弹塑性力学第五章课件

第五章线弹性力学问题的基本解法和一般性原理§5-3法§5-1基本方程和边界条件的汇总§5-2位移法§5-4线弹性力学的几个原理§5-5线弹性力学的几个问题的求解3/27/20231§5-1基本方程和边界条件的汇总在第二、三、四章较全面的讨论了弹性变形体在承受外力作用时，发生变形和抗力（内力），这些变形和内力应遵循的三个基本规律，从而导出了待求物理量（应力、应变、位移）所须满足的基本方程，共十五个，现汇总如下。3/27/20232§5-1基本方程和边界条件的汇总

1.1基本方程汇总

1.1.1平衡微分方程（3个）

体力与应力之关系：

指标符号表示

ji,j+fi=03/27/20233§5-1基本方程和边界条件的汇总a.几何方程

指标符号表示

3/27/20235b.变形协调方程

指标符号表示

§5-1基本方程和边界条件的汇总3/27/20236b.变形协调方程

§5-1基本方程和边界条件的汇总3/27/20237§5-1基本方程和边界条件的汇总1.3本构（物理）方程（六个）

指标符号表示

上述所有方程为ij

、ij、ui在V上必须满足的方程，同时在S上（边界上）有边界力或边界位移。3/27/20239§5-1基本方程和边界条件的汇总1.2边界条件

1.2.1力的边界条件

在S

上3/27/202310§5-1基本方程和边界条件的汇总1.2.2位移边界条件

在Su上

由三个基本规律导出的应力、应变和位移满足的基本方程加上相应的边界条件建立了线弹性问题解析法（微分提法）体系，从数学上看是求偏微分方程组的边值问题。3/27/202311§5-2位移法

弹性力学问题的待求函数共15个（ij 、ij、ui），如果一视同仁的同等看待，由给定的边界条件下求偏微分方程组的定解是不可能的。由物理量所满足的方程组中显示出来）。3/27/202313§5-2位移法为了有效地求解，从15个量中选取一部分作为基本待求未知函数，而其它待求函数看成由基本待求函数导出的未知函数，这样使得求解方程减少，且主攻方向明确（求基本未知量），基本未知函数选取不同，导出的求解步骤和方程名称不同，如：位移法、应力法和混合法。3/27/202314§5-2位移法位移法求解思想：

选取ui

为基本未知函数，而ij和

ij均看成是由ui导出的未知函数，这样15个方程中某些方程成为的ui

ijij关系式。3/27/202315§5-2位移法位移法的基本方程（3个）推导（用指标符号表示）应变用位移表示

线性各向同性材料的应力用位移表示：

3/27/202317§5-2位移法上式代入平衡微分方程，得到位移法的基本方程

在V上

或

在V上（拉米－纳维叶方程）

3/27/202318§5-2位移法

由于

——为体积应变

在V上

边界条件：

a.（在Su上）

b.

(在S

上)或

(在S

上)

3/27/202319§5-3应力法如果将ij 作为基本未知量，力的边界条件可直接用，下面讨论一下用ij作为基本未知函数求解基本方程。选取ij为基本未知函数，而

ij和ui均看成是由ij导出的未知函数，这样15个方程中某些方程成为的ij

ijui关系式。3/27/202321§5-3应力法基本未知函数ij应变kl用ij

表示uk用ij表示平衡微分方程(3个)力的边界条件（在S上）变形协调方程用ij表示（6个）物理方程

几何方程积分

几何方程可积条件

3/27/202322§5-3应力法

求解ij

的基本方程（9个）

用指标符号表示的基本方程

ji,j+fi=0

在V上

在V上

力的边界条件

在S上

3/27/202323§5-4线弹性力学的几个原理线弹性体在给定体力、面力和约束条件下而处于平衡状态，变形体内各点的应力、应变及位移的解是唯一的

——解的唯一性定理。

可采用逆推法证明设在、、作用下有两组解

和

均能满足求解方程及边界条件。4.2解的唯一性定理3/27/202325§5-4线弹性力学的几个原理将两组方程相减可得：

平衡方程

令

则平衡方程为

ij满足无体力平衡方程（齐次方程）。

3/27/202326§5-4线弹性力学的几个原理唯一性定理的好处是无论用什么方法求解，只要能满足全部基本方程和边界条件，就一定是问题的真解。3/27/202329§5-4线弹性力学的几个原理4.3圣维南原理——局部效应原理

从前面弹性力学基本解法的讨论，可知弹性力学的定解方程要求边界条件处处给出（清楚），待求函数在边界上也须处处满足，但在实际问题中经常碰到情况：物体局部上的面力分布不清楚，仅知局部面力的合力和合力矩；

PP3/27/202330§5-4线弹性力学的几个原理(2)解题时往往难于满足逐点给定的精确边界条件：如固定端u1=u=0、u2=v=0无法满足。所以希望能找到一种边界条件的合理简化方案。

MMPP3/27/202331§5-4线弹性力学的几个原理

由作用在物体局部表面上的平衡力系（即合力、合力矩为零）所引起的应变，在远离作用区的地方可以忽略不计，如下图。1855年圣维南在梁理论的研究中提出:PPPP/APP/A3/27/202332§5-4线弹性力学的几个原理因此，作用在弹性体局部面积上的力系可以用作用在同一局部面积上的另一静力等效力系来代替。圣维南原理以利于求解实际问题，但解答在原局部区域内是不能用。3/27/202333§5-4线弹性力学的几个问题的求解逆解法：首先根据基本方程的特点找出能满足方程的一组解，然后代入边界条件检验，判断是否为正确解。半逆解法：根据边界条件特点或对应力、应变和位移状态分布趋势的判断，假设能满足部分边界条件和域内方程的未知函数，并由其它边界条件和域内方程导出其余未知函数。4.3逆解法和半逆解法3/27/202334§5-5线弹性力学的几个问题的求解例题1

正六面体不受体力作用，但各表面受均匀压力p作用。（右图）

这个问题为（相当）静水压力问题。

采用应力法及逆解法。猜应力：x=y=z=-p，xy=yz=zx=0；3/27/202335§5-5线弹性力学的几个问题的求解应力解代入平衡微分方程（无体力时）：

ji,j=0满足应力解代入应力表示的变形协调方程（无体力时）：应力解是否为真解?它须满足平衡微分方程和应力表示变形协调方程、是否满足力的边界条件。满足。3/27/202336§5-5线弹性力学的几个问题的求解应力解代入力的边界条件：

可验证应力解满足力的边界条件。(作业)

因此，x=y=z=-p，xy=yz=zx=0满足应力法的所有方程，为真解。正六面体内各点主应力

1=2=3=-p。

应力求出后依次可求出

ij，ui

3/27/202337§5-5线弹性力学的几个问题的求解由物理方程得应变

代入几何方程并积分可求位移

3/27/202338§5-5线弹性力学的几个问题的求解3/27/202339§5-5线弹性力学的几个问题的求解例题2

等截面柱体在自重作用下

等截面柱体受体力fz=-g（在图示坐标系），为柱的密度，g为重力加速度。而fx=fy=0xzlxy3/27/202340§5-5线弹性力学的几个问题的求解由平衡微分方程

ji,j+fi=0猜应力解：

x=y=xy=yz=zx=0,z=gz

代入平衡微分方程，满足。

应力解代入应力表示的变形协调方程（常体力时）：

满足。采用应力法及逆解法。3/27/202341§5-5线弹性力学的几个问题的求解在柱体侧边：

在柱体侧边满足力的边界条件。

应力解代入力的边界条件：

3/27/202342§5-5线弹性力学的几个问题的求解应力解代入力的边界条件

在柱体底边满足力的边界条件。

在柱体顶边（z=l）：

l=m=0，n=1，面力未给出，但面力的合力与应力满足平衡。在柱体底边（z=0）：

l=m=0，n=-1，

3/27/202343§5-5线弹性力学的几个问题的求解

因此，应力解x=y=xy=yz=zx=0,z=gz

可以作为本题的解答（在柱体顶边附近不能用）。由物理方程得应变

代入几何方程并积分可求位移。(作业:求位移)3/27/202344§5-5线弹性力学的几个问题的求解

例题3

等直圆截面杆的自由扭转（无体力作用）

圆截面直杆受扭矩MT作用，仍采用应力法及逆解法。

zxy

R

MT

MT根据材料力学解在V内任一点P(r,),

x=rcos，y=rsin

受剪应力作用（无正应力），则x

y

R

n

MT

r

P3/27/202345§5-5线弹性力学的几个问题的求解——极惯性矩

沿x,y方向分解:

为假设的应力解.x

y

R

n

MT

r

P3/27/202346§5-5线弹性力学的几个问题的求解而其余应力分量设为

x=y=z=xy=0，且体积应力=0应力解代入平衡微分方程（无体力时）：

ji,j=0满足应力解代入应力表示的变形协调方程（无体力时）：满足

3/27/202347§5-5线弹性力学的几个问题的求解

检验边界条件：

在圆柱杆侧表面：

面力

或x

y

R

n

MT

r

P3/27/202348§5-5线弹性力学的几个问题的求解3/27/202349§5-5线弹性力学的几个问题的求解在z=l表面：

根据力的边界条件，可导出

zxy

R

MT

MT3/27/202350§5-5线弹性力学的几个问题的求解如果在z=l表面上，面力分布确是如此，则材料力学应力解为真解。否则，可采用圣维南原理。如果面力和不能按上式分布，根据圣维南原理，要求3/27/202351§5-5线弹性力学的几个问题的求解由物理方程得应变

代入几何方程并积分可求位移

3/27/202352§5-5线弹性力学的几个问题的求解如令在x=y=z=0（坐标原点）处：

——刚体位移被约束

3/27/202353§5-5线弹性力学的几个问题的求解则

k为圆柱体单位长度的扭转角

圆柱体截面上的径向位移和环向位移：

3/27/202354§5-5线弹性力学的几个问题的求解例题4

设有半空间体，试求在自重g和表面均布压力q作用下的应力和位移。qxz

yg已知：半空间体体力

fx=fy=0，fz=g；

在z=0面上，面力

3/27/202355§5-5线弹性力学的几个问题的求解设当z=h时，w=0.按位移法求解（采用半逆解法）。由于半空间体，任何过z轴的平面均为对称面，而垂直对称面位移为零。所以猜：u=v=0，w=w(z)

xzghq3/27/202356§5-5线弹性力学的几个问题的求解将半逆解法的位移代入位移法的基本方程

而

当

i=1

和

i=2时，前两个基本方程满足。

u=v=0，w=w(z)

3/27/202357§5-5线弹性力学的几个问题的求解

第三个方程为

或

两次积分得

A、B由z=0处的力边界条件和z=h处w=0的位移边界条件来定.3/27/202358§5-5线弹性力学的几个问题的求解通过上面几个简例可见，解题采用了逆解法或半逆解法。

逆解法是猜出基本未知函数的解，并检验是否满足基本方程和在边界上是否满足边界条件。半逆解法是猜出基本未知函数的部分解或某些解的特性，然后代入基本方程和边界条件，导出基本解的结果，如不能完全满足边界条件还需修正所设的基本未知函数。3/27/202359

1.写出位移法基本方程