微积分5.7-5.8二重积分经济应用

27三月20231§5.7

二重积分一、概念与一元定积分的情况类似，我们讨论曲顶柱体的体积的计算。所谓曲顶柱体，是指以曲面z=f(x,y)为顶、以区域D为底、以D的边界为准线、以平行于z轴的直线为母线所构成的柱体。

思路仍是“化整为零”，“以平代曲”、“积零为整”。一元函数的定积分应用到多元函数中即得到多重积分。Newton在讨论万有引力时包含了多重积分的计算，当时他用了几何论述。为了直观起见，下面从几何中引入二重积分的定义。27三月20232曲顶柱体27三月20233问题

曲顶柱体的体积的计算。

解决曲顶柱体的体积的计算步骤：①分割：把曲顶柱体用分成若干个非常“细”的小曲顶柱体；②近似求和：小曲顶柱体很细小时，把每个小曲顶柱体近似地看作小普通柱体计算体积，把所有的结果加在一起；③取极限:让小曲顶柱体的个数无限增多(这时每个小曲顶柱体也无限地“细”)取极限，所得的结果认为曲顶柱体的体积。

下面详细地讨论计算过程。①分割在中取n个小区域D1、D2、…、Dn满足：D1∪D2∪…∪Dn=D

Di∩Dj=Φ(i≠j)称之为D上的一个分划。27三月20234记Di的面积为Δσi，i=1,2,···,n。

以Di为底、z轴为母线、Di的边界为准线作曲顶柱体，记其体积为ΔVi，则所求曲顶柱体的体积②近似求和对每个Di，称其中任意两点间的距离的最大值为Di的直径，记为di，即di

=max{|AB|:A、B∈Di}并记当d充分小(这时每个di都很小)时，每个Di所对应的小曲顶柱体的“顶”可近似看作是“平”的。27三月20235在每个Di中任取一点(ξi,ηi)，以f

(ξi,ηi)作为平顶柱体的高，则第i个小曲顶柱体的体积可近似表示为原曲顶柱体的体积可近似表示为③取极限令d→0取极限，得到曲顶柱体的计算公式：27三月20236我们把最后的极限式定义为二重积分。

定义

设f(x,y)在有界闭区域D上有定义。将D分为n个小区域Δσ1,Δσ2,···,Δσn，第i个小区域的面积为Δσi

，直径为di，d=max{d1,d2,···,dn}。若对存在，则称f(x,y)在区域D上可积，此极限称为f(x,y)在区域D上的二重积分，记为其中f(x,y)为被积函数，x、y为积分变量，dσ为面积元素，D为积分区域。27三月20237

注

①和定积分一样，二重积分的结果为常数，只和函数f(x,y)、区域D有关，和分划方法、(ξi,ηi)的取法无关(因此在实际计算重积分时常采用特殊的分划和选点方法)，也与变量无关：②关于可积性条件有以下结果：

◆f(x,y)在D上可积，则f(x,y)在D上有界；

◆f(x,y)在D上连续，则f(x,y)在D上可积(条件可减弱，如只有有限个间断点的有界函数在有界闭区域内可积)。若z=f(x,y)在D上连续非负，二重积分z=f(x,y)为顶的曲顶柱体的体积。表示以区域D为底面，几何意义：27三月20238二、性质性质2(线性性质)性质1推论27三月20239性质3(区域可加性)性质4推论1推论227三月202310性质5(积分中值定理)27三月202311三、计算根据定义，如果二重积分存在，则其数值只与积分区域和被积函数有关，而与区域的分化方法以及点(ξi,ηi)的取法无关。因此，在实际计算中，为了方便，常根据具体情况采用特殊的分割和选点方法。下面对直角坐标系和极坐标的情况分别进行讨论。

1、直角坐标系27三月202312

在直角坐标系下常采用两组平行于x轴和y轴的直线划分积分区域。为方便起见，我们首先在x-型区域上讨论二重积分的计算方法。

定义

区域D={(x,y)|a≤x≤b,φ1(x)≤y≤φ2(x)}称为x-型区域。27三月202313

引理

设一空间立体位于垂直于x轴的两平面x=a与x=b之间，若用垂直于x轴的平面截该立体所得的截面面积可写成x的函数A(x)(a≤x≤b)，则该立体的体积为由此可知，要计算某立体的体积，先设定一个数轴(记为x轴)；把此立体投影到x轴上，得区间[a,b]；任取x∈[a,b]，固定x，过x作与x轴垂直的的平面，和立体相交得一截面；计算这个截面的面积(用A(x)表示)，最后立体的体积的计算就是一元定积分的计算。利用这种方法计算体积的详细过程在§5.8里进行讨论。27三月20231427三月202315下面计算x

–型区域D={(x,y)|a≤x≤b,φ1(x)≤y≤φ2(x)}上f(x,y)的积分。它表示以D为底、曲面z=f(x,y)为顶的曲顶柱体的体积。最后可得曲顶柱体的体积即所求积分为此曲顶柱体在x轴上的投影为[a,b]，任取x∈[a,b]，过x作与x轴垂直的的平面，它截曲顶柱体而的截面为(这里暂把x当作常数)由z=f(x,y)、y轴、y=φ1(x)和y=φ2(x)围成的曲边梯形。其面积为27三月20231627三月202316

定理函数z=f(x,y)在D={(x,y)|a≤x≤b,φ1(x)≤y≤φ2(x)}连续，则一般地，记称之为累次积分或二次积分。一般在直角坐标系下记dσ=dxdy，称为面积元素。利用累次积分计算二重积分，关键是上、下限的确定，一般要画出区域D的图形，用“投影穿线法”确定积分限。27三月202317所谓“投影穿线法”，即投影确定外积分限：将积分区域向x轴投影得区间[a,b]，则外层上、下限分别为b、a；穿线确定内积分限，过[a,b]内任意一点作x轴的垂线与积分区域的边界相交，由上至下交点分别为φ2(x)、φ1(x)，它们就是内层上、下限。27三月202318与x-型区域相对应的还有y-型区域：

定义

区域{(x,y)|c≤y≤d,ψ1(y)≤x≤ψ2(y)}称为y-型区域。

对积分区域为y-型区域的二重积分的计算与x-型区域对应的方法类似：

定理函数z=f(x,y)在D={(x,y)|c≤y≤d,ψ1(y)≤x≤ψ2(y)}连续，则确定积分限同样用“投影穿线法”。注意外层积分限是数值，而内层积分限为y的函数。计算时，注意在当前计算过程中哪一个为变量，哪一个需要看作常数。27三月202319例区域D由y=0.5x、x=y2+1和y=0所围成，计算解积分区域如右图：27三月20232027三月202321计算二重积分时，首先根据积分区域的形状确定是x-型区域还是y-型区域(若不是标准区域，则把积分区域分割成几个标准区域)。有时积分区域即可以看作x-型区域也可以看作y-型区域，但用两种区域计算的计算量是不一样的，甚至用一种区域无法计算而只能用另外一种区域计算，这时需选择合适的区域类型进行计算。

例区域D由y=x、x=0和y=1所围成，计算27三月202322解：积分区域D由y=x、x=0和y=1所围成。它即是x-型区域又是y-型区域。若按x-型区域计算：这个内层的积分无法积出，即按x-型区域无法计算。下面选择按y-型区域计算：27三月202323解例5计算累次积分有时在计算累次积分，用给定类型的区域无法计算，这时需要转化为另一种类型的区域进行计算(这个过程称为交换积分顺序)。27三月20232427三月202325练习

计算下列二重积分：答案27三月202326答案作业：27三月2023272、极坐标系18世纪后叶，Lagrange在关于旋转椭球的引力的著作中用三重积分表示引力，并开始了多重积分变换的研究。人们通过不断的探索，得到多重积分变换公式。二重积分换元公式如下：

定理函数f(x,y)在有界闭区域D连续，x=x(u,v)，y=y(u,v)在D上有连续的偏导数，记D'={(u,v)|(x(u,v),y(u,v))∈D}，则称为Jacobi行列式。27三月202328在坐标变换下，区域的形状不变。r注：当积分区域或被积函数中含有x2+y2时，一般考虑用极坐标计算。1].极坐标系2].极坐标与直角坐标系下的点之间的关系（同一点）27三月202329例1区域D={(x,y)|x2+y2≤a2}，计算

解

27三月202330例2区域D={(x,y)|1≤x2+y2≤2x,y≥0}，计算解题过程解画出积分区域D={(x,y)|1≤x2+y2≤2x,y≥0}，27三月20233127三月202332例3区域D={(x,y)|x2+y2≤x+y}，计算解题过程解画出积分区域D={(x,y)|x2+y2≤x+y}，27三月202333练习：27三月20233427三月20233527三月20233627三月20233727三月202337作业：

计算下列二重积分：答案27三月202338yxo27三月202339可以证明，若f(x,y)在D上连续，只要按某种特殊的扩展方式极限存在，则广义积分收敛。因此，在计算广义二重积分时，一般选择有利于计算的特殊区域(如圆、矩形等)扩展方式，讨论相应极限的存在性。

例对广义积分取圆Da：x2+y2≤a2，则显然a→+∞时Da→R2，因此有27三月202340取Dl：|x|≤l,|y|≤l，则显然当l→+∞时有Dl→R2，因此有由此得到称之为Poisson积分。与x无关，可提到对x积分的积分号外面去与y无关，可提到对y积分的积分号外面去27三月202341§5.8

经济运用模型一、平面图形的面积由定积分的定义可知，当f(x)>0时，由曲线y=f(x)、直线x=a、x=b(a<b)与x轴所围图形D的面积为积分(尤其是定积分)在几何、物理、经济等很多方面有广泛的的应用。下面分几何和经济两方面作简要介绍。当f(x)<0时，由-f(x)>0，这时图形D的面积为对一般的函数，有以下结果。27三月202342对一般的图形，常先分割成几个标准区域(x-型区域或y-型区域)，再分别计算。1、x-型区域利用上面引理的结果或二重积分很容易得到公式：

定理

由曲线y=f(x)、y=g(x)及直线x=a、x=b所围成的图形的面积为2、y-型区域

定理由曲线x=φ(y)、x=ψ(y)及直线y=c、y=d所围成的图形的面积为27三月202343求面积的步骤：（1）作出草图；

作出图形是求面积的先决条件。必要时先求交点。（2）选择积分变量；可找出封闭图形边界上横坐标最小、最大的点，若上下两段边界的方程统一，则可选x作积分变量，否则，选x作积分变量必须将图形分块，这时可找出边界上纵坐标最小、最大的点，若左右两段边界的方程统一，则可选y作积分变量。（3）列积分式、计算。一定要注意被积函数是上边曲线的方程减去下边曲线的方程（x为积分变量）或右边曲线的方程减去左边曲线的方程（y为积分变量）。27三月202344

另：由曲线y=f(x),y=g(x)(0≤f(x)≤g(x)),直线x=a,x=b(a<b)及x轴所围成的曲边带形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积为

类似地，若x=g(y)在[c,d]上连续，由曲线x=g(y)

、直线y=c、y=d、x=0(y轴)所围成的图形绕y轴旋转而得到的旋转体的体积为27三月202345

另:由连续曲线x=,直线y=c,y=d所围成的平面图形绕y轴旋转一周所得立体的

注：在两条曲线围成的平面图形旋转的体积公式中，若不满足条件0≤f(x)≤g(x)或0ay=f(x)bxyy=g(x)(c<d)及y轴体积为则两个公式一般不能用。如下图中,曲边带形绕x轴旋转所得旋转体的体积为27三月202346解绕x轴旋转绕y轴旋转27三月202347

例

求由圆(x-R)2+y2=r2(r<R)绕y轴旋转所得旋转体的体积。解题过程27三月2023

解由已知圆绕y轴旋转所得旋转体为圆环，它可以看作由右半圆绕y轴旋转所得旋转体V1”挖出”由左半圆绕y轴旋转所得旋转体V2形成的。27三月2023作业：答案：27三月20235027三月2023得交点为(0,0),(3,3)y432101234xy=x27三月2023xoy11227三月202353解两条切线分别为：32101234xy-1-2-3-27三月202354三、简单经济问题的分析1、已知边际函数求原经济函数已知某经济函数的变化率(边际函数)F/(x)=f(x)，则此经济函数为当自变量由a变为b时，经济函数F(x)的增量为27三月2023552.已知边际函数，求总量函数。27三月202356求：(1)C(x)，R(x)(2)产量从8增加到12时，利润改变多少？例：27三月202357

练习

某产品的边际成本为C′(x)=1，固定成本为0，边际收益R′(x)=5-x。求：①产量为多大时利润最大？②从利润最大的产量又生产了1单位，总利润减少了多少？答案

①4②0.527三月2023582、投资问题以A0元存入银行，年复利率为r，t年后变为A0(1+r)t元，称At=A0(1+r)t为本金A0的终值；反之，若要t年后有At元，现在只需存入银行A0=At

(1+r)-t元，即t年后的At元只相当于现在的A0=At(1+r)-t元，称A0=At(1+r)-t为t年后资金At的现值，此时r也称为贴现率。

若计算连续复利，则本金A0在t年后的终值为A0ert；t年后资金A的现值为Ae-rt。在投资分析中常把企业资金的收入与支出近似地视为是连续变化的，设从t=0开始，企业开始获得收入，t年时的收入为f(t)，称f(t)为收入流，它是收入流量(或货币流量，是直到t年时的总收入，不计息)的变化率，即单位时间的收入。27三月202359设f(t)在[0,T]上连续，年利率为r，以连续复利计算，现在计算现值及T年后总收入的终值。

用分划0=t0、t1、…、tn=T把区间[0,T]分为n个小区间，在时间段[ti,ti+1]内取ξi，记Δti=ti+1-ti，则在[ti,ti+1]内收入的近似值为f(ξi)Δtier(T-ξi)，i=1、2、…、n

。因此近似为T年后总收入。

T年后总收入为这时，对应的现值为