考研数学一(概率论与数理统计)模拟试卷20(题后含答案及解析)

考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷20(题后含答案及解析)题型有：1.选择题2.填空题3.解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1．若，则必有A．P(C)≤P(A)+P(B)一1．B．P(C)≥P(A)+P(B)一1C．P(C)=P(AB)D．P(C)=P(A∪B)．正确答案：B涉及知识点：概率论与数理统计2．设0＜P(A)＜1，0＜P(B)＜1，P(A|B)+=1，则A与B必A．不相容．B．对立．C．独立．D．不独立．正确答案：C涉及知识点：概率论与数理统计3．设三事件A，B，C两两独立，则A，B，C相互独立的充分必要条件是：A．A与BC独立．B．AB与A∪C独立．C．AB与AC独立．D．A∪B与A∪C独立．正确答案：A解析：∵“两两独立”指P(AB)=P(A)P(B)，P(AC)=P(A)P(C)，P(BC)=P(B)P(C)；而“相互独立”指上述3个式子，另加P(ABC)=P(A).P(B)P(C)共4个式子成立．注意P(ABC)=P(A(BC))，只有(A)可选．知识模块：概率论与数理统计4．设三事件A，B，C相互独立且0＜P(C)＜1，则下述事件中不独立的是：A．B．C．D．正确答案：B解析：∵AB与中都含C的运算(即有公共的事件C)，无法保证独立，而另3项选择却都是“相互独立”的．知识模块：概率论与数理统计5．设事件A与B独立且不相容，则min[P(A)，P(B)]=_______．A．1B．0C．D．不能确定．正确答案：B解析：∵AB=φ，得0=P(AB)=P(A)P(B)，可见P(A)与P(B)中至少有一个为0，故min[P(A)，P(B)]=0．知识模块：概率论与数理统计6．对事件A，B,已知P(A)=1，则必有：A．A=Ω．B．C．A与B独立．D．P(B)＜P(A)正确答案：C解析：“概率为0或1的事件与任一事件独立”，可见应选(C)．注意由“P(A)=1”推不出“A=Ω”，而有可能B=Ω呢!故另3个选项不行．知识模块：概率论与数理统计7．抛n次硬币(该币每次出现正面的概率均为p)，则共出现偶数次正面的概率为：A．B．C．D．正确答案：D涉及知识点：概率论与数理统计8．设X～N(μ，σ2)，则随着σ的增大，P{|X一μ|＜σ}：A．单调增大．B．单调减小．C．保持不变．D．增减不定．正确答案：C涉及知识点：概率论与数理统计9．设随机变量X的密度为f(x)，且f(-x)=f(x)，x∈R1．又设X的分布函数为F(x)，则对任意实数a，F(-a)等于A．1一∫0af(x)dxB．C．F(a)D．2F(a)一1正确答案：B涉及知识点：概率论与数理统计填空题10．对事件A，B，已知，则P(A)=_____，P(B)=______=_______正确答案：涉及知识点：概率论与数理统计11．设10件产品中有4件不合格品，从中任取2件．已知所取的两件中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率为________．正确答案：记A={取的2件产品中至少有1件是不合格品}，B={取的2件产品都是不合格品}，则P(A)=1-，有AB=B．所求概率为P(B|A)=涉及知识点：概率论与数理统计12．对二事件A、B。已知P(A)=0．6，P(B)=0．7，那么P(AB)可能取到的最大值是______．P(AB)可能取到的最小值是_______．正确答案：0.6,0.3解析：注意，∴P(AB)≤P(A)=0．6，而若(这与P(A)=0．6＜P(B)=0．7不矛盾)，则P(AB)=P(A)=0．6，可见P(AB)可能取的最大值是0．6；又∵1≥P(A∪B)=P(A)+P(B)一P(AB)=1．3一P(AB)，∴P(AB)≥0．3而当A∪B=Ω时，P(AB)=0．3，或见P(AB)可能取的最小值是0．3．知识模块：概率论与数理统计13．设一批产品中一、二、三等品各占60％，30％，10％．现从中任取一件，结果不是三等品，则取到的是一等品的概率为_________．正确答案：2/3解析：记Ai={取得i等品}，i=1，2，3．则=0．9，而=P(A1)=0．6，故知识模块：概率论与数理统计14．设随机变量X的概率密度为f(x)=，一∞＜x＜+∞，问X服从什么分布(若有参数须答出)?且常数A=________．正确答案：涉及知识点：概率论与数理统计解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．设考生的报名表来自三个地区，各有10份、15份、25份报名表，其中女生表分别为3份、7份、5份．现随机抽一个地区的报名表，从中先后任取2份．(1)求先取的一份是女生表的概率；(2)已知后取的一份是男生表，求先取的一份是女生表的概率．正确答案：记Ai={取的是第i区的报名表}，i=1，2，3，Bi={从报名表中第i次取的是女生表)，i=1，2．则涉及知识点：概率论与数理统计16．将n个同样的盒子和n只同样的小球分别编号为1，2，…，n．将这n个小球随机地投入n个盒子中，每个盒子中投入一只小球．问至少有一只小球的编号与盒子的编号相同的概率是多少?正确答案：涉及知识点：概率论与数理统计17．在随机地抛掷两枚均匀骰子的独立重复试验中，求两枚骰子点数和为5的结果出现在它们的点数和为7的结果之前的概率．正确答案：记Ai={第i次抛时点数之和为5}，Bi={第i次抛时点数之和为7}，则又记C1=A1，Ck={前k一1次抛掷时点数之和非5非7，第k次抛掷时点数之和为5}k=2，3，…而C1，C2，…两两不相容.涉及知识点：概率论与数理统计18．某厂生产的各台仪器，可直接出厂的占0．7，需调试的占0．3，调试后可出厂的占0．8，不能出厂的(不合格品)占0．2．现生产了n(n≥2)台仪器(设每台仪器的生产过程相互独立)，求：(1)全部能出厂的概率；(2)恰有2台不能出厂的概率；(3)至少有2台不能出厂的概率．正确答案：对一台仪器而言，记A={可直接出厂}，B={最终能出厂}，则，P(A)=0．7，P(B|A)=0．8，∴P(B)=P(A)+=0．94，故(1)Cnn.0．94n.(1—0．94)n-1=0．94n；(2)Cnn-2.0．94n-2.0．062；(3)1一Cnn涉及知识点：概率论与数理统计20．设事件A、B、C两两独立，且ABC=ψ,P(A)=P(B)=P(C)=p，问p可能取的最大值是多少?正确答案：P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)一P(AB)一P(AC)一P(BC)+P(ABC)=3p一3p2，又P(A∪B∪C)≥P(A∪B)=P(A)+(B)一P(AB)=2p一p2．∴2p—p2≤3p一p2，解得P≤(p=0显然无意思)；取Ω={ω1，ω2，ω3，ω4}，p(ωi)涉及知识点：概率论与数理统计21．3架飞机(一长二僚)去执行轰炸任务，途中要过一敌方的高炮阵地，各机通过的概率均为0．8，通过后轰炸成功的概率均为0．3，各机间相互独立，但只有长机通过高炮阵地才有可能轰炸成功．求最终轰炸成功的概率．正确答案：涉及知识点：概率论与数理统计22．将一枚均匀硬币连掷3次，X为这3次抛掷中正面出现的次数，Y为这3次抛掷中正、反面出现的次数之差的绝对值．试写出(X，Y)的分布列和关于X，Y的边缘分布列，并判断X与Y是否独立．正确答案：P(X=k)=,而Y=|X一(3一X)|=|X-3|，得(X，Y)的分布如下表，并算出边缘分布列．∵P(X=0，Y=1)=0≠一P(X—0)P(Y=1)，∴X与Y不独立．涉及知识点：概率论与数理统计23．设二维随机变量(X，Y)的分布函数为：一∞＜x＜+∞，一∞＜y＜+∞．求：(1)常数A，B，C；(2)(X，Y)的概率密度f(x，y)；(3)关于X和Y的边缘密度fX(x)和fY(y)．正确答案：涉及知识点：概率论与数理统计24．甲袋中有2个白球，乙袋中有2个黑球，每次从各袋中分别任取一球交换后放人对方袋中，共交换3次．用X表示3次交换后甲袋中的白球数，求X的分布列．正确答案：记Ai={经过2次变换后甲袋中有i个白球}，i=0，1，2．则P(A0)=涉及知识点：概率论与数理统计25．设随机变量X的概率密度为，一∞＜x＜+∞，求：(1)常数C；(2)X的分布函数F(x)和P{0≤X≤1)；(3)Y=e-|X|的概率密度fY(y)．正确答案：Y的分布函数为FY(y)=P{Y≤Y}=P{e-X≤y}显然，y≤0时，FY(y)=0，y≥1时，FY(y)=1，这时fY(y)=FY’(y)=0，当0＜y＜1时，FY(y)=P{-|X|≤lny}=P{|X|≥一lny}=1一P{lny≤X≤-lny}=1一∫lny-lnyf(x)涉及知识点：概率论与数理统计26．某种产品的次品率为0．1，检验员每天独立地检验6次，每次有放回地取10件产品进行检验，若发现这10件产品中有次品，就去调整设备(否则不调整)．记X为一天中调整设备的次数，试求X的分布列．正确答案：设检验员取出的10件产品中有Y件次品，则y～B(10，0．1)而X～B(6，p)，其中p=P(Y＞1)=1—P(Y=0)一P(Y=1)=1—C100.0．10.0．910-0一C101.0．11.0．910-1=0．2639，故P(X=k)=C6k.0．2639k涉及知识点：概率论与数理统计27．设随机变量，i=1，2；且P(X1X2=0}=1．则P{X1=X2)等于正确答案：由已知可得(X1，X2)的联合及边缘分布列如下表．由P(X1X2=0)=1可推出其中的4个0(如：0≤P(X1=1，X2=1)≤P(X1X2=1)≤P(X1X2≠0)=1一P(X1X2=0)=0，∴P(X1=1，X涉及知识点：概率论与数理统计28．设二维随机变量(X，Y)的概率密度为求(X，Y)的联合分布函数F(x，y)．正确答案：F(x，y)=∫-∞xdu∫-∞y．故x≤0或y≤0时，F(x,y)=0；X≥1，y≥1时，F(x，y)=∫01du∫014uvdv=1；x≥1，0＜y＜1时，F(x，y)=∫01du∫0y4uvdv=y2(图中阴影部分即为涉及知识点：概率论与数理统计29．设随机变量X的绝对值不大于1，P(X=一1)=，P(X=1)=，在{一1＜X＜1}出现的条件下，X在区间(一1，1)内的任一子区间上取值的条件概率与该子区间的长度成正比，求X的分布函数F(x)．正确答案：F(x)=P(X≤x)，由已知得：x＜-1时，F(x)=0;x≥1时，F(x)=1;F(-1)=P(X≤-1)=P(X=一1)=，当一1＜x＜1时，有P{一1≤X≤x|一1＜X＜1}=k(x+1)，而P(一1＜X＜1)=，可化得P(一1＜X≤x)=k’(x+1)，其中(待定)，故P(X≤x)=P(一1≤X≤x)=P(X=一1)+P(一1＜X≤x)=+k’(x+1)，又由=P(X=1)=F(1)一F(1—0)=1一(+2k’)，得，即一1＜x＜1时，F(x)=涉及知识点：概率论与数理统计30．设一设备在任何长为t的时间内发生故障的次数N(t)服从参数为λt的泊松分布，求：(1)相继两次故障之间的时间间隔T的概率分布；(2)在设备已无故障工作8小时的情况下，再无故障运行8小时的概率．正确答案：(1)t＜0时，P(T＞t)=1；t≤0时，p(T＞t)=P{N(t)=0)=