微积分 第二章导数与微分

第二章导数与微分★2.1导数的概念★2.2函数的求导法则★2.3高阶导数★2.4隐函数的导数★2.5函数的微分目录2.1导数概念

★引例★导数的定义☆例2.1.1☆例2.1.2☆例2.1.3☆例2.1.4☆例2.1.5☆例2.1.6★导数的几何意义★左右导数★函数可导性与连续性的关系★定理2.1.1☆例2.1.7☆例2.1.8★内容小结★思考题★练习题一、引例引例1瞬时速度问题

设有一质点作变速直线运动,其运动方程为时刻的瞬时速度求:质点在返回时

刻瞬时速度变化不大,所以质点在在Δt

时间内速度2.若质点作变速直线运动

1.若质点作匀速直线运动s0由于速度是连续变化的,分析：可以近似地用平均速度代替瞬时速度返回于是当时,的极限即为越小,近似的程度越好返回引例2.切线问题割线的极限位置——切线位置播放返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回如图,如果割线MN绕点M旋转而趋向极限位置MT,直线MT就称为曲线C在点M处的切线.极限位置即返回二、导数的定义设函数在点存在,并称此极限为则称函数的某邻域内有定义,当自

在点处可导,

在点的导数.记作

返回不存在,称则称函数在点处不可导,

二、导数的定义返回

注：反映的是自变量从改变到时,函数的平均变化速度，速度,称为函数的平均变化率；而导数反映的是函数在点处的变化速度,称为函数处的变化率.在点返回导数的定义也可以采取不同的表达形式.

则1、令

则2、令

返回★★关于导数的说明：返回

根据导数的定义求导,一般包含以下三个步骤：2.求两增量的比值：3.求极限：

1.求函数的增量：返回例2.1.1

求函数在x=2处的导数解当x由2改变到时,函数相应的增量为.所以

返回解.即

例2.1.2求函数的导数返回例2.1.3解:更一般地例如,返回例2.1.4解:返回例2.1.5解:返回例2.1.6解:返回三、导数的几何意义切线方程为法线方程为返回四、左右导数返回四、左右导数类似地,可以定义函数y=f(x)在x0处的右导数:

返回★★返回★2.右导数:左右导数:1.左导数:★返回

注：该命题的逆命题不成立,即函数在某点连续,但在这点不一定可导.五、可导与连续的关系证=0定理2.1.1返回例2.1.7解:显然

f(x)=|x|在x=0处连续.返回注意:该定理的逆定理不成立.连续函数不存在导数举例0例如,返回例如,01返回例如,011/π－1/π返回返回例2.1.8解返回注：从上述两个例子说明,连续是可导的必要条件,但不是充分条件,即可导一定连续,但是连续不一定可导.根据这个定理,我们还知道,如果函数在某点不连续,则它在该点处一定不可导.返回小结1.导数的实质:增量比的极限;3.导数的几何意义:切线的斜率;4.函数可导一定连续，但连续不一定可导;5.求导数最基本的方法:由定义求导数.6.判断可导性不连续,一定不可导.连续直接用定义;看左右导数是否存在且相等.返回思考题:返回思考题解答:返回返回返回返回返回练习题答案返回2.2函数的求导法则

★导数的四则运算法则★反函数的导数☆例2.2.1-例2.2.2☆例2.2.3☆例2.2.4☆例2.2.5-例2.2.6★复合函数求导法则★初等函数求导法则★定理2.2.3☆例2.2.7-例2.2.8☆例2.2.9☆例2.2.10★定理2.2.1★定理2.2.2★内容小结★思考题★练习题一、导数的四则运算定理2.2.1

如果函数uu(x)及vv(x)在点x具有导数那么它们的和、差、积、商(除分母为零的点外)都在点x具有导数并且[u(x)v(x)]=u(x)v(x)[u(x)v(x)]=u(x)v(x)+u(x)v(x)(v(x)0)返回证（3）取得增量u,v,函数也取得增量当x取增量x时,函数u(x),v(x)分别返回求导法则的推广

(uvw)=uvw(uvw)=uvw+uvw+uvw

特殊情况

求导法则若在法则(2)中令v(x)=C(C为常数)，则有(Cu)=Cu

若在法则(3)中令u(x)=C(C为常数)，则有返回例2.2.1解例2.2.2解

返回例2.2.3

求证证:

类似可证:返回二、反函数的导数定理2.2.2

如果函数xf-1(y)在某区间Iy内单调、可导且

那么它的反函数yf

(x)在对应区间Ix内也可导并且

即反函数的导数等于直接函数导数（不等于零）的倒数.返回解类似可求得例2.2.4求函数的导数.在内单调、可导且内有所以在对应区间返回三、复合函数求导法则定理2.2.3

如果ug(x)在点x可导函数yf(u)在点u处可导则复合函数yf[g(x)]在点x处可导且其导数为

证明

设x取增量x,则u取得相应的增量u,

从而y取得相应的增量y,即u=g(x+x)g(x),y=f(u+u)f(u).

返回因为u=g(x)可导,则必连续,所以x

0时,当u=0时,可以证明上述公式仍然成立.因此当u

0时,有u

0返回例如,关键:搞清复合函数结构,由外向内逐层求导.推广：此法则可推广到多个中间变量的情形.返回熟练之后,计算时可以不写出中间变量,而直接写出结果.例2.2.5解例2.2.6解设y=lnu,u=sinx,则返回例2.2.7解例2.2.8解返回例2.2.9解求分段函数导数时，在每一段内的导数可按照一般求导法则来求,但在分段点处的导数要用左右导数的定义来求.返回例2.2.9解所以返回解

设例2.2.10已知可导，求函数的导数返回四、初等函数的求导法则1、基本初等函数的导数公式

(1)(C)0(2)(xm)m

xm1(3)(sinx)cosx(4)(cosx)sinx(5)(tanx)sec2x(6)(cotx)csc2x(7)(secx)secxtanx(8)(cscx)cscxcotx(9)(a

x)a

xlna(10)(e

x)ex返回2、函数的和、差、积、商的求导法则4、复合函数的求导法则3、反函数求导法则

(1)(u

v)=u

v

(2)(Cu)=Cu(C是常数)

(3)(uv)=uv+u

v

返回小结反函数的求导法则（注意成立条件）;复合函数的求导法则（注意函数的复合过程,合理分解正确使用链导法）;已能求导的函数:可分解成基本初等函数,或常数与基本初等函数的和、差、积、商.返回1.对吗?思考题返回2.

设其中在因故正确解法:时,下列做法是否正确?在求处连续,返回3.

求下列函数的导数解:(1)(2)或返回4.

设求解:

方法1利用导数定义.方法2利用求导公式.返回练习题返回返回练习题答案返回返回2.3高阶导数★高阶导数的定义☆例2.3.1-例2.3.2☆例2.3.3☆例2.3.4★引例★内容小结★思考题★练习题t时刻加速度为自由落体的运动方程为，所以t时刻瞬时速度为这里的加速度a就是路程函数S(t)对时间t的导数的导数,称为S(t)对t的二阶导数,记为S"(t),即a(t)=S"(t)返回定义2.3.1如果函数f(x)的导数在x点处仍可导，则称在x点处的导数为函数f(x)在x点处的二阶导数，记为或类似地,二阶导数的导数称作函数的三阶导数，记为或返回一般地,f(x)的n-1阶导数的导数称为f(x)的n阶导数，记为或二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.返回例2.3.1解例2.3.2解一般地,可得

返回注意:

求n阶导数时,求出1-3或4阶后,不要急于合并,分析结果的规律性,写出n阶导数.(数学归纳法证明)——逐阶求导，寻求规律，写出通式例2.3.3解返回例2.3.4

求正弦函数和余弦函数的n阶导数解

ysinx一般地可得返回小结1、高阶导数的定义;2、高阶导数的运算法则3、n阶导数的求法。返回思考题设连续，且，求.返回思考题解答可导不一定存在故用定义求返回练习题返回返回返回练习题答案返回返回2.4隐函数的导数

★隐函数的导数★对数求导法☆例2.4.1☆例2.4.2☆例2.4.3☆例2.4.4☆例2.4.5☆例2.4.6★参数方程的导数★内容小结★思考题★练习题但是有些变量y与x之间的函数关系不容易以显函数的形式表达出来.例如一、隐函数的导数由表示的函数,称为显函数.又如,显函数不能显化,但可确定y是x的函数.若由方程可确定y是x的函数,函数为隐函数.则称此定义返回假设由方程所确定的函数为y=f(x),则把它代回方程F(x,y)=0中，得到恒等式利用复合函数求导法则，在上式两边同时对自变量x求导，再解出所求导数，这就是隐函数求导法返回例2.4.1解

方程两边同时对自变量x求导整理得

解得

返回例2.4.2解

方程两边同时对自变量x求导,得整理得

在点(2,-2)处，

于是，在点(2,-2)处的切线方程为即返回例2.4.3解

方程两边同时对自变量x求导,得解得

而

返回解由已知得

代入上式，可得

例2.4.3返回二、对数求导法对于有些函数,使用对数求导法求导要比通常的方法简便.观察函数对数求导法适用于多个函数相乘或幂指函数求导。先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导方法求出导数.——目的是利用对数的性质简化求导运算。--------对数求导法返回例2.4.4解

方程两边同时取对数等式两边同时对x求导，得

解得

返回例2.4.5解

方程两边同时取对数等式两边同时对x求导，得

解得

返回三、参数方程的导数例如消去参数问题:消参困难或无法消参如何求导?返回返回由复合函数及反函数的求导法则得返回例2.4.6解返回解例2.4.6返回小结隐函数求导法则:直接对方程两边求导;对数求导法:对方程两边取对数,按隐函数的求导法则求导;参数方程求导:实质上是利用复合函数求导法则;返回思考题返回思考题解答不对．返回练习题返回返回返回返回练习题答案返回返回★微分在近似计算中的应用2.5函数的微分★引言★微分的定义☆例2.5.1-例2.5.2☆例2.5.3-例2.5.4☆例2.5.5☆例2.5.6★函数可微的条件★微分的几何意义★微分公式与微分运算法则☆例2.5.7☆例2.5.8★微分的形式不变性☆例2.5.9★内容小结★思考题★练习题前面我们从变化率问题引出了导数概念，它是微分学的一个重要概念。在工程技术中，还会遇到与导数密切相关的另一类问题，这就是当自变量有一个微小的增量时，要求计算函数的相应的增量。一般来说，计算函数增量的准确值是比较繁难的，所以需要考虑用简便的计算方法来计算它的近似值。由此引出了微分学的另一个基本概念——微分。返回一、微分的定义实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量.返回再例如,既容易计算又是较好的近似值问题:这个线性函数(改变量的主要部分)是否所有函数的改变量都有?它是什么?如何求?返回定义

设函数y=f(x)在点x0的某领域内有定义,可表示为如果函数在点x0处的改变量y=f(x0+x)–f(x0)y=Ax+o(x),其中A是与x无关的常数,则称函数y=f(x)在点x0处是可微的,且称Ax为函数y=f(x)在点x0处的微分,记做dy,即返回2.说明：的高阶无穷小；是比(1)是自变量的改变量的线性函数；(2)(3)是比高阶的无穷小；(4)当很小时，（线性主部).返回二、可微的条件定理2.5.1证(1)必要性返回(2)充分性返回返回例2.5.1求函数y=f(x)=x

2当由2改变到2.02时的微分.解函数的微分为dy=2xx.由已知条件:x=2,x=0.02,故例2.5.2解返回三、微分的几何意义几何意义:(如图)MT）PNQ返回四、基本初等函数的微分公式与微分运算法则求法:计算函数的导数,乘以自变量的微分.1.基本初等函数的微分公式返回2.微分的四则运算法则返回五、复合函数的微分——微分形式的不变性设y=f(u)及u=u(x)均可导,则复合函数y=f(u(x))的微分是dy=f

(u)u(x)dx

.

由于u(x)dx=du,所以dy=f

(u)du.

由此可见,无论是自变量还是中间