2023新课标高考理科数学模拟试题(含答案)

2023年普通高等学校招生全国统一考试理科数学模拟试卷（一）第I卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知命题，sinx≤1，则（）A．，sinx≥1B．，sinx≥1C．，sinx>1不能D．，sinx>12．已知平面向量a=（1，1），b（1，－1），则向量（）A．（－2，－1）B．（－2，1）C．（－1，0）D．（－1，2）A．B．C．D．3．函数在区间A．B．C．D．4．已知{an}是等差数列，a10=10，其前10项和S10=70，则其公差d=（）A．B．C．D．5．如果执行右面的程序框图，那么输出的S=（）A．2450B．2500C．2550D．26526．已知抛物线的焦点为F，点P1（x1，y1），P2（x2，y2），P3（x3，y3）在抛物线上，且2x2=x1+x3，则有（）A．B．C．D．7．已知x>0，y>0，x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列，则的最小值是（）A．0B．1C．2D．48．已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是（）B．C．2000cm3D．4000cm39．若，则的值为（）A．B．C．D．10．曲线在点（4，e2）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（）A．年B．4e2,C．2e2D．e211．甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次，三人的测试成绩如下表甲的成绩环数78910频数5555乙的成绩环数78910频数6446丙的成绩环数78910频数4664s1，s2，s3分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则有（）A．s3>s1>s2B．s2>s1>s3C．s1>s2>s3D．s2>s3>s112．一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱，这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等。设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为，，，则（）A．B．C．D．第II卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。13．已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为。14．设函数为奇函数，则a=。15．i是虚数单位，。（用a+bi的形式表示，）16．某校安排5个班到4个工厂进行社会实践，每个班去一个工厂，每个工厂至少安排一个班，不同的安排方法共有种。（用数字作答）三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17．（本小题满分12分）如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D。现测得，CD=s，并在点C测得塔顶A的仰角为，求塔高AB。18．（本小题满分12分）如图，在三棱锥S—ABC中，侧面SAB与侧面SAC均为等边三角形，，O为BC中点。（Ⅰ）证明：平面ABC；（Ⅱ）求二面角A—SC—B的余弦值。19．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy中，经过点且斜率为k的直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q。（Ⅰ）求k的取值范围；（Ⅱ）设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A、B，是否存在常数k，使得向量与共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由。20．（本小题满分12分）如图，面积为S的正方形ABCD中有一个不规则的图形M，可按下面方法估计M的面积：在正方形ABCD中随机投掷n个点，若n个点中有m个点落入M中，则M的面积的估计值为，假设正方形ABCD的边长为2，M的面积为1，并向正方形ABCD中随机投掷10000个点，以X表示落入M中的点的数目。（Ⅰ）求X的均值EX；（Ⅱ）求用以上方法估计M的面积时，M的面积的估计值与实际值之差在区间（－0.03，，0.03）内的概率。附表：K2424242525742575P（k）0.04030.04230.95700.959021．（本小题满分12分）设函数（Ⅰ）若当x=－1时，f（x）取得极值，求a的值，并讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若f（x）存在极值，求a的取值范围，并证明所有极值之和大于。22．请考生在A、B、中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑。A（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程⊙O1和⊙O2的极坐标方程分别为。（Ⅰ）把⊙O1和⊙O2的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）求经过⊙O1，⊙O2交点的直线的直角坐标方程。B（本小题满分10分）选修4－5；不等式选讲设函数。（Ⅰ）解不等式f（x）>2；（Ⅱ）求函数y=f（x）的最小值。2023年普通高等学校招生全国统一考试理科数学模拟试卷（一）参考答案一、选择题1．C2．D3．A4．D5．C6．C7．D8．B9．C10．D11．B12．B二、填空题13． 14．15．16．240三、解答题17．解：在中，由正弦定理得所以在中，18．证明：（Ⅰ）由题设，连结，为等腰直角三角形，所以，且，又为等腰三角形，故，且，从而所以为直角三角形，又．所以平面（Ⅱ）解法一：取中点，连结，由（Ⅰ）知，得为二面角的平面角．由得平面所以，又，故所以二面角的余弦值为解法二：以为坐标原点，射线分别为轴、轴的正半轴，建立如图的空间直角坐标系．设，则的中点，故等于二面角的平面角．，所以二面角的余弦值为19．解：（Ⅰ）由已知条件，直线的方程为，代入椭圆方程得整理得①直线与椭圆有两个不同的交点和等价于，解得或．即的取值范围为（Ⅱ）设，则，由方程①，②又③而所以与共线等价于，将②③代入上式，解得由（Ⅰ）知或，故没有符合题意的常数20．解：每个点落入中的概率均为依题意知（Ⅰ）（Ⅱ）依题意所求概率为，=0.914721．解：（Ⅰ），依题意有，故从而的定义域为，当时，；当时，；当时，从而，分别在区间单调增加，在区间单调减少（Ⅱ）的定义域为，方程的判别式（ⅰ）若，即，在的定义域内，故的极值（ⅱ）若，则或若，，当时，，当时，，所以无极值若，，，也无极值（ⅲ）若，即或，则有两个不同的实根，当时，，从而有的定义域内没有零点，故无极值当时，，，在的定义域内有两个不同的零点，由根值判别方法知在取得极值．综上，存在极值时，的取值范围为的极值之和为22.A解：解：以极点为原点，极轴为轴正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位。（Ⅰ），，由得所以即为⊙的直角坐标方程。同理为⊙的直角坐标方程。（Ⅱ）由解得即⊙，⊙交于点和过交点的直线的直角坐标方程为B解：（Ⅰ）令，则．．．．．．3分作出函数的图象，它与直线的交点为和所以的解集为（Ⅱ）由函数的图像可知，当时，取得最小值2023年普通高等学校招生全国统一考试理科数学模拟试卷（二）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、已知函数y=2sin(ωx+φ)(ω>0)在区间[0，2π]的图像如下：那么ω=（）A.1 B.2 C.1/2 D.1/32、已知复数，则（）A.2i B.－2i C.2 D.－23、如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为（）A.5/18 B.3/4 C./2 D.7/8是否开始输入a,b,cx=ab>x输出x结束x是否开始输入a,b,cx=ab>x输出x结束x=bx=c否是A.2 B.4 C. D.5、右面的程序框图，如果输入三个实数a、b、c，要求输出这三个数中最大的数，那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选项中的（）A.c>x B.x>c C.c>b D.b>c6、已知，则使得都成立的取值范围是（）A.（0，） B.（0，）C.（0，） D.（0，）7、=（） A. B. C.2 D.8、平面向量，共线的充要条件是（）A.，方向相同 B.，两向量中至少有一个为零向量 C.， D.存在不全为零的实数，，9、甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面。不同的安排方法共有（）A.20种 B.30种 C.40种 D.60种10、由直线，x=2，曲线及x轴所围图形的面积为（）A. B. C. D.11、已知点P在抛物线y2=4x上，那么点P到点Q（2，－1）的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为（）A.（，－1） B.（，1） C.（1，2） D.（1，－2）12、某几何体的一条棱长为，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，则a+b的最大值为（）A. B. C.4 D.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分。13、已知向量，，且，则=____________14、过双曲线的右顶点为A，右焦点为F。过点F平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则△AFB的面积为______________15、一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面。已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为，底面周长为3，那么这个球的体积为_________16、从甲、乙两品种的棉花中各抽测了25根棉花的纤维长度（单位：mm），结果如下：甲品种：271273280285285287292294295301303303307308310314319323325325328331334337352乙品种：284292295304306307312313315315316318318320322322324327329331333336337343356由以上数据设计了如下茎叶图：甲乙31277550284542292587331304679403123556888553320224797413313673432356根据以上茎叶图，对甲乙两品种棉花的纤维长度作比较，写出两个统计结论：①__________________________________________________________________________②__________________________________________________________________________三、解答题：本大题共6小题，满分70分。解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤。17、（本小题满分12分）已知数列是一个等差数列，且，。求的通项；求前n项和的最大值。18、（本小题满分12分）如图，已知点P在正方体ABCD－A1B1C1D1的对角线BD1上，∠PDA=60°。求DP与CC1所成角的大小；求DP与平面AA1D1D所成角的大小。19、（本小题满分12分）A、B两个投资项目的利润率分别为随机变量X1和X2。根据市场分析，X1和X2的分布列分别为X15%10%X22%8%12%P0.80.2P0.20.50.3在A、B两个项目上各投资100万元，Y1和Y2分别表示投资项目A和B所获得的利润，求方差DY1、DY2；将x（0≤x≤100）万元投资A项目，100－x万元投资B项目，f(x)表示投资A项目所得利润的方差与投资B项目所得利润的方差的和。求f(x)的最小值，并指出x为何值时，f(x)取到最小值。 （注：D(aX+b)=a2DX）20、（本小题满分12分）在直角坐标系xOy中，椭圆C1：的左、右焦点分别为F1、F2。F2也是抛物线C2：的焦点，点M为C1与C2在第一象限的交点，且。求C1的方程；平面上的点N满足，直线l∥MN，且与C1交于A、B两点，若·=0，求直线l的方程。21、（本小题满分12分）设函数，曲线在点处的切线方程为。求的解析式；证明：曲线的图像是一个中心对称图形，并求其对称中心；证明：曲线上任一点的切线与直线和直线所围三角形的面积为定值，并求出此定值。请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。做答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。22、（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程已知曲线C1：，曲线C2：。（1）指出C1，C2各是什么曲线，并说明C1与C2公共点的个数；（2）若把C1，C2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线，。写出，的参数方程。与公共点的个数和C1与C2公共点的个数是否相同？说明你的理由。23、（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲已知函数。作出函数的图像；解不等式。2023年普通高等学校招生全国统一考试理科数学模拟试卷（二）参考答案一、选择题1．B 2．B 3．D 4．C 5．A 6．B7．C 8．D 9．A 10．D 11．A 12．C二、填空题13． 14． 15．16．1．乙品种棉花的纤维平均长度大于甲品种棉花的纤维平均长度（或：乙品种棉花的纤维长度普遍大于甲品种棉花的纤维长度）．2．甲品种棉花的纤维长度较乙品种棉花的纤维长度更分散．（或：乙品种棉花的纤维长度较甲品种棉花的纤维长度更集中（稳定）．甲品种棉花的纤维长度的分散程度比乙品种棉花的纤维长度的分散程度更大）．3．甲品种棉花的纤维长度的中位数为307mm，乙品种棉花的纤维长度的中位数为318mm．4．乙品种棉花的纤维长度基本上是对称的，而且大多集中在中间（均值附近）．甲品种棉花的纤维长度除一个特殊值（352）外，也大致对称，其分布较均匀．三、解答题17．解：（Ⅰ）设的公差为，由已知条件，，解出，．所以．（Ⅱ）．所以时，取到最大值．18．解：ABCDPxyzABCDPxyzH则，．连结，．在平面中，延长交于．设，由已知，由可得．解得，所以．（Ⅰ）因为，所以．即与所成的角为．（Ⅱ）平面的一个法向量是．因为，所以．可得与平面所成的角为．19．解：（Ⅰ）由题设可知和的分布列分别为Y1510P0.80.2Y22812P0.20.50.3，，，．（Ⅱ），当时，为最小值．20．解：（Ⅰ）由：知．设，在上，因为，所以，得，．在上，且椭圆的半焦距，于是消去并整理得，解得（不合题意，舍去）．故椭圆的方程为．（Ⅱ）由知四边形是平行四边形，其中心为坐标原点，因为，所以与的斜率相同，故的斜率．设的方程为．由消去并化简得．设，，，．因为，所以．．所以．此时，故所求直线的方程为，或．21．解：（Ⅰ），于是解得或因，故．（Ⅱ）证明：已知函数，都是奇函数．所以函数也是奇函数，其图像是以原点为中心的中心对称图形．而．可知，函数的图像按向量平移，即得到函数的图像，故函数的图像是以点为中心的中心对称图形．（Ⅲ）证明：在曲线上任取一点．由知，过此点的切线方程为．令得，切线与直线交点为．令得，切线与直线交点为．直线与直线的交点为．从而所围三角形的面积为．所以，所围三角形的面积为定值．22．解：（Ⅰ）是圆，是直线．的普通方程为，圆心，半径．的普通方程为．因为圆心到直线的距离为，所以与只有一个公共点．（Ⅱ）压缩后的参数方程分别为：（为参数）；：（t为参数）．化为普通方程为：：，：，联立消元得，其判别式，所以压缩后的直线与椭圆仍然只有一个公共点，和与公共点个数相同．11Oxy211Oxy23424-1-2-28-4图像如下：（Ⅱ）不等式，即，由得．由函数图像可知，原不等式的解集为．2023年普通高等学校招生全国统一考试理科数学模拟试卷（三）第I卷选择题：（本大题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，中有一项是符合题目要求的。1．已知集合,则(A)(B)(C)(D)2．复数（A）0（B）2（C）-2i(D)2对变量x,y有观测数据理力争（，）（i=1,2,…，10），得散点图1；对变量u，v有观测数据（，）（i=1,2,…，10）,得散点图2.由这两个散点图可以判断。（A）变量x与y正相关，u与v正相关（B）变量x与y正相关，u与v负相关（C）变量x与y负相关，u与v正相关（D）变量x与y负相关，u与v负相关4．双曲线-=1的焦点到渐近线的距离为（A）（B）2（C）（D）15．有四个关于三角函数的命题：：xR,+=:x、yR,sin(x-y)=sinx-siny:x,=sinx:sinx=cosyx+y=其中假命题的是（A），（B），（3），（4），6．设x,y满足（A）有最小值2，最大值3（B）有最小值2，无最大值（C）有最大值3，无最小值（D）既无最小值，也无最大值7．等比数列的前n项和为，且4，2，成等差数列。若=1，则=（A）7（B）8（3）15（4）168．如图，正方体的棱线长为1，线段上有两个动点E，F，且，则下列结论中错误的是（A）（B）（C）三棱锥的体积为定值（D）异面直线所成的角为定值已知O，N，P在所在平面内，且，且，则点O，N，P依次是的（A）重心外心垂心（B）重心外心内心（C）外心重心垂心（D）外心重心内心10．如果执行右边的程序框图，输入，那么输出的各个数的合等于（A）3（B）3.5（C）4（D）4.511．一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积（单位：c）为（A）48+12（B）48+24（C）36+12（D）36+24用min{a,b,c}表示a,b,c三个数中的最小值设f（x）=min{,x+2,10-x}(x0),则f（x）的最大值为（A）4（B）5（C）6（D）7第II卷二、填空题；本大题共4小题，每小题5分。13．设已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(1，0)，直线l与抛物线C相交于A，B两点。若AB的中点为（2，2），则直线的方程为_____________.14．已知函数y=sin（x+）（>0,-<）的图像如图所示，则=________________15．7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动。若每天安排3人，则不同的安排方案共有________________种（用数字作答）。16．等差数列{}前n项和为。已知+-=0，=38,则m=_______三、解答题：解答应写出说明文字，证明过程或演算步骤。17．（本小题满分12分）为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内（如示意图），飞机能够测量的数据有俯角和A，B间的距离，请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；②用文字和公式写出计算M，N间的距离的步骤。18．（本小题满分12分）某工厂有工人1000名，其中250名工人参加过短期培训（称为A类工人），另外750名工人参加过长期培训(称为B类工人），现用分层抽样方法（按A类、B类分二层）从该工厂的工人中共抽查100名工人，调查他们的生产能力（此处生产能力指一天加工的零件数）。（I）求甲、乙两工人都被抽到的概率，其中甲为A类工人，乙为B类工人；（II）从A类工人中的抽查结果和从B类工人中的抽插结果分别如下表1和表2.表1：生产能力分组人数4853表2：生产能力分组人数6y3618（i）先确定x，y，再在答题纸上完成下列频率分布直方图。就生产能力而言，A类工人中个体间的差异程度与B类工人中个体间的差异程度哪个更小？（不用计算，可通过观察直方图直接回答结论）（ii）分别估计A类工人和B类工人生产能力的平均数，并估计该工厂工人的生产能力的平均数，同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）19．（本小题满分12分）如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是地面边长的倍，P为侧棱SD上的点。（Ⅰ）求证：AC⊥SD；（Ⅱ）若SD⊥平面PAC，求二面角P-AC-D的大小（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC。若存在，求SE：EC的值；若不存在，试说明理由。20．（本小题满分12分）已知椭圆C的中心为直角坐标系xOy的原点，焦点在s轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若P为椭圆C上的动点，M为过P且垂直于x轴的直线上的点，=λ，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。21．（本小题满分12分）已知函数（I）如，求的单调区间；（II）若在单调增加，在单调减少，证明＜6.22．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程。已知曲线C：（t为参数），C：（为参数）。（1）化C，C的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（2）若C上的点P对应的参数为，Q为C上的动点，求中点到直线（t为参数）距离的最小值。23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲如图，O为数轴的原点，A,B,M为数轴上三点，C为线段OM上的动点，设x表示C与原点的距离，y表示C到A距离4倍与C道B距离的6倍的和.（1）将y表示成x的函数；（2）要使y的值不超过70，x应该在什么范围内取值？2023年普通高等学校招生全国统一考试理科数学模拟试卷（四）第I卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合},,则(A)(0,2)(B)[0,2](C){0,2](D){0,1,2}2．已知复数，是z的共轭复数，则=A.B.C.1D.23．曲线在点（-1，-1）处的切线方程为（A）y=2x+1(B)y=2x-1Cy=-2x-3D.y=-2x-24．如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0（，-），角速度为1，那么点P到x轴距离d关于时间t的函数图像大致为5．已知命题：函数在R为增函数；：函数在R为减函数，则在命题：，：，：和：中，真命题是（A），（B），（C），（D），6．某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为（A）100（B）200（C）300（D）4007．如果执行右面的框图，输入，则输出的数等于（A）（B）（C）（D）8．设偶函数满足，则(A)(B)(C)(D)9．若，是第三象限的角，则(A) (B) (C)2 (D)-210．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为(A) (B) (C) (D)11．已知函数若互不相等，且则的取值范围是(A) (B) (C) (D)12．已知双曲线的中心为原点，是的焦点，过F的直线与相交于A，B两点，且AB的中点为,则的方程式为(A) (B)(C) (D)第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。13．设为区间上的连续函数，且恒有，可以用随机模拟方法近似计算积分，先产生两组（每组N个）区间上的均匀随机数和，由此得到N个点，再数出其中满足的点数，那么由随机模拟方案可得积分的近似值为。14．正视图为一个三角形的几何体可以是______（写出三种）15．过点A(4,1)的圆C与直线x-y=0相切于点B（2,1），则圆C的方程为____16．在△ABC中，D为边BC上一点，BD=DC，ADB=120°，AD=2，若△ADC的面积为，则BAC=_______三，解答题：解答应写出文字说明，正明过程和演算步骤17．（本小题满分12分）设数列满足求数列的通项公式；令，求数列的前n项和18．（本小题满分12分）如图，已知四棱锥P-ABCD的底面为等腰梯形，ABCD,ACBD，垂足为H，PH是四棱锥的高，E为AD中点证明：PEBC若APB=ADB=60°，求直线PA与平面PEH所成角的正弦值19．(本小题12分)为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法调查了500位老年人，结果如下：是否需要志愿性别男女需要4030不需要160270估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；能否有99％的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？根据（2）的结论，能否提供更好的调查方法来估计该地区老年人，需要志愿帮助的老年人的比例？说明理由附：20．（本小题满分12分）设分别是椭圆的左、右焦点，过斜率为1的直线与相交于两点，且成等差数列。（1）求的离心率；（2）设点满足，求的方程21．（本小题满分12分）设函数。若，求的单调区间；若当时，求的取值范围请考生在第（22）、（23）中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。做答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知直线C1（t为参数），C2（为参数），（Ⅰ）当=时，求C1与C2的交点坐标；（Ⅱ）过坐标原点O做C1的垂线，垂足为，P为OA中点，当变化时，求P点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线。23．（本小题满分10分）选修4-5，不等式选项设函数（Ⅰ）画出函数的图像（Ⅱ）若不等式≤的解集非空，求a的取值范围。2023年普通高等学校招生全国统一考试理科数学模拟试卷（四）参考答案选择题（1）D（2）A（3）A（4）C（5）C（6）B（7）D（8）B（9）A（10）B（11）C（12）B二、填空题（13）（14）三棱锥、三棱柱、圆锥（其他正确答案同样给分）（15）（16）60°三、解答题（17）解：（Ⅰ）由已知，当n≥1时，。而所以数列{}的通项公式为。（Ⅱ）由知①从而②①-②得。即（18）解：以为原点，分别为轴，线段的长为单位长，建立空间直角坐标系如图，则（Ⅰ）设则可得因为所以（Ⅱ）由已知条件可得设为平面的法向量则即因此可以取，由，可得所以直线与平面所成角的正弦值为（19）解：（1）调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助，因此该地区老年人中，需要帮助的老年人的比例的估算值为（2）。由于9.967>6.635,所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关。(III)由(II)的结论知，该地区老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样方法比采用简单随机抽样方法更好．（20.）解：（I）由椭圆定义知，又，得的方程为，其中。设，，则A、B两点坐标满足方程组化简的则因为直线AB斜率为1，所以得故所以E的离心率（II）设AB的中点为，由（I）知，。由，得，即得，从而故椭圆E的方程为。（21）解：（1）时，，.当时，；当时，.故在单调减少，在单调增加（II）由（I）知，当且仅当时等号成立.故，从而当，即时，，而，于是当时，. 由可得.从而当时，，故当时，，而，于是当时，. 综合得的取值范围为.(22)解：（Ⅰ）当时，的普通方程为，的普通方程为。联立方程组，解得与的交点为（1,0）。（Ⅱ）的普通方程为。A点坐标为，故当变化时，P点轨迹的参数方程为：P点轨迹的普通方程为。故P点轨迹是圆心为，半径为的圆。（23）解：（Ⅰ）由于则函数的图像如图所示。（Ⅱ）由函数与函数的图像可知，当且仅当或时，函数与函数的图像有交点。故不等式的解集非空时，的取值范围为。2023年普通高等学校招生全国统一考试理科数学模拟试卷（五）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。(1)复数的共轭复数是（）（A）（B）（C）（D）（2）下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）单调递增的函数是（）（A）(B)（C）(D)（3）执行右面的程序框图，如果输入的N是6，那么输出的p是（）（A）120（B）720（C）1440（D）5040（4）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（）（A）（B）（C）（D）（5）已知角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边在直线上，则=（）（A）（B）（C）（D）（6）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示，则相应的侧视图可以为（）（7）设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A,B两点，为C的实轴长的2倍，则C的离心率为（）（A）（B）（C）2（D）3（8）的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（）（A）-40（B）-20（C）20（D）40（9）由曲线，直线及轴所围成的图形的面积为（）（A）（B）4（C）（D）6（10）已知a与b均为单位向量，其夹角为，有下列四个命题其中的真命题是（）（A）（B）（C）（D）（11）设函数的最小正周期为，且，则（）

（A）在单调递减（B）在单调递减

（C）在单调递增 （D）在单调递增(12)函数的图像与函数的图像所有焦点的横坐标之和等于（）

（A）2(B)4(C)6(D)8二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。（13）若变量满足约束条件则的最小值为。（14）在平面直角坐标系中，椭圆的中心为原点，焦点在轴上，离心率为。过的直线交于两点，且的周长为16，那么的方程为。（15）已知矩形的顶点都在半径为4的球的球面上，且,则棱锥的体积为。（16）在中，，则的最大值为。三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（17）（本小题满分12分）等比数列的各项均为正数，且（I）求数列的通项公式.（II）设求数列的前项和.(18)(本小题满分12分) 如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD.(Ⅰ)证明：PA⊥BD；(Ⅱ)若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值。（19）（本小题满分12分）某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品，现用两种新配方（分别称为A配方和B配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测试了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：A配方的频数分布表指标值分组[90，94）[94，98）[98，102）[102，106）[106，110]频数82042228B配方的频数分布表指标值分组[90，94）[94，98）[98，102）[102，106）[106，110]频数412423210（Ⅰ）分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率；（Ⅱ）已知用B配方生成的一件产品的利润y(单位：元)与其质量指标值t的关系式为从用B配方生产的产品中任取一件，其利润记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望.（以实验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率）（20）（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,-1)，B点在直线y=-3上，M点满足MB//OA，MA•AB=MB•BA，M点的轨迹为曲线C。（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）P为C上的动点，l为C在P点处得切线，求O点到l距离的最小值。（21）（本小题满分12分）已知函数，曲线在点处的切线方程为。（Ⅰ）求、的值；（Ⅱ）如果当，且时，，求的取值范围。请考生在第22、23中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。做答时请写清题号。(22)(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（为参数）M是C1上的动点，P点满足,P点的轨迹为曲线C2(Ⅰ)求C2的方程(Ⅱ)在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求.(23)(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲设函数,其中。（Ⅰ）当时，求不等式的解集（Ⅱ）若不等式的解集为，求a的值。2023年普通高等学校招生全国统一考试理科数学模拟试卷（五）参考答案一、选择题（1）C（2）B（3）B（4）A（5）B（6）D（7）B（8）D（9）C（10）A（11）A（12）D二、填空题（13）-6（14）（15）（16）三、解答题（17）解：（Ⅰ）设数列{an}的公比为q，由得所以。有条件可知a>0,故。由得，所以。故数列{an}的通项式为an=。（Ⅱ）故所以数列的前n项和为(18)解：（Ⅰ）因为,由余弦定理得从而BD2+AD2=AB2，故BDAD又PD底面ABCD，可得BDPD所以BD平面PAD.故PABD（Ⅱ）如图，以D为坐标原点，AD的长为单位长，射线DA为轴的正半轴建立空间直角坐标系D-，则,,,。设平面PAB的法向量为n=（x,y,z），则即因此可取n=设平面PBC的法向量为m，则可取m=（0，-1，）故二面角A-PB-C的余弦值为（19）解:（Ⅰ）由实验结果知，用A配方生产的产品中优质的平率为，所以用A配方生产的产品的优质品率的估计值为0.3。由实验结果知，用B配方生产的产品中优质品的频率为，所以用B配方生产的产品的优质品率的估计值为0.42（Ⅱ）用B配方生产的100件产品中，其质量指标值落入区间的频率分别为0.04，,054,0.42，因此P(X=-2)=0.04,P(X=2)=0.54,P(X=4)=0.42,即X的分布列为X的数学期望值EX=2×0.04+2×0.54+4×0.42=2.68(20）解：(Ⅰ)设M(x,y),由已知得B(x,-3),A(0,-1).所以=（-x,-1-y）,=(0,-3-y),=(x,-2).再由愿意得知（+）•

=0,即（-x,-4-2y）•

(x,-2)=0.所以曲线C的方程式为y=x-2.(Ⅱ)设P(x,y)为曲线C：y=x-2上一点，因为y=x,所以的斜率为x因此直线的方程为，即。则O点到的距离.又，所以当=0时取等号，所以O点到距离的最小值为2.（21）解：（Ⅰ） 由于直线的斜率为，且过点，故即 解得，。（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以。考虑函数，则。(i)设，由知，当时，。而，故当时，，可得；当x（1，+）时，h（x）<0，可得h（x）>0从而当x>0,且x1时，f（x）-（+）>0，即f（x）>+.（ii）设0<k<1.由于当x（1，）时，（k-1）（x2+1）+2x>0,故h’（x）>0,而h（1）=0，故当x（1，）时，h（x）>0，可得h（x）<0,与题设矛盾。（iii）设k1.此时h’（x）>0,而h（1）=0，故当x（1，+）时