函数与方程思想专题讲师版

函数与方程思想专题（浙江 授长又有一定能力要求的性试题。函数与方程思想是最重要的一种数学思想，高所占解，方程问题也可以转化为函数问题来求解，如解方程f(x)＝0，就是求函数y＝f(x)的零点；识，用于指导解题就是利用方程或方程组的观点观察处理问题．方程思想是动中求静，研究运动中的 【答案】0<a≤bea≤eb所以它的逆否命题：若ea＋2a＝eb＋3b，则a>b成立，故A正确，B错误；故C错误；同理，D错误．【题目】设Sn是公差为d(d≠0)的无穷等差数列{an}的前n项和，则下列命题的是 A．若d<0，则数列{Sn}有最大项【答案】【解析】设{an} d Sn＝na1＋2n(n－1)d＝2n＋对任意n∈N*，Sn均大于0时，a1>0，d>0，{Sn}必是递增数列，D正确． C

#知识梳理16 6【答案】32b2＋2ab＋2a2－1y＝f(b)有零点，∴Δ≥04a2－8(2a2－1)≥0，得22，∴a≤|a|≤a 3【解析】设f(x)＝－cos2x＋sin π 1 ＋2)πx∈(0

sin1,1]a的取值范围是3f(x)＝lnxx－1，3

3(1)g(x)＝lnx＋x－1－)＝)＝＋ －<0.

x2x3

1)．(2)记 x＋5由(1)

1 4x2)＝ 4x2)＝ 2＋

＝

— 2<4x

h(1)＝0，所以h(x)<0.1<x<3

x＋5【题目】已知f(x)＝xlnx，g(x)＝－x2＋ax－3.若对一切x∈(0，＋∞)，2f(x)≥g(x)恒成立．实数a的取值范 【答案】x∈(0，＋∞) 所以h(x)min＝h(1)＝4.所以a≤h(x)min＝4.【题目】已知函数f(x)＝ln

此时f(x)在[1，e]上为增函数，

x2 此时f(x)在[1，e]上为减函数， 当－a<x<e时，f′(x)>0，∴f(x)在(－a，e)上为增函数，∴f(x)min＝f(－a)＝ln(－a)＋1＝3，∴a＝－2综上所述，a＝－e. －x<x h′(x)＝x－6x＝

22【解析】若a＞0，f(a)＝－a2＜0，f(f(a))＝a4－2a2＋2＝2，a＝2.a≤0，f(a)＝a2＋2a＋2＝(a＋1)2＋1＞0，f(f(a))＝－(a2＋2a＋2)2＝＝ 1＝【解析】解 1＝

—(2)f(x)－g(x)＝02x1—当x≤0时，显然不满足方程，当x＞0时，由2x 2x＝1±22x＞02x＝12，即x＝log2(1＋2)．

（2）k的取值范围是

∴2≤－2或2n1n

1n

1

(a1)21n3立，试求实数a的取值范 2f(n) 1(nN*且n2),f(n1)f(n) n n 2n 2n n (2n1)(2nf

n2时,f(n)f(2)7,要使f(n)

1

(a1)2对一切n2是关于

1

(a1)2

，即log

(a11,a1,a11a1a

51，故所求a的取值范围是

5 f(xf(x0的解集是(0,5f(x在区间1,4上的最大值是12f(x的解析式是否存在整数mf(x370在区间(mm1)x求出m的值；若不存在，说明理由 f(x)是二次函数，且f(x)0的解集是f(xax(x5)(a0f(x在区间1,4f(1)由已知，得6aaf(x)2x(x5)2x210x(x（II）f(x370等价于方程2x310x237xh(x2x310x237,则h'(x)6x220x2x(3x当(0,)当3

h'(x 0h,

x(,)3

h'(x 0h,10 0h,(

h0 (4) 27∴方程h(x0在区间(3,10),(104)内分别有唯一实数根，而在区间(0,3),(4 在惟一的自然数m3,f(x370在区间(mm1)xb (2)∵f(x)=－(x－1+1≤1，∴4n≤1n≤4

f(m)m,nf(n

4m22m m0或m 即n22n

m<n≤4由以上知满足条件的m,n存在,m=－2,n=0.f(x)x1，x2

方法二由题意，知

（ ≤1－（ 【解析】(1)

2 －2 1

m≥1＋2或m≤1－即－2<m≤1－f(x)＝4x＋m·2x＋1有且仅有一个零点，即方程(2x)2＋m·2x＋1＝0仅有一个实根．Δ>0m>2m<－2f(x)有两个零点或没有零点．

12x4xa2a1,x∈(－∞1］时f(x)a34

,12x4x ： >0,且 >0,∴1+2x+4x·a>0,a>( )a2a

4 21x∈(－∞1]时y=4

y2xy(11在(－∞1](11max=34 23

4 2 3a>－,a的取值范围是(－ a2f(x)f(x)－x＝0是两个不给出，因而充分利用二次函数的性质，引进辅助函数g(x)＝f(x)－x，凸现已知条件的联系，是解题的关 (x－x1)(x－x2)>0,a＞0,g(x)=a(x－x1)(x－x2)＞0=1

,∴x1－x>0,a得 ∴f(x)＜x1即b（2）由题意知x0=－ ,∵x1，x2是方程f(x)－x=0的根 b即x1，x2是方程ax2＋(b－1)x＋2=0的根．∴x1+x2= a∴x=－

=a(x1x2)1=1x+1

1 2∵x<1,∴x<x120

2

化出含x，y的方程，问题便迎刃而解．1tan2(

x3

2

解：∵tan=2,∴ =－ 1tan2( 2xycos()

,解得

x

20

y

y 3∴ 21100元．根据经验，当年产量23750502a50b a 800002002a200bc,解得b500,R=f(Q)=21137503502a350b