小学奥数-三角形的等积变形(附答案)

小学奥数三角形的等积变形我们已经掌握了三角形面积的计算公式：三角形面积二底X高：2这个公式告诉我们：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积.如果三角形的底不变，高越大〔小〕，三角形面积也就越大〔小〕.同样若三角形的高不变，底越大〔小〕，三角形面积也就越大〔小〕.这说明；当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化.但是,当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化.比如当高变为原来的*倍，底变为原来的1则三角形面积与原来的一样.这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化.同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状.本讲即研究面积相同的三角形的各种形状以与它们之间的关系.为便于实际问题的研究，我们还会常常用到以下结论：①等底等高的两个三角形面积相等.②底在同一条直线上并且相等，该底所对的角的顶点是同一个点或在与底平行的直线上，这两个三角形面积相等.③若两个三角形的高〔或底〕相等，其中一个三角形的底〔或高〕是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍.例如在右图中，若ZXA&D与ZXAEC的底边相等(ED=DE=EC=1bC)3 ,它们所对的顶点同为A点,点同为A点,〔也就是它们的高相等〕那么这两个三角形的面积相等.同时也可以知道4ABC的面积是4ABD或4AEC面积的3倍.例如在右图中，4ABC与4DBC的底相同〔它们的底都是BC〕，它所对的两个顶点A、D在与底BC平行的直线上，〔也就是它们的高相等〕，那么这两个三角形的面积相等.例如右图中，4ABC与4DBC的底相同〔它们的底都是BC〕，4ABC的高是4DBC高的2倍〔D是AB中点，AB=2BD,有AH=2DE〕，则4ABC的面积是^DBC面积的2倍.上述结论，是我们研究三角形等积变形的重要依据.例1用三种不同的方法，把任意一个三角形分成四个面积相等的三角形.方法1：如右图，将EC边四等分（B。=DE二EF=,连结、AE、AK则AABD、AABE.AAEF.ZXAF寻积.方法2：如右图，先将BC二等分，分点D、连结AD,得到两个等积三角形，即AABD与4ADC等积.然后取AC、AB中点E、F,并连结DE、DF.以而得到四个等积三角形，即△ADF、^BDF、4DCE、^ADE等积.方法3：如右图，先将BC四等分，即BD=：EC,连结AD,再将AD三等分，即AE=EF=FD二：AD,连结CE.CF,从而得到四个等积的三角形即△ABD、△CDF.ACERZ\ACE等积.例2用三种不同的方法将任意一个三角形分成三个小三角形，使它们的面积比为与1：3：4.方法1：如下左图，将BC边八等分，取1：3：4的分点D、E,连结AD、AE,从而得到^ABD、△ADE、^AEC的面积比为1：3：4.CC方法2:如上右图，先取EC中点D,再取AB的｝分点E,连结炖二DE,从而得到三个三角形：△ADE、^BDE、^ACD.其面积比为1：3：4.方法头如右图，先取AB中点D,连结6,再取CD上，分点E,连结AE,从而得到三个三角形mZSACE.AADE.ABCD,其面积比为1：3：当然本题还有许多种其他分法，同学们可以自己寻找解决.例3如右图，在梯形ABCD中，AC与BD是对角线，其交点0,求证：AAOB与△C0D面积相等.证明：•「△ABC与ADBC等底等高,.*.S△ABC=S△DBC又•:S△AOB=S△ABC—S△BOCS△DOC=S△DBC—S△BOC.\S△AOB=S△COD.例4如右图，把四边形ABCD改成一个等积的三角形.分析本题有两点要求，一是把四边形改成一个三角形，二是改成的三角形与原四边形面积相等.我们可以利用三角形等积变形的方法，如右图，把顶点A移到CB的延长线上的A'处，^A/BD与4ABD面积相等，从而^A,DC面积与原四边形ABCD面积也相等.这样就把四边形ABCD等积地改成了三角形4A/DC.问题是A,位置的选择是依据三角形等积变形原则.过A作一条和DB平行的直线与CB的延长线交于A/点.解：①连结BD；②过A作BD的平行线，与CB的延长线交于A,.③连结A/D,则4A,CD与四边形ABCD等积.例5如右图，已知在4ABC中，BE=3AE,CD=2AD.若4ADE的面积为1平方厘米.求三角形ABC的面积.

3J产解法1：连结BD,在AABD中BE=3AE,・•・SAABD=4SAADE=4〔平方厘米〕.在^ABC中，•.•CD=2AD,・•・SAABC=3SAABD=3X4=12〔平方厘米〕.A.・,CD=2AD,•・SAACE=3SAADE=3〔平方厘米〕.在4ABC中，•.•BE=3AE•・SAABC=4SAACE=4X3=12〔平方厘米〕.例6如下页图，在4ABCA.・,CD=2AD,•・SAACE=3SAADE=3〔平方厘米〕.在4ABC中，•.•BE=3AE•・SAABC=4SAACE=4X3=12〔平方厘米〕.例6如下页图，在4ABC中，BD=2AD,AG=2CG,BE=EF二FC二日

tEC,求阴影部分面积占三角形ABC面积的几分之几号解：连结BG,在4ABG中，'：-BD=2&D，1芯&娅方二=AG=2CG,.-.S^e=, _12 _''$&ADG.gX C.2问理S&RDE=§£&用"！・•・SAADG+SABDE+SACFG回二（：+,［）窈喇声EET匚行s看娅.在ZkM2—s24占abc'2一£92iABC'‘ACFG-93在阳c--9kD/\国片•.阴影部分面积二（1-9）S国片•.阴影部分面积二（1-9）S色如c例7如右图，ABCD为平行四边形，EF平行AC积.如果4ADE的面积为4平方厘米.求三角形CDF的面解：连结AF、CE,ASAADE=SAACE；S^CDF=S^ACF；又•「AC与EF平行，.•・S^ACE=S^ACF；・•・SAADE=SACDF=4〔平方厘米〕.例8如右图，四边形ABCD面积为1,且AB=AE,BC=BF,DC=CG,AD=DH.求四边形EFGH的面积.解：连结BD,将四边形ABCD分成两个部分S1与S2.连结FD,有S^FBD=S^DBC;S1所以$△CGF=SADFC=2S1.同理S△AEH=2S2,因此S4AEH+S^CGF=2S1+2S2=2〔S1+S2〕=2X1=2.同理，连结AC之后，可求出S△HGD+S△EBF=2所以四边形EFGH的面积为2+2+1=5〔平方单位〕.例9如右图，在平行四边形ABCD中，直线CF交AB于E,交