE=-ZACB,PE交B0于点E,过点B作BFJLPE,垂足为F,交AC于点G.2（1）当点p与点c重合时（如图1）.求证：△BOG"APOE；BF（2）通过观察、测量、猜想：—= ,并结合图2证明你的猜想；PEBF（3）把正方形ABCD改为菱形，其他条件不变（如图3）,若NACB=a,求万万的1C图1 图1 图2 图3【答案】（1）证明见解析⑵条=g（3） =【解析】解：（1）证明：・•・四边形ABCD是正方形，P与C重合,・•・OB=,,OPH,ZBOC=ZBOG=90°.,/PF±BG,ZPFB=90°,/.ZGBO=90°-ZBGO,ZEPO=90°-ZBGO.・•・ZGBO=ZEPO.J△BOGM△POE(AAS).(2)BF=(2)BF=£

PE-2证明如下:如图，过P作PM〃AC交BG于M,交B0于N,・•・ZPNE=ZBOC=90%ZBPN=ZOCB.,/ZOBC=ZOCB=45°,/.ZNBP=ZNPB.・•.NB=NP.

/ZMBN=90°-ZBMN,ZNPE=90°-ZBMN,/.ZMBN=ZNPE.「•△BMN登△PEN(ASA).BM=PE.1・•NBPE二一NACB,ZBPN=ZACB,/.ZBPF=ZMPF.2/PFJ_BM,ZBFP=ZMFP=90°.又「PF=PF,・•・△BPa△MPF(ASA)./.BF="MF”,即BF=-BM.21・•・1・•・BF=-PE,2即——=-PE2（3）如图，过P作PM〃AC交BG于点M,交BO于点N,ZBPN=ZACB=a,ZPNE=ZBOC=90°.由(2)同理可得BF=，BM,ZMBN=ZEPN,2/ZBNM=ZPNE=90°, △BMN~△PEN.BM=BNTF-PN在RtABNP中,在RtABNP中,BNtaiitz=——PN理=2,即返=tana.PE PEBF1.•—=—tailct.PE2(1)由正方形的性质可由AAS证得△BOG2△POE.(2)过P作PM//AC交BG于M,交B0于N,通过ASA证明△BMN^△PEN得到BF1BM=PE,通过ASA证明△BPa△MPF得到BF=MF,即可得出——=—的结论.PE2（3）过P作PM〃AC交BG于点M,交BO于点N,同（2）证得BF=^BM,2ZMBN=ZEPN,从而可证得△ZMBN=ZEPN,从而可证得△BMN〜△PEN,由BM_BN

PE""PNr ।BNun和RtABNP中tana=——即PN可求得BF可求得BFPE1=—tana24.如图，在△ABC中，NABONACB,以AC为直径的。0分别交AB、BC于点M、N,点P在AB的延长线上，且NCAB=2ZBCP.

（I）求证：直线CP是oo的切线.（2）若BCM2'%sinZBCP=5，求点B到AC的距离.（3）在第（2）的条件下，求4ACP的周长.【答案】（1）证明见解析（2）4（3）20【解析】试题分析：（1）利用直径所对的圆周角为直角，2NCANNCAB,NCAB=2NBCP判断出ZACP=90唧可;（2）利用锐角三角函数，即勾股定理即可.试题解析：（1）・.•NABC=ZACB,AB=AC,AC为。。的直径，•.ZANC=90°,ZCAN+NACN=90%2ZBAN=2ZCAN=ZCAB,/ZCAB=2ZBCP,/.ZBCP=ZCAN,ZACP=ZACN+ZBCP=ZACN+ZCAN=90%.•点D在上，,・直线CP是。。的切线：（2）如图,作BFXACTAB=AC,ZANC=90°,1CN=2cBK'5,

•/ZBCP=ZCAN,SinzBCP=5更/.sinZCAN=5,CN.AC=~「・AC=5,「•AB=AO5，设AF=x,则CF=5-x,在R3ABF中，BF2=AB2-AF2=25-x2,在RtACBF中，BF2=BC2-CF2=2O・(5-x)2,/.25-x2=2O-(5-x)2,「・x=3,・•・BF2=25-32=16,/.BF=4,即点B到AC的距离为4.考点：切线的判定5.己知RSABC中，ZACB=90°,点D、E分别在BC、AC边上，连结BE、AD交于点P,设AC=kBD,CD=kAE,k为常数，试探究NAPE的度数：（1）如图1，若k=l,则NAPE的度数为_；（2）如图2,若卜=寿，试问（1）中的结论是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，求出NAPE的度数.（3）如图3,若（3）如图3,若k=JT,且D、请说明理由.E分别在CB、CA的延长线上,（2）中的结论是否成立,由见解析.【解析】分析：（1）先判断出四边形ADBF是平行四边形，得出BD=AF,BF=AD,进而判断出△FAE鲤△ACD,得出EF=AD=BF,再判断出NEFB=90%即可得出结论;（2）先判断出四边形ADBF是平行四边形，得出BD=AF,BF=AD,进而判断出FAE-△ACD,再判断出NEFB=90°,即可得出结论;(3)先判断出四边形ADBF是平行四边形，得出BD=AF,BF=AD,进而判断出ACDjHEA,再判断出NEFB=9再,即可得出结论;详解：(1)如图1,过点A作AFIICB,过点B作BFIIAD相交于F,连接EF,/.ZFBE=ZAPE,ZFAC=ZC=90°,四边形ADBF是平行四边形,•.BD=AF,BF=AD.「AC=BD,CD=AE,•.AF=AC./ZFAC=ZC=90\•・△FAE垩△ACD,・.EF=AD=BF,ZFEA=ZADC./ZADC+ZCAD=90°,ZFEA+ZCAD=90°=ZEHD.ADIIBF,ZEFB=90°./EF=BF,ZFBE=45°,ZAPE=45°.(2)(1)中结论不成立，理由如下：如图2,过点A作AFIICB,过点B作BFIIAD相交于F,连接EF,/.ZFBE=ZAPE,ZFAC=ZC=90°,四边形ADBF是平行四边形,.・.BD=AF,BF=AD.•/ac=73bd,cd=73ae,任=幺="BDAE'：BD=AF,ACCDAFAE=C.ACCDAFAE=C./ZFAC=ZC=90\/.△FAE〜△ACD,ACADBFAFEFEF=a/3,ACADBFAFEFEF=a/3,ZFEA=ZADC./ZADC+ZCAD=90",/.ZFEA+ZCAD=90°=ZEMD.VADIIBF,・.ZEFB=90°.在RSEFB中,tanZFBE=•.ZFBE=30%•.ZAPE=30°,（3）（2）中结论成立，如图3,作EHIICD,DHIIBE,EH,DH相交于H,连接AH,•.NAPE=NADH,ZHEC=ZC=90%四边形EBDH是平行四边形,•.BE=DH,EH=BD.・・ac=6bd,cd=73ae,.•.生=0=3BDAE丁ZHEA=ZC=90%•・△ACD-△HEA,ADAC行——=——=J3,ZADC=ZHAE.AHEH,/ZCAD+ZADC=90°,/.ZHAE+ZCAD=90°,・・.ZHAD=90°.A”L在RtADAH中，tan/ADH=——=,AD/.ZADH=30\・•・ZAPE=30°.点睛：此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，构造全等三角形和相似三角形的判定和性质.6.己知:如图,在R3ABC中，6ACB=90。，点M是斜边AB的中点,MDIIBC,且MD=CM,DELAB于点E,连结AD、CD.(1)求证：△MED-△BCA；(2)求证：△AMD^△CMD；17(3)设AMDE的面积为Si,四边形BCMD的面积为S2,当S2=q_Si时，求cos/ABC的值.【答案】(1)证明见解析：(2)证明见解析；⑶cosNABC、.【解析】【分析】(1)易证NDME=ZCBA,ZACB=ZMED=90°,从而可证明△MED〜△BCA；(2)由NACB=90。，点M是斜边AB的中点，可知MB=MC=AM,从而可证明ZAMD=ZCMD,从而可利用全等三角形的判定证明△AMD登△CMD；(3)易证MD=2AB,由(1)可知：△“£□一△BCA,所以=-,所以1中42 .5. MESaMCB=—S/,ACB=2S1，从而可求出SaEBD=S2-SaMCB-Si=—Si，由于- =UR，从而可3 SAEBD EB知蛙=2,设ME=5x,EB=2x,从而可求出AB=14x,BC=-,最后根据锐角三角函数的EB2 2定义即可求出答案.【详解】MDIIBC,•・ZDME=ZCBA,/ZACB=ZMED=90°,•.△MED~△BCA：J2ACB=90°,点M是斜边AB的中点,.・.MB=MC=AM,・•・ZMCB=ZMBC,,/ZDMB=ZMBC,・•・ZMCB=ZDMB=ZMBC,

•/ZAMD=180°-ZDMB,ZCMD=180°-ZMCB-ZMBC+ZDMB=180°-ZMBC,ZAMD=ZCMD,在^AMD与^CMD中，MD=MD<ZAMD=ZCMD,AM=CM・•.△AMD之△CMD(SAS)；(3)•••MD=CM,・•.AM=MC=MD=MB,・•.MD=2AB,由(1)可知：△MED〜△BCA,S](MD丫1SkbIA8J4SaACB=4S1,丁CM是^ACB的中线,_1_MCB二-SaACB=2Si，2. _ 2・・EBD=S2-MCB-Si=—Si,ME

~~EBME'EBME5EB2设ME=5x,EB=2x,MB=7xt・•.AB=2MB=14x,BC=10x,10x=57-10x=57-cosZABC= AB【点睛】本题考查相似三角形的综合问题，涉及直角三角形斜边中线的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的判定与性质，三角形面枳的面积比，锐角三角函数的定义等知识，综合程度较高，熟练掌握和灵活运用相关的性质及定理进行解题是关键.7.如图，AB是。0的直径，点C,D是半圆O的三等分点，过点C作。。的切线交AD的延长线于点E,过点D作DF_LAB于点F,交于点H,连接DC,AC.（1）求证：ZAEC=90°：（2）试判断以点A,0,C,D为顶点的四边形的形状，并说明理由；（3）若DC=2,求DH的长.（2）四边形AOCD为菱形：（3）DH=2\8.【解析】试题分析：（1）连接0C,根据EC与切点C,则NOCE=90。，由题意得!?1_r?i_^1= NDACNCAB,即可证明aeiioc,则NAEC+NOCE=180。，从而得出ZAEC=90°：（2）四边形AOCD为菱形.由（1）得初=密，则NDCANCAB可证明四边形AOCD是平行四边形，再由OA=OC,即可证明平行四边形AOCD是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）；（3）连接0D.根据四边形AOCD为菱形，得40AD是等边三角形，则NAOD=60。，再由DFDHJ_AB于点F,AB为直径，在R30FD中，根据sinNAOD=°0,求得DH的长.试题解析：（1）连接0C,丁EC与。。切点C,「・OCJLEC,・•・ZOCE=90°,丁点CD是半圆0的三等分点,.AD=CD=cB••，ZDAC=ZCAB,•/OA=OC,ZCAB=ZOCA,ZDAC=ZOCA,AAEIIOC（内错角相等，两直线平行）・•.ZAEC+ZOCE=180°,・•.ZAEC=90°；（2）四边形AOCD为菱形.理由是:..AD=T7B•,ZDCA=ZCAB,・•・CDIIOA,又「AEIIOC,・・・四边形AOCD是平行四边形,,/OA=OC,・•・平行四边形AOCD是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）：（3）连接OD.・・四边形AOCD为菱形,・・OA=AD=DC=2,・.OA=OD,・・OA=OD=AD=2,•.&OAD是等边三角形,•・ZAOD=60%.・DHJLAB于点F,AB为直径,.・DH=2DF,DF在RtZkOFD中，sin/AOD=00,DF=ODsinZAOD=2sin600=\'^,・•.DH=2DF=2\3.考点：1.切线的性质2.等边三角形的判定与性质3.菱形的判定与性质4.解直角三角形.8.在 ACB和△AEF中，ZACB=ZAEF=90",若点P是BF的中点，连接PC,PE.特殊发现：如图1,若点E、F分别落在边AB,AC上，则结论：PC=PE成立（不要求证明）.问题探究：把图1中的△AEF绕点A顺时针旋转.⑴如图2,若点E落在边CA的延长线上，则上述结论是否成立？若成立，请给予证明：若不成立，请说明理由；（2）如图3,若点F落在边AB上，则上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；Ar⑶记——=k,当k为何值时，4CPE总是等边三角形？（请直接写出后的值，不必说）BC【答案】（1）PC=PE成立（2）,PC=PE成立（3）当k为乎时，KPE总是等边三角形【解析】【分析】（1）过点P作PM_LCE于点M,由EF_LAE,BC_LAC,得至UEFIIMPIICB,从而有EMFP再根据点P是BF的中点，可得EM=MC,据此得到PC=PE.MCPB（2）过点F作FD_LAC于点D,过点P作PM_LAC于点M,连接PD,先证△DAa△EAF,即可得出AD=AE；再证△DA咫△EAP,即可得出PD=PE；最后根据FD±AC,BCJLAC,PMJLAC,可得FDIIBCIIPM,再根据点P是BF的中点,推得PC=PD,再根据PD=PE,即可得到结论.（3）因为△CPE总是等边三角形，可得NCEP=60。，ZCAB=60°；由NACB=90。，求出Ar ArNCBA=30。；最后根据一=女，—=tan30%求出当△CPE总是等边三角形时，k的值是BC BC多少即可.【详解】解：（1）PC=PE成立，理由如下：如图2,过点P作PM_LCE于点M,,・・EFJ_AE,BC±AC,/.EFIIMPIICB,EMFP二——=——，:点P是BF的中点，「・EM=MC,XVPMXCE,APC=PE；MCPB

POPE成立，理由如下:如图3,POPE成立，理由如下:如图3,过点F作FD_LAC于点D,过点P作PM_LAC于点M,连接PD,丁ZFDA=ZFEA=90%在^DAF和^EAF中,,/ZDAF=ZEAF,ZFDA=ZFEA,AF=AF,••△DAa△EAF(AAS),•・AD=AE,在^DAP和^EAP中，「AD=AE,ZDAP=ZEAP,AP=AP,•.△DAP之△EAP(SAS),/.PD=PE,/FD±AC,BC±AC,PM±AC,••FDIIBCIIPM,.DM_FP.・・点P是BF的中点，「•DM=MC,又/PM^AC,•.PC=PD,又＜PD=PE,/.PC=PE；ZDAF=ZEAF,(3)如图4,・・・△CPE总是等边三角形,・•・ZCEP=60°,・・・ZCAB=60°,,/ZACB=90\・・・ZCBA=90°-ZACB=90°-60°=30%BCAC =tan30°,BCBCk=tan300=©3.•.当k为且时，ACPE总是等边三角形.3图4【点睛】考点：1.几何变换综合题：2.探究型；3.压轴题；4.三角形综合题；5.全等三角形的判定与性质：6.平行线分线段成比例.9.已知：Z\ABC内接于OO,D是弧BC上一点，ODLBC,垂足为H.（1）如图1,当圆心。在AB边上时,求证：AC=20H；（2）如图2,当圆心。在△ABC外部时，连接AD、CD,AD与BC交于点P,求证:ZACD=ZAPB：（3）在（2）的条件下，如图3,连接BD,E为。。上一点，连接DE交BC于点Q、交AB于点N,连接OE,BF为。0的弦，BFLOE于点R交DE于点G,若NACD-ZABD=2ZBDN,AC=5后，BN=3、&tanZABC=-,求BF的长.【答案】（1）证明见解析：（2）证明见解析；（3）24.【解析】试题分析：（1）易证0H为△ABC的中位线，可得AO20H；（2）NAPB=NPAC+NACP,ZACD=ZACB+ZBCD,又「ZPAC=ZBCD,可证/ACD=ZAPB；（3）连接AO延长交于。0于点I，连接IC,AB与0D相交于点M,连接0B,易证NGBN=NABC,所以BG=BQ.在RSBNQ中，根据tan/ABC=；，可求得NQ、BQ的长.利用圆周角定理可求得IC和Al的长度，设QH=x,利用勾股定理可求出QH和HD的长度，利用垂径定理可求得ED的长

度，最后利用tan/OED=(即可求得RG的长度，最后由垂径定理可求得BF的长度.试题解析：(1)在OO中,VOD±BC,/.BH=HC,二.点0是AB的中点，AC=20H；(2)在。0中，,/ODLBC,・•・弧BD=5lHCD,ZPAC=ZBCD,丁ZAPB=ZPAC+ZACP,ZACD=ZACB+ZBCD,/.ZACD=ZAPB；(3)连接AO延长交于OO于点I,连接IC,AB与OD相交于点M,连接OB,•/ZACD-ZABD=2ZBDN,/.ZACD-ZBDN=ZABD+ZBDN,丁ZABD+ZBDN=ZAND,NO1・•・NACD-NBDN=NO1,•/ZBNQ=ZQHD=90°,•"tanNABC=—, =一,•/ZBNQ=ZQHD=90°,・・・BQ/ABC=2B.V2・・・BQ/ABC=ZABC=ZQDH,.「OE=OD,・•.NOED=NQDH,ZERG=90°,/.Z・•.NOED=NQDH,ZERG=90°,/.Z15BG=BQ=—,GN=NQ=2-i^,

2 7OED=ZGBN,/.ZGBN=ZABC,TABLED,VZACI=90%tanzAIC=tanZABC=^,CI彳，・・.ic=10在，，由勾股定理可求得:Al=25,设QH=x,tanZABC=tanZODE=—,OH1 25q^^=一，「.HD=2x,/.OH=OD-HD=——VZACI=90%tanzAIC=tanZABC=^,CI彳，・・.ic=10在，，由勾股定理可求得:Al=25,设QH=x,tanZABC=tanZODE=—,OH1 25q^^=一，「.HD=2x,/.OH=OD-HD=——-2x,HD2 215BH=BQ+QH=一+工，•/OB2=BH2+OH2,.•・115—十x7+!三-2x9T5 9,解得：X= 当QH=：■■ ■_ _ 9 <「.ND=6j5,...MN=3、杓，MD=15”A0 .・.QH=3不符合题意，舍去，当QH=：■■ ■・•.ND=NQ+QD=45ED=10后,11J?/.GD=GN+ND=—JEG=ED-GD=—,1 .KG1•tanNOED=—,.- 二一,2ER2/.EG=^/5RG,RG=2,/.BR=RG+BG=12,/.BF=2BR=24.R考点：1圆；R考点：1圆；2相似三角形;3三角函数；4直角三角形.10.（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分5分，第（3）小题满分5分）已知：如图，A8是半圆。的直径，弦CD/1AB,动点、P、。分别在线段OC、CD上，且。。=。0，AP的延长线与射线。。相交于点E、与弦C£）相交于点尸（点尸与（1）求证：=OQ；（2）求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域；（3）当△。夕石是直角三角形时，求线段op的长.【答案】（1）证明见解析：（2）y=3.6（h+300（竺 （3）8=8x13【解析】【分析】（1）证明线段相等的方法之一是证明三角形全等，通过分析已知条件，op=dq,联结后还有04=。。，再结合要证明的结论AP=OQ,则可肯定需证明三角形全等，寻找已知对应边的夹角，即ZPOA=ZQDO即可；（2）根据APFC〜APAO,将面枳转化为相似三角形对应边之比的平方来求；（3）分4成三种情况讨论，充分利用已知条件cosNAOC=1、以及（1）（2）中己证的结论，注意要对不符合（2）中定义域的答案舍去.【详解】（1）联结OD,•「OC=OD,.../OCD=/ODC,

VCD//AB，ZOCD=ZCOA，ZPOA=ZQDO.在MOP和A。。。中,OP=DQ{ZPOA=ZQDOtOA=DOAAOP经bODQ,•.AP=OQ.（2）作尸〃J_OA,交。4于“，4cos^AOC=~94 4 3.OH=—OP=—x,PH=—x,5 5 5..S1aop=-AOPH=3x..•CD!/AB,.\PFC-APAO,y—CP2io—%.sJ（op）一（x"3x23x2-60x+300・y= 当尸与点。重合时,4.CD=2OCcosZOCD=2x10x-=169一310-x去解得3x2-60X+300・y= （3）①当NOPE=90时，ZOPA=90,4OP=OAcqsZAOC=10x—=8；5OC_ 10 」。_25②当NPO石二90,时，Q-cosNQCO-cosZAOC-3一E，

525=162 2=162 2——<OP<10,13

70P=—（舍去）；2③当NPEO=90时，C0//AB,ZAOQ=ZDQO,MOP登'ODQ,ZDQO=ZAPO,ZAOQ=ZAPO,・•.ZAEO=ZAOP=90°^此时弦8不存在，故这种情况不符合题意，舍去；综上，线段OP的长为8.11.如图，在△ABC中，NA=90。,ZABC=3O°,AC=3,动点D从点A出发，在AB边上以每秒1个单位的速度向点B运动，连结CD,作点A关于直线CD的对称点E,设点D运动时间为t（s）.（1）若△BDE是以BE为底的等腰三角形，求t的值；（2）若ABDE为直角三角形，求t的值；9（3）当SabceV,时，所有满足条件的t的取值范闱（所有数据请保留准确值，参考数据：tanl50=2-JT）.【答案】（1）乎；（2）逐秒或3秒；（3）6-3逃生3【解析】【分析】（1）如图1，先由勾股定理求得AB的长，根据点A、E关于直线CD的对称，得CD垂直平分AE,根据线段垂直平分线的性质得：AD=DE,所以AD=DE=BD,由AB=3jJ,可得t的值；（2）分两种情况：①当NDEB=90。时，如图2,连接AE,根据AB=3t=3 ,可得t的值；②当NEDB=90。时，如图3,根据AAG谑&EGD,得AC=DE,由ACIIED,得四边形CAED是平行四边形，所以AD=CE=3,即t=3；（3）△BCE中，由对称得：AC=CE=3,所以点D在运动过程中，CE的长不变，所以△BCE面积的变化取决于以CE作底边时，对应高的大小变化，①当△BCE在BC的下方时，②当△BCE在BC的上方时，分别计算当高为3时对应的t的值即可得结论.【详解】解：(1)如图1,连接AE,由题意得：AD=t,•••ZCAB=90°,ZCBA=30°,「•BC=2AC=6,AB=46?-3。=3y/3>•・・点A、E关于直线CD的对称，•••CD垂直平分AE,/.AD=DE,・•・△BDE是以BE为底的等腰三角形，DE=BD,/.AD=BD,t=AD=^2^；2(2)△BDE为直角三角形时，分两种情况：①当NDEB=90。时,如图2,连接AE,,/CD垂直平分AE,AD=DE=t,,/ZB=30°,•.BD=2DE=2t,AB=3t=3y/3,'''：②当NEDB=90。时,如图3,连接CE,VCD垂直平分AE,「•CE=CA=3,/ZCAD=ZEDB=90%/.ACIIED,ZCAG=ZGED,TAG=EG,NCGANEGD,•・△AGC^△EGD,「•AC=DE,/ACIIED,四边形CAED是平行四边形，.•.AD=CE=3,即t=3；综上所述，△BDE为直角三角形时，t的值为秒或3秒；(3)ZkBCE中，由对称得：AC=CE=3,所以点D在运动过程中，CE的长不变，所以△BCE

面积的变化取决于以CE作底边时，对应高的大小变化，①当△BCE在BC的下方时，过B作BH_LCE,交CE的延长线于H,如图4,当AC=BH=3时，一1 1 9此时Sabce=-AE>BH=-x3x3=-,2 2 2易得△ACG空△HBG,CG=BG,ZABC=ZBCG=30°,ZACE=60°-30°=30°,•/AC=CE,AD=DE,DC=DC,・•・△ACD空△ECO,ZACD=ZDCE=15°,tanZACD=tanl50=—=2- ,3yt=6-3",由图形可知：0VtV6-3时，△BCE的BH越来越小，则面积越来越小，②当△BCE在BC的上方时，如图3,CE=ED=3,且CELLED,1 1 9此时SABce=-CE>DE=-x3x3=-,此时t=3,2 2 2综上所述，当Sabce4|■时，t的取值范围是6-3的近端.ACA【点睛】本题考杳三角形综合题、平行四边形的判定和性质、直角三角形的性质、三角形的面积问题、轴对■称等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会用分类讨论的思想思考问题，学会寻找特殊点解决问题，属于中考压轴题.

12.如图，48是OO的直径，E是。0上一点，C在八8的延长线上，AOLCE交CE的延长线于点D，且4E平分NDAC.(1)求证：CD是。0的切线；(2)若AB=6,N48E=60。，求入。的长.【答案】(1)详见解析；(2)-2【解析】【分析】(1)利用角平分线的性质得到noae=ndae,再利用半径相等得naeo=noae,等量代换即可推出OEIIAD,即可解题，(2)根据30。的三角函数值分别在RSABE中,AE=AB-cos30°,在Rt^ADE中,AD=cos300xAE即可解题.【详解】证明：如图，连接OE,AE平分/DAC,•・ZOAE=ZDAE./OA=OE,•・ZAEO=ZOAE.•・ZAEO=ZDAE.「•OEIIAD./DCJ_AC,OE±DC.CD是。。的切线.・•・ZEAB・•・ZEAB=30%在RtAABE中，AE=ABcos300=6x2^=2在R3ADE中，ZDAE=ZBAE=30°,AD=cos30°xAE=叵栏2 2【点睛】本题考查了特殊的三角函数值的应用，切线的证明，中等难度，利用特殊的三角函数表示出所求线段是解题关键.13.如图，己知二次函数y= +C的图象经过点八（-3,6）,并与x轴交于点8（-1,0）和点C,顶点为点P.（1）求这个二次函数解析式；（2）设。为x轴上一点，满足NDPC=N8AC,求点。的坐标；（3）作直线4P,在抛物线的对称轴上是否存在一点M,在直线4P上是否存在点N,使AM+MN的值最小？若存在，求出M、N的坐标：若不存在，请说明理由.点C点C坐标为(3,0),点P(1,-2)；(2)点P(7,0)；(3)点N(-B坐标代入二次函数表达式，即可求解;【答案】（1）TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"7 14.5 5【解析】【分析】（1）将点A、\o"CurrentDocument"[ 1 HH 2^/2 1(2)利用Saabc=—xACxBH=—xBCxyA,求出sina= =一===—=,则tana二—,在\o"CurrentDocument"2 2 AB 2M 小 2△PMD中，tana= = 7==—,即可求解；PMX+2V22（3）作点A关于对称轴的对称点A，（5,6）,过点/V作A，N_LAP分别交对称轴与点M、交AP于点N,此时AM+MN最小，即可求解.【详解】96=——3/?+3 [b=—12（1）将点48坐标代入二次函数表达式得： ' ，解得：｛一3，0= b+c C~22 i,

1 3故：抛物线的表达式为：y=-x2-x--,2 23令y=0,则x=-l或3,令x=0,则y=--,故点C坐标为（3,0）,点P（1,-2）;（2）过点、B作BHLAC交于点H,过点P作PGJLx轴交于点G,由题意得：48=2JI6,AC=6由题意得：48=2JI6,AC=6五,8c=4,S.ABcr2-xACxBH=-xBCx外,2 2解得：BH=26,BH2a1MI)1sina= =——===,贝I」tana=—,AB2M车2由题意得:GC=2=PG,故NPCB=45°,延长PC，过点。作DM_LPC交于点M,贝ljMD=MC=x,八， MDx1PMD中，tana= = 7==—,PMX+2V22解得：x=20,则8=及\=4,故点P（7,0）:（3）作点八关于对称轴的对称点A（5,

过点A作AlN±AP分别交对称轴与点M、6）,交4P于点N,此时AM+MN最小,Q 1直线AP表达式中的k值为：一二-2,则直线AN表达式中的k值为一，-4 2设直线AN的表达式为：*;x+b,7将点A坐标代入上式并求解得：b=-,2故直线AN的表达式为：y=gx+g...①，当x=l时,y=4,故点M（1,4）,同理直线AP的表达式为：片-2x…②，联立①②两个方程并求解得：x=-3,故点N（--,—）.【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、解直角三角形等知识，其中（3）,利用对称点求解最小值，是此类题目的一般方法.14.如图，正方形04BC的顶点。与原点重合，点4C分别在x轴与y轴的正半轴上，点A的坐标为（4,0）,点。在边48上，且tan/40。=7，点E是射线OB上一动点，EF_Lx轴于点F,交射线0D于点G,过点G作GHIIx轴交4E于点儿（1）求B,D两点的坐标；（2）当点E在线段0B上运动时，求NHDA的大小；（3）以点G为圆心，GH的长为半径画OG.是否存在点E使OG与正方形048c的对角线所在的直线相切？若不存在，请说明理由；若存在，请求出所有符合条件的点E的坐标.【答案】(1)【答案】(1)B(4,4),D(4,2)：（2）45。：（3）存在，符合条件的点为（8-4VI，8-4&）或4VI，8-4&）或（8+4戊，8+4a）或(472+164应+16]——-——，——-——或f16-47216-4应) 「一一行一，理由见解析\/【解析】【分析】(1)由正方形性质知AB=0A=4,ZOAB=90°,据此得B(4,4),再由tan/AOD=L得2AD=-0A=2,据此可得点D坐标：2Gf[ [(2)由tanNGO/u——=2知GF=±OF,再由NAOB=NABO=45。知OF=EF,即OF2 2GF==EF,根据GHIIx轴知H为AE的中点，结合D为AB的中点知DH是△ABE的中位线，即HDIIBE,据此可得答案；(3)分OG与对角线OB和对角线AC相切两种情况，设PG=x,结合题意建立关于x的方程求解可得.【详解】解：(1).・•A(4,0),04=4,••・四边形048c为正方形，・・.AB=0A=4,Z0/48=90°,B(4,4),在R3O4D中，N040=90。，tanNAOD=一,1/.AD=—0W=—x4=2,2D(4,2)；V四边形0ABe为正方形,,・N40B=N480=45。,・.0F=EF,1・GF=—EF,2.・G为EF的中点，•GHWx轴交AE于H,..H为八£的中点，・b(44),D(4,2),为八B的中点，DH是△ABE的中位线，,・HDIIBE,,・ZHDA=AABO=45\(3)①若。G与对角线08相切,过点G作GP_L08于点P,设PG=x，可得PE=x,EG=FG=&x,0F=EF=20x.•/04=4,AF=4-2应x,・•.G为EF的中点，H为AE的中点，GH为AAFE的中位线，1 1 l L/.gh=-AF=-x(4-272x)=2-应x,2 2则x=2-&x,解得：x=2拉-2,E(8-4/，8-472)，如图3,当点E在线段08的延长线上时，x=&x-2,解得:x=2+y/2，・•・E(8+48+472):②若OG与对角线4c相切，如图4,当点E在线段8M上时，对角线AC,08相交于点M,过点G作GPL08于点P,设PG=x，可得PE=x,EG=FG=y/ix,0F=EF=2企x,•/QA=4,/.AF=4-2拒x,•.G为EF的中点，H为AE的中点，GH为AAFE的中位线，GH=-AF=-x(4-272x)=2-忘x,TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"2 2过点G作GQ_L4C于点Q,则GQ=PM=3x-2&,•・3x-2忘=2-