全国高考数学第二轮复习第3讲解答题题型特点与技法指导文

高考解答题一般有六大方向：三角函数与平面向量、概率与统计、立体几何、数列与不等式、分析几何、不等式与函数及导数．一般来说，前三题属于中、低档题，第四题属中档偏难题，后两题属难题．三角函数与平面向量、概率与统计、立体几安在前三题中出现的概率较高，掌握解这几类题的解法是大部分学生成功的要点．当前的高考解答题已经由纯真的知识综合型转变为知识、方法和能力的综合型解答题．可否做好解答题，是高考成败的要点．1．三角函数有关三角函数的大题即解答题，主假如考察基础知识、基本技术和基本方法，且难度不大．突显恒等变换与三角函数图象、性质在三角形内考察．主要考察以下4个方面：①三角函数的图象、性质、图象变换，主假如y＝Asin(ωx＋φ)＋b的图象、性质及图象变换，考察三角函数的观点、奇偶性、周期性、单一性、最值及图象的平移和对称等；②三角恒等变换，主要考察公式的灵巧运用、变换能力，一般需要运用和差角公式、倍角公式，特别是对公式的应用与三角函数性质的综合考察；③三角函数性质的应用，经过解三角形来考察三角恒等变形及应用三角函数性质的综合能力；④三角函数与平面向量、数列、不等式等知识的综合问题．已知向量a＝(cos－sin，sin)，＝(－cos－sinωx,23cosωxωxωxbωx设函数f(x)＝a·b＋λ(x∈R)的图象对于直线x＝π对称，此中ω，λ为常数，且ω∈求函数f(x)的最小正周期；(2)若y＝f(x)的图象经过点π，0，求函数f(x)在区间0，3π上的取值范围．45评论利用向量的工具作用，与向量联合在一同命制综合题，表现了在知识交汇点处命题的指导思想．这种问题求解时，第一利用向量的运算，将向量式转变为代数式，再进行有关的三角恒等变换，再研究三角函数的图象与性质．

ωx)，12，1.变式训练1(2012·安徽高考，理16)设函数f(x)＝2cos2x＋π＋sin2x.42(1)求f(x)的最小正周期；(2)设函数g(x)对随意x∈，有gx＋π＝g(x)，且当x∈0，π时，＝1－f(x)．求R22g(x)2g(x)在区间[－π，0]上的分析式．2．立体几何立体几何是高中数学的骨干知识之一，命题形式比较稳固，主要考察：(1)三视图：解答题中一般是依据三视图复原几何体模型，而后睁开推理；空间线面关系的判断和推理证明：主假如证明平行和垂直，求解这种问题要依照线面关系的判断定理和性质定理进行推理论证；空间几何量(空间角、空间距离、几何体体积与面积)的计算：求解这种问题，常用方法是依照公义、定理以及性质等经过推理论证，作出所求几何量并求之．一般解题步骤是“作、证、求”．(2012·安徽八校一联考，18)如图，在多面体ABDEC中，AE⊥平面ABC，BD∥AE，且ACAB＝BC＝AE＝1，BD＝2，F为CD的中点．求证：EF∥平面ABC；求证：EF⊥平面BCD；求多面体ABDEC的体积．评论此题第(1)问是证明线面平行问题，证明直线与平面平行，常常经过证直线与直线平行来实现．第(2)问是证线面垂直问题，常常转变为证线线垂直来实现．第(1)(2)问充分体现了问题的转变思想．第(3)问是几何体的体积计算问题，需要掌握锥体的体积计算公式．变式训练2(2012·广东高考，文18)以下图，在四棱锥P－ABCD中，AB⊥平面PAD，∥，＝，是的中点，F是上的点且＝1，为△中边上的高．ABCDPDADEPBDCDF2ABPHPADAD证明：PH⊥平面ABCD；若PH＝1，AD＝2，FC＝1，求三棱锥E－BCF的体积；证明：EF⊥平面PAB．3．概率与统计概率解答题为每年高考的必考内容，主要考察互斥事件和对峙事件的关系、古典概型和几何概型．要修业生能正确理解题意，快速确立是古典概型仍是几何概型，而后用概率公式求解．对于古典概型，要正确列出全部基本领件的个数和所求事件包括的基本领件个数．对于几何概型，必定要明确其与面积(体积、长度等)的关系．对于较复杂的问题，能够借助于图形和表格帮助剖析．(2012·河南洛阳统测，文18)为了普及环保知识，加强环保意识，某大学从理工类专业的A班和文史类专业的B班各抽取20名同学参加环保知识测试．两个班同学的成绩(百分制)的茎叶图以下图：依照大于或等于80分为优异，80分以下为非优异统计成绩．(1)依据以上数据达成下边的2×2列联表：成绩与专业列联表优异非优异总计A班20B班20总计40可否有95%的掌握以为环保知识测试成绩与专业有关？2n(ad－bc)2附：K＝(a＋)(c＋)(＋)(b＋)bdacdP(K2≥k0)0.0500.0100.001k03.8416.63510.828评论此题主要考察统计中的茎叶图独立性查验，考察剖析解决问题的能力、运算求解能力，难度适中．正确读取茎叶图中的数据是解题的要点．变式训练3(2012·陕西高考，文19)假定甲乙两种品牌的同类产品在某地域市场上销售量相等，为认识它们的使用寿命，现从这两种品牌的产品中分别随机抽取100个进行测试，结果统计以下：甲品牌乙品牌(1)预计甲品牌产品寿命小于200小时的概率；(2)这两种品牌产品中，某个产品已使用了200小时，试预计该产品是甲品牌的概率．4．数列与不等式高考取数列解答题的求解主要有以下几个特色：(1)与等差、等比数列基本量有关的计算，可依据题意列方程(方程组)或利用等差、等比数列的性质求解；(2)与乞降有关的题目，第一要求通项公式，并依据通项公式选择适合的乞降方法(如错位相减法、裂项相消法、分组乞降法等)；S1，n＝1，(3)含Sn的式子，要依据题目特色利用an＝进行转变；Sn－Sn－1，n≥2与递推数列有关的问题，要能合理转变，使之结构出新的等差、等比数列；与数列有关的不等式问题，可依据数列的特色选择方法(如比较法、放缩法等)；与函数有关的问题，应依据函数的性质求解．(2012·四川成都二诊，20)已知数列{an}和{bn}，b1＝1，且bn＋1－3bn＝2n－2，记an＝bn*＋1－bn＋1，n∈N.证明：数列{an}为等比数列；求数列{an}和{bn}的通项公式；(3)记cn＝logan3logan＋23，数列{cn}的前n项和为Tn，若45Tk＜29，k∈N*恒建立，求k的最大值．评论第(1)问考察了等比数列的证明，它是为第(2)、(3)问服务的．第(2)问考察了求数列通项公式的惯例方法．第(3)问考察了数列的乞降方法，是数列与不等式知识的综合问题．变式训练4(2012·湖北八校二联，19)各项为正数的数列{an}的前n项和为Sn，且知足：1211*Sn＝4an＋2an＋4(n∈N)．(1)求an；an，n为奇数，(2)设函数f(n)＝ncn＝f(2n＋4)(n∈N*)，求数列{cn}的前n项和Tn.2，n为偶数，5．分析几何分析几何解答题主要考察圆锥曲线的基本观点、标准方程及几何性质等基础知识和办理有关问题的基本技术、基本方法，常常以中档偏难题或以压轴题形式出现，主要考察学生的逻辑推理能力、运算能力，考察学生综合运用数学知识解决问题的能力、打破解答题，应要点研究直线与曲线的地点关系，要充分运用一元二次方程根的鉴别式和韦达定理，注意运用“设而不求”的思想方法，灵巧运用“点差法”解题，要擅长运用数形联合思想剖析问题，使数与形互相转变，依据详细特色选择相应方法．x2y2已知椭圆4＋3＝1，点P是椭圆上异于极点的随意一点，过点P作椭圆的切线l，交y轴于点A，直线l′过点P且垂直于l，交y轴于点B．试判断以AB为直径的圆可否经过定点，若能，求出定点坐标；若不可以，请说明原因．评论直线与圆锥曲线的地点关系向来是命题的热门，基本方法是联立方程，利用鉴别式、根与系数关系求解，运算量一般较大，这种综合题中常波及的问题有弦长问题、面积问题、对称问题、定点定值问题等，是历年高考的热门问题，复习时要着重通性通法的训练．x2y23变式训练5(2012·山东高考，文21)如图，椭圆M：a2＋b2＝1(a＞b＞0)的离心率为2，直线x＝±a和y＝±b所围成的矩形ABCD的面积为8.求椭圆M的标准方程；(2)设直线l：y＝x＋m(m∈R)与椭圆M有两个不一样的交点P，Q，l与矩形ABCD有两个不||同的交点S，T.求|m的值．ST|的最大值及获得最大值时6．函数与导数以函数为载体，以导数为工具，以考察函数性质及导数的应用为目标，以导数为工具环绕函数、不等式、方程等综合考察．在知识的交汇处命题，波及到详细内容许多，如给定分析式求参数值，给定条件求参数范围，以及对参数议论与证明不等式问题，极值、最值、值域及剖析图象交点等问题，都以导数为工具．既考察函数部分的有关知识，又浸透函数与方程、数形联合、化归与转变、分类与整合等数学思想．(2012·山东青岛一模，

21)已知函数

1f(x)＝3x3－x.(1)若不等式

f(x)＜k－2005

对于

x∈[－2,3]

恒建立，求最小的正整数

k；(2)令函数g(x)＝f(x)－21ax2＋x(a≥2)，求曲线y＝g(x)在(1，g(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形面积的最小值．评论第(1)问是恒建立求参数范围问题，常用分别参数求最值．第(2)问考察了利用导数的几何意义求切线方程，利用导数求最值问题．变式训练6(2012·广西南宁一模，21)已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d是定义在R上的奇函数，其图象过点1，－1和(2,2)．2求出函数f(x)的分析式，并求f(x)的单一区间；设g(x)＝f(x)－5t，当实数t取何值时，对于x的方程g(x)＝0有且只有一个实数根？参照答案方法规析【例1】解：(1)因为f(x)＝sin2ωx－cos2ωx＋23sinωx·cosωx＋λ＝－cos2ωx＋3sin2ωx＋λ＝2sin2π＋λ.－ωx6由直线x＝π是y＝f(x)图象的一条对称轴，π可得sin2ωπ－6＝±1，ππ所以2ωπ－6＝kπ＋2(k∈Z)，1即ω＝2＋3(k∈Z)．1，k∈Z，，1又ω∈25所以k＝1，故ω＝6.所以f(x)的最小正周期是6π5.(2)由y＝f(x)的图象过点π，0，得fπ44＝0，5πππ即λ＝－2sin2×6×4－6＝－2sin4＝－2，即λ＝－2.π故f(x)＝2sin3x－6－2.由0≤x≤3π，有－π≤5－π≤5π，563x6615π所以－2≤sin3x－6≤1，5π得－1－2≤2sin3x－6－2≤2－2，故函数f(x)在0，3π上的取值范围为[－1－2，2－2]．52π2【变式训练1】解：(1)f(x)＝2cos2x＋4＋sinx2ππ1－cos2x＝2cos2xcos4－sin2xsin4＋212－2sin2x，故f(x)的最小正周期为π.(2)当x∈π时，g(x)＝112x.故0，2－f(x)＝sin22πππ①当x∈－，0时，x＋∈0，.222因为对随意x∈R，gx＋π＝()，进而(x)＝gx＋π＝1sin2x＋π＝1sin(π＋2gxg222212x)＝－2sin2x.②当x∈－π，－π时，x＋π∈π20，2.进而()＝(x＋π)＝1x＋π)]＝1x.sin[2(sin2gxg22综合①②得g(x)在[－π，0]上的分析式为1sin2x，x∈－π，－π，22g(x)＝1π，0.－sin2x，x∈－22【例2】(1)证明：取BC的中点G，连结AG，FG.∵F，G分别为DC，BC的中点，1∴FG綉2DB綉EA.∴四边形EFGA为平行四边形．∴EF∥AG.又因为EF平面ABC，AG?平面ABC，∴EF∥平面ABC.证明：因为AE⊥面ABC，BD∥AE，∴DB⊥平面ABC.又∵DB?平面BCD，∴平面ABC⊥平面BCD.又∵G为BC的中点且AC＝AB＝BC，∴AG⊥BC.∴AG⊥平面BCD.又∵EF∥AG，∴EF⊥平面BCD.3(3)解：过C作CH⊥AB，则CH⊥平面ABDE且CH＝2，11(1＋2)×133∴VC－ABDE＝3S四边形ABDE·CH＝3×2×2＝4.【变式训练2】(1)证明：AB⊥平面PAD，PH?面PAD?PH⊥AB，又PH⊥AD，AD，AB?平面ABCD，AD∩AB＝A?PH⊥平面ABCD.解：E是PB中点?点E到面BCF的距离h＝1PH＝1，22∴三棱锥－的体积＝111·112△BC·＝···＝×1×2×＝.EBCFV3SFh32FCADh6212证明：取PA的中点为G，连结DG，EG.PD=AD?DG⊥PA，又AB⊥平面PAD，AB?平面PAB?平面PAD⊥平面PAB，又平面PAD∩平面PAB=PA，DG?平面PAD?DG⊥面PAB，点E，G是棱PB，PA的中点?EG綉1AB，2又DF綉1AB?EG綉DF?DG∥EF，得EF⊥平面PAB.2【例3】解：(1)成绩与专业列联表优异非优异总计A班14620B班71320总计211940依据列联表中的数据，获得40×(14×13－6×7)2k＝21×19×20×20≈4.912＞3.841.所以有95%的掌握以为环保知识测试成绩与专业有关．【变式训练3】解：(1)甲品牌产品寿命小于200小时的频次为5＋20＝1，用频次预计概10041率，所以，甲品牌产品寿命小于200小时的概率为4.(2)依据抽样结果，寿命大于200小时的产品有75＋70＝145(个)，此中甲品牌产品是7575个，所以在样本中，寿命大于200小时的产品是甲品牌的频次是145＝1520015，用频次预计概率，所以已使用了小时的该产品是甲品牌的概率为.2929【例4】(1)证明：∵b＋1－3b＝2n－2，nnnn－1*∴b－3b＝2(n－1)－2，n≥2，n∈N.两式相减，得bn＋1－n－3n＋3n－1＝2(≥2，∈N*)．bbbnn整理，得bn＋1nnn－1＋1)(*－b＋1＝3(b－bn≥2，n∈N)，*即an＝3an－1(n≥2，n∈N)．解：∵b2＝3，*a1＝3－1＋1＝3.∴an＝3(n∈N)．∵an＝bn＋1－bn＋1＝3n，nnn－1nn＋1＝3n－21∴b－b－1＋1＝3，b－1－b－2，，b2－b1＋1＝3.n累加，得bn－1＋－1＝1－3－1.bn1－33n∴b1*n1111解：cn＝log3n3log3n+23＝n(n＋2)＝2n－n＋2.n11＋1－1－1311＋1∴T＝22＋1n＋2＝－＋1n＋2.n42nk得135－901＋1由45T＜29k＋1k＋2＜116.111911k＋1＋k＋2＞90＝9＋10.k＜8.又k∈N*，∴k的最大值为7，1211【变式训练4】解：(1)由Sn＝4an＋2an＋4，①得：当≥2时，n－1＝1211②4an－1＋n－1＋.nS2a4①－②，化简得：(an＋an－1)(an－an－1－2)＝0.又∵数列{a}的各项为正数，n∴当n≥2时，a－a＝2.nn－1故数列{an}为等差数列，且公差为2.又a1＝1＝112＋11＋1，解得1＝1，S4a2a4a∴an＝2n－1.an，n为奇数，(2)由分段函数f(n)＝n2，n为偶数，能够获得：c1＝f(6)＝f(3)＝a3＝5，c2＝f(8)＝f(4)＝f(2)＝f(1)＝a1＝1；当n≥3，n∈N*时，cn＝f(2n＋4)＝f(2n－1＋2)＝f(2n－2＋1)＝2(2n－2＋1)－1＝2n－1＋1，n－2故当n≥3时，Tn＝5＋1＋(22＋1)＋(23＋1)＋＋(2n－1＋1)＝6＋4(1－2)＋(n－2)＝2n1－2n.nn＝1时，T1＝5不知足Tn＝2＋n；n＝2时，T2＝c1＋c2＝6知足Tn＝2n＋n.5，n＝1，故Tn＝2n＋n，n≥2.x2【例5】解：设点P(x0，y0)(x0≠0，y0≠0)，直线l的方程为y－y0＝k(x－x0)，代入4＋y2＝1，整理得(3＋4k2)x2＋8k(y0－kx0)x＋4(y0－kx0)2－12＝0.∵x＝x0是方程的两个相等实根，8k(y0－kx0)∴2x0＝－3＋4k2，解得k＝－3x.04y03x42＋32000∴直线l00．令x＝0，得点A的坐标为0，yx.4y4y00又∵x02y0222＝12，41，∴4y0＋3x033∴点A的坐标为0，y0.又直线l′的方程为y－y0＝4y0(x－x0)，令x＝0，得点B的坐标为0，－y0，3x03ABxxy－3y＋y00∴以＋·为直径的圆方程为·3＝，y0整理得x2＋y2＋y03y－1＝0.由x2＋y2－1＝0，x＝±1，－yy＝0，得30y＝0.∴以为直径的圆恒过定点(－1,0)和(1,0)．AB【变式训练5】解：(1)设椭圆M的半焦距为c，a2＝b2＋c2，3由题意知a＝2，4ab＝8，所以a＝2，b＝1.2x所以椭圆M的方程为＋y＝1.42x＋y2＝1，22(2)由4整理得5x＋8mx＋4m－4＝0，y＝x＋m由222＝64m－80(m－1)＝80－16m＞0，得－5＜＜5.m设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，8m2则x1＋4(m－1).2＝－，12＝x5xx5所以|2)2＋(2)2＝2[(2)2－412]|＝(x1－1－x1＋PQxyyxxx42＝52(5－m)(－5＜m＜5)．线段CD的方程为y＝1(－2≤x≤2)，线段AD的方程为x＝－2(－1≤y≤1)．①不如设点S在AD边上，T在CD边上，可知1≤m＜5，S(－2，m－2)，D(－2,1)，所以|ST|＝2|SD|＝2[1－(m－2)]＝2(3－m)，|PQ|425－m所以|ST|＝5(3－m)2.令t＝3－m(1≤m＜5)，则＝3－，∈(3－5，2]，mtt|PQ|45－(3－t)24所以|ST|＝5t2＝54－41325＝5t－4＋4，

6t2＋t－1因为t∈(3－5,2]，所以1∈1,3+5，t24所以当13，即t4时，PQ获得最大值25，此时m5.t43ST53②不如设点S在AB边上，T在边上，此时－1≤≤1，CDm所以||=2||=22，此时PQ2m2，ST5所以当m=0时，PQ获得最大值25.ST5③不如设点S在AB边上，T在BC边上，5＜m≤－1，由椭圆和矩形的对称性知PQ的最大值为25，此时m5.ST53综上所述，m5或m=0时，PQ.获得最大值253ST5【例6】解：(1)∵f(x)＝1x3－x，3令f′(x)＝x2－1＝0，解得x＝±1.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化以下：x－2(－2，－1)－1′()＋0fxf(