高中数学离散型随机变量的均值综合测试题含答案

高中数学离散型随机变量的均值综合测试题(含

答案)选修2-32.3.1离散型随机变量的均值一■、选择题1.若X是一个随机变量，则E(X—E(X))的值为0A.无法求B.0C.E(X)D.2E(X)［答案］B［解析］只要认识到£(用是一个常数，则可直接运用均值的性质求解.•・・E(aX+b)=aE(X)+b,而£凶为常数，E(X—E(X))=E(X)-E(X)=0..设E()=10,E()=3,则E(3+5)=()A.45 B.40C.30 D.15［答案］A.今有两台独立工作在两地的雷达，每台雷达发现飞行目标的概率分别为0.9和0.85,设发现目标的雷达台数为X,则E(X)=()A.0.765B.1.75C.1.765D.0.22［答案］B［解析］设A、B分别为每台雷达发现飞行目标的事件，X的可能取值为0、1、2,P(X=0)=P(AB)=P(A)P⑻=(1-0.9)(1-0.85)=0.015.P(X=1)=P(AB+AB)=P(A)P(B)+P(A)P(B)=0.90.15+0.10.85=0.22.P(X=2)=P(AB)=P(A)P(B)=0.90.85=0.765.E(X)=00.015+10.22+20.765=1.75..设随机变量X的分布列如下表所示且E(X)=1.6,则a-b=()X0123P0.1ab0.1A.0.2B.0.1C.-0.2D.-0.4陪案］C［解析］由0.1+a+b+0.1=1,得a+b=0.8,①又由E(X)=00.1+1a+2b+30.1=1.6,得a+2b=1.3,②由①②解得a=0.3,b=0.5,a-b=-0.2,故应选C..已知随机变量，其中=10+2,且E()=20,若的分布列如下表，则m的值为()P14mn112A.4760B.3760C.2760D.18陪案］A［解析］=10+2E()=10E()+220=10)+2)=9595=114+2m+3n+4112,又14+m+n+112=1，联立求解可得m=4760,故选A..(2019浙江)有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若X表示取到次品的个数，则E(X)等于()A.35B.815C.1415D.1陪案］A［解析］X=1时，P=C17C13C210；X=2时，P=C23C210.E(X)=1C17C13C210+2C23C210=73+23C210=35,故选A..(2019福建福州)已知某一随机变量X的概率分布列如下表，E(X)=6.3,则a值为()X4a9P0.50.1bA.5B.6C.7D.8陪案］C［解析］由分布列性质知：0.5+0.1+b=1,b=0.4,E(X)=40.5+a0.1+90.4=6.3,a=7,故选C..(2019新课标全国理，6)某种种子每粒发芽的概率都为0.9,现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X,则X的均值为()A.100B.200C.300D.400陪案］B［解析］本题以实际问题为背景，考查的事件的均值问题.记“不发芽的种子数为“，则〜B(1000,0.1),所以E()=10000.1=100,而*=2,故EX=E(2)=2E()=200,故选B.二、填空题.(2019上海理，6)随机变量的概率分布列由下图给出：x78910P(=x)0.30.350.20.15则随机变量的均值是.［答案］8.2［解析］本小题考查随机变量的均值公式.E()=70.3+80.35+90.2+100.15=8.2..已知某离散型随机变量X的数学期望E(X)=76,X的分布列如下：Pa1316b贝a=.陪案］13［解析］E(X)=76=0a+113+216+3bb=16,又P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=1a+13+16+16=1a=13..从1、2、3、4、5这5个数字中任取不同的两个，则这两个数之积的数学期望是.［答案］8.5［解析］从1、2、3、4、5中任取不同的两个数，其乘积X的值为2、3、4、5、6、8、10、12、15、20,取每个值的概率都是110,E(X)=110(2+3+4+5+6+8+10+12+15+20)=8.5..设p为非负实数，随机变量X的概率分布为：X012P12—pP12则E(X)的最大值为.陪案］32［解析］由表可得012—p1,01,从而得P［0,12］,期望值E(X)=0(12—p)+1p+212=p+1,当且仅当p=12时，E(X)最大值=32.三、解答题.盒中装有5节同牌号的五号电池，其中混有两节废电池，现在无放回地每次取一节电池检验，试回答下列问题：⑴若直到取到好电池为止，求抽取次数的分布列及均值；⑵若将题设中的无放回改为有放回，求检验5次取到好电池个数X的数学期望.［解析］(1)可取的值为1、2、3,贝P(=1)=35,P(=2)=2534=310,P(=3)=25141=110,抽取次数的分布列为：123P35310110E()=135+2310+3110=1.5.⑵每次检验取到好电池的概率均为35,故X〜B(n,p),即X〜B(5,35),贝E(X)=535=3.14.(2019江西理，18)某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门.首次到达此门，系统会随机(即等可能)为你打开一个通道.若是1号通道，则需要1小时走出迷宫；若是2号、3号通道，则分别需要2小时、3小时返回智能门.再次到达智能门时，系统会随机打开一个你未到过的通道，直至走出迷宫为止.令表示走出迷宫所需的时间.(1)求的分布列；(2)求的数学期望(均值).［解析］本题考查学生的全面分析能力，考查学生对事件概率的求解能力以及对文字描述的理解能力.解本题的两个关键点是：一是的所有取值，二是概率.解：(1)的所有可能取值为：1,3,4,6P(=1)=13,P(=3)=16,P(=4)=16,P(=6)=13,所以的分布列为：1346P13161613(2)E()=113+316+416+613=72(小时)15.购买某种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保费a元，若投保人在购买保险的一年度内出险，则可以获得10000元的赔偿金.假定在一年度内有10000人购买了这种保险，且各投保人是否出险相互独立.已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金10000元的概率为1—0.999104.⑴求一投保人在一年度内出险的概率p;⑵设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为50000元，为保证盈利的期望不小于0,求每位投保人应交纳的最低保费(单位：元).［解析］解答第⑴题运用对立事件的概率公式，建立方程求解.解答第⑵题运用二项分布的期望公式，建立不等式求解.各投保人是否出险相互独立，且出险的概率都是p,记投保的10000人中出险的人数为，则〜B(104,p).(1)记A表示事件：保险公司为该险种至少支付10000元赔偿金，则A发生当且仅当=0,P(A)=1—P(A)=1—P(=0)=1—(1—p)104,又P(A)=1—0.999104,故p=0.001.⑵该险种总收入为10000a元，支出是赔偿金总额与成本的和,支出：10000+50000,盈利：=10000a—(10000+50000),盈利的期望为：E()=10000a—10000E()—50000,由〜B(104,10—3)知，E()=1000010-3,E()=104a-104E()-5104=104a-10410410-3-5104.E(0104a-10410-5104a-10-5a15(元).故每位投保人应交纳的最低保费为15元.16.(2009全国I理19)甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束，假设在一局中，甲获胜的概率为0.6,乙获胜的概率为0.4,各局比赛结果相互独立，已知前2局中，甲、乙各胜1局.⑴求甲获得这次比赛胜利的概率；⑵设X表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，求X的分布列及均值.［解析］设Ai表示事件：第i局甲获胜，i=3,4,5,Bj表示事件：第j局乙获胜，j=3,4.(1)记B表示事件：甲获得这次比赛的胜利因前两局中，甲、乙各胜一局，故甲获得这次比赛的胜利当且仅当在后面的比赛中，甲先胜2局，从而B=A3A4+B3A4A5+A3B4A5.由于各局比赛结果相互独立，故P(B)=P(A3A4)+P(B3A4A5)+P(A3B4A5)=P(A3)P(A4)+P(B3)P(A4)P(A5)+P(A3)P(B4)P(A5)=0.60.6+0.40.60.6+0.60.40.6=0.648.(2)X的可能取值为2,3.由于各局比赛结果相互