二次函数应用-最大面积问题教学设计

《二次函数的应用——面积最大问题》教课方案二次函数的应用——面积最大问题。所用教材是山东教育第一版社材九年级上册第三章第六节二次函数的应用，本节共需四课时，面积最大是第一节。下边我将从教材内容的剖析、教课目的、要点、难点确实定、教课方法的选择、教课过程的设计和教课成效展望几方面对本节课进行说明。一、教课内容的剖析1、地位与作用：二次函数的应用自己是学习二次函数的图象与性质后，查验学生应用所学知识解决实质问题能力的一个综合考察。新课标中要修业生能经过对实质问题的情境的剖析确立二次函数的表达式，领会其意义，能依据图象的性质解决简单的实质问题，而最值问题又是生活中利用二次函数知识解决最常有、最有实质应用价值的问题之一，它生活背景丰富，学生比较感兴趣，关于面积问题学生易于理解和接受，故而在这儿作专题讲座，为求解最大收益等问题确立基础。目的在于让学生经过掌握求面积最大这一类题，学会用建模的思想去解决其余和函数相关的应用问题。此部分内容是学习一次函数及其应用后的稳固与延长，又为高中以致此后学习更多函数打下坚固的理论和思想方法基础。2、课时安排教材中二次函数的应用只设计了3个例题和一部分习题，不论是例题仍是习题都没有归类，不利于学生系统地掌握解决问题的方法，我设计时把它分为面积最大、收益最大、运动中的二次函数、综合应用四课时，本节是第一课时。3.学情及学法剖析学生由简单的二次函数y＝x2学习开始，而后是y＝ax2，y＝ax2+c，最后是y=a(x-h)2，y＝a(x-h)2+k，y＝ax2+bx+c，学生已经掌握了二次函数的三种表示方式和图像的性质。对函数的思想已有初步认识，对剖析问题的方法已会初步模拟，能辨别图象的增减性和最值，但在变量超出两个的实质问题中，还不可以娴熟地应用知识解决问题，本节课正是为了填补这一不足而设计的，目的是进一步培育学生利用所学知识建立数学模型，解决实质问题的能力，这也切合新课标中知识与技术呈螺旋式上涨的规律。二、教课目的、要点、难点确实定教课目的：1、知识与技术：经过本节学习，稳固二次函数y=ax2bxc（a≠0）的图象与性质，理解极点与最值的关系，会求解最值问题。2．过程与方法：经历“实质问题转变为数学识题——利用二次函数知识解决问题——利用求解的结果解说问题”的过程领会数学建模的思想，领会到数学根源于生活，又服务于生活。3.感情态度、价值观：培育学生的独立思虑的能力和合作学习的精神，在着手、沟经过程中培育学生的社交能力和语言表达能力，促使学生综合素质的养成。教课要点：利用二次函数y=ax2bxc（a≠0）的图象与性质，求面积最值问题教课难点：1、正确建立数学模型2、对函数图象极点、端点与最值关系的理解与应用三、教课方法与手段的选择因为本节课是应用问题，重在经过学习总结解决问题的方法，故而本节课以“启迪研究式”为主线展开教课活动，解决问题以学生着手动脑研究为主，必需时加以小组合作议论，充分调换学生学习踊跃性和主动性，突出学生的主体地位，达到“不只使学生学会，并且使学生会学”的目的。为了提高讲堂效率，展现学生的学习成效，适合地辅以电脑多媒体技术。四、教课流程（一）请同学独立达成下边3个问题：环节一：复习引入阶段我设计了三个问题：b1．函数y=ax2+bx+c(a≠0)中，若a>0，则当x=-2a时，y()=；若a<0，则当x=时，y()=。2.（1）求函数y＝2x2+2x－3的最值。（2）求函数y＝x2+2x－3的最值。（0≤x≤3）3。如图，在边BC长为20cm，高AM为16cm的△ABC内接矩形EFGH，并且它的一边FG在△ABC的边BC上，E、F分别在AB、AC上，若设EF为xcm，请用x的代数式表示EH。解：∵矩形EFGH，∴EH∥BC∴△AEH∽___________。又∵BC上的高AM交EH于T。AAT16xET∴AM=_______，即16=________。H∴EH=。BFMGC[设计思路]经过复习题1让学生回想二次函数的图象和极点坐标与最值，经过做练习2复习求二次函数的最值方法---公式法、配方法、图象法，练习2（1）的设计中，学生求最值容易想到极点，不论是配方、仍是利用公式都能解决；（2）中给了0≤x≤3,学生求最值时可能还会利用极点公式求,忽视了0≤x≤3,的限制，设计本题就是为了提示学生注意求解函数问题不可以走开定义域这个条件才存心义，因为任何实质问题的定义域都受现实条件的限制，做完练习后实时让学生总结出了取最值的点的地点常常在极点和两个端点之间选择，练习3复习相像三角形，把一条线段用X表示，为学习新课做好知识铺垫。（二）研究新知：新课分为在创建情境中发现问题、在解决问题中找出方法、在稳固与应用中提高技术几个环节1、在创建情境中发现问题发问学生上边练习中第三题矩形EFGH的最大面积是多少？学生在操作中发现矩形长、宽、面积不确立，从而回想起常量与变量的观点，最值又与二次函数相关，从而自己联想到用二次函数知识去解决，而不是老师告诉他用函数。求一个面积最大的矩形，这个问题自己对学生来说拥有很大的兴趣性和挑战性，学生既感觉好奇，又乐于研究它的结论，从而很自然地从复习旧知识过渡到新知识的学习。2、在解决问题中找出方法这一环节我设计了研究活动一：在上边练习题3中，若要使矩形EFGH获取最大面积，那么它的长和宽各是多少？最大面积是多少？把矩形变为一个实质问题，目的在于让学生领会其应用价值——我们要学有用的数学知识。学生在前面研究问题时，已经发现了面积不独一，并急于找出最大的，并且要有理论依照，这样第一要成立函数模型，在选用变量时学生可能会有困难，这时教师要引导学生关注哪两个变量，就把此中的一个主要变量设为x，把另一个设为y，其余变量用含的代数式表示，找出等量关系，成立函数模型，实质问题还要考虑自变量的取值范围，画图象察看最值点，这样一步步打破难点，从而让学生在不停研究中悟出利用函数知识解决问题的一套思路和方法，而不是为了做题而做题，为此后的学习确立思想方法基础。想想的设计让学生领会到不一样的解设方法所得的最大面积是同样的，图形的最大值只有一个。解决完想想以后实时让学生总结方法，为变式训练打下思想方法基础。3、在稳固与应用中提高技术有一块三角形余料以下图，∠用这块余料如图截出一个矩形ABCD面积最大？

C=90°，AM=30cm，AN=40cm，问矩形的边长分别是多少时，

，要利矩形的我设计了两个问题：(1)设长方形的一边AB＝xm，那么AD边的长度如何表示？设长方形的面积为ym2，当x取何值时，y的值最大？最大值是多少？问题一的设计目的：这个问题，学生在学习相像时见过同种种类，所以在讲堂上要给学生留出一些思虑和交流的时间，让学生充散发挥讲堂的主体地位。在学生充散发挥自主研究的能力后，教师要与学生共同协作达成题目的解答。这样做的目的是为学生在后边的学习起示范作用，帮助学生在脑海中形成完好的解答过程。详细的过程以下：剖析：(1)要求AD边的长度，即求BC边的长度，而BC是△EBC中的一边，所以能够用三角形相像求出BC。由△EBC∽△EAF，得即，所以AD＝BC＝(40－x)。要求面积y的最大值，即求函数y＝AB·AD＝x·(40－x)的最大值，就转变为数学识题了。下边由学生达成解答过程。我设计了一个问题：用什么方法求出AD的长？学生简单想到三角形相像，而忽视了相等的角的三角函数值也相等，借助∠M或许∠MCD的正切值也能够求出AD的长，而后让学生比较最优解题方法。提出问题：解决这种问题你有什么心得？（第一对题意进行剖析，找到变量间的关系，发现求面积就是求矩形的两条边，其次把两条边都用含有x的代数式表示出来，最后带入面积公式将实质问题转变为数学识题，用数学的方式解决它。）设计目的让学生实时回思，总结解题方法，达到贯通融会的成效。2．问题二：将问题一变式：“设AD边的长为xm，则问题会如何呢？”问题二的设计目的：学生在是生活中碰到的问题是变化多端的，他们要有详细问题详细分析的能力，所以将问题进行必定变化后学生能够经过自己的剖析独立解决这种问题。从而提高学生独立思虑并解决问题的能力。剖析：要求面积需求AB的边长，而AB=CD，所以需要求DC的长度，而DC是△MDC中的一边，所以能够利用三角形相像来求,也能够借助三角函数值相等求出。一世板演。提出问题：矩形面积的最大值有何变化？让学生感知：同一实质问题中的最大值问题与所设的自变量没关，它是固定不变的的。设计说明：讲堂上要修业生独立达成这个问题的完好解答，请一、两名学生板演，再由其余学生进行评论，找出完满的解答过程。表现学生的自主研究、合作沟通的意识与能力，也充分表现了生生评论的激励作用。3．问题三：对问题再三变式问题三的设计目的：问题二的解答会使一部分学生完好依照问题一的格式套下来，此时他们还会有点不娴熟，但问题三则从另一个角度从头解说了面积最大的问题。即让学生对这个问题从头进行审察又让学生完全弄清这种问题的思虑方式。让学生在讲堂上看到了活生MB生的数学识题，感觉到数学与生活有着亲密的联系，使学生真实意会到数学的价值。在Rt△0MN的内部作内接矩形ABCD，点A和D分别在两直角

30AmCNOD40m边上，BC在斜边MN上。①设矩形的边BC=xm，则AB边的长度如何表示？②设矩形的面积为ym2，当x取何值时，y的最大值是多少?提出问题：,在一个直角三角形的内部能找到二者的关系，所以该题要增添协助线——斜边上的高，转变为研究活动一的问题。活动目的：有了前面两题作基础，这个问题教师能够率领学生先行剖析后留给

AD学生自己解决，作为练习。课件展现规范的解题步骤。为了培育优生，张扬学生的个性发展，设计了一个提高题：如图,BE

GFC已知△ABC是一等腰三角形铁板余料,其AB=AC=20cm,BC=24cm.若在△ABC上截出一矩形部件DEFG,使EF在BC上,点D、G分别在边AB、AC上.问矩形DEFG的最大面积是多少?4．问题四：窗户经过的最大面积xx问题四的设计目的：相关面积最大问题的基础y训练前面已经波及，这里设计了提高题来提高学生解决问题的能力。某建筑物的窗户以下图,它的上半部是半圆,下半部是矩形,制造窗框的资料总长(图中全部的黑线的长度和)为15m.当x等于多少时,窗户经过的光芒最多?此时,窗户的面积是多少?教课预设：指引学生剖析得出x为半圆的半径，2x是矩形的较长边，所以x与半圆面积和矩形面积都相关系，要求透过窗户的光芒最多，也就是求矩形和半圆的面积之和最大，即2xy＋x2最大，而因为4y＋4x＋3x＋πx＝7x＋4y＋πx＝15，所以y＝。面积S＝πx2＋2xy＝πx2＋2x·＝πx2＋＝－3.5x2＋7.5x，这时已经转变为数学识题即二次函数了，只要化为极点式或代入极点坐标公式中即可．实质教课成效：问题四中的数目关系，较前面3个问题，该题办理起来比较繁琐，教师要赐予学生实时的指导和帮助。此处设计了微视频，经过微视频让学生明确解题方法。第二环节概括升华活动内容：同学们可否依据前面的例子作一下总结，解决此类问题的基本思路是什么呢？与伙伴进行沟通．活动目的：经过前面例题的学习和感觉，学生议论沟通，在教师的帮助下概括出：基本流程为：理解题目剖析已知量与未知量转变为数学识题．解决此类问题的基本思路是：理解问题；剖析问题中的变量和常量以及它们之间的关系；用二次函数表示出变量间的关系；确立最大值或最小值；查验结果的合理性并进行应用拓展。第三环节讲堂检测设计说明：经过一节课的的研究，让学生进一步感觉二次函数解决面积最大的思路，为了让更多的学生体验到成功，利用两个比较简单的问题实时稳固，并有益于学生建立信心。第四环节回首反省本节课我们进一步学习了用二次函数知识解决最大面积的问题，增强了应用数学知识的意识，获取了利用数学方法解决实质问题的经验，并进一步感觉了数学建模思想和数学知识的应用价值．设计说明：旨在培育学生的建模思想和合作沟通的意识。讲堂中应请学生自主总结本节课的内容。教师予以鼓舞、夸奖和必定即可。经过微视频提高学生兴趣。第五环节部署作业1.预习下一节最大收益应用问题2.课本P78问题解决1、33.（选作）如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花园，设花园的宽AB为x米，面积为S平米。求S与x的函数关系式及自变量的取值范围；当x取何值时所围成的花园面积最大，最大值是多少？若墙的最大可用长度为8米，则求围成花园的最大面积。设计目的：提示学生自变量的取值范围，追求最值不必定在极点处。

ADBC三、评论与反省