考研数学一(概率论与数理统计)历年真题试卷汇编11(题后含答案及解析)

考研数学一（概率论与数理统计）历年真题试卷汇编11(题后含答案及解析)题型有：1.选择题2.填空题3.解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1．设随机变量X～t(n)(n＞1)，Y＝．则A．Y～χ2(n)B．Y～χ2(n－1)C．Y～F(n，1)D．Y～F(1，n)正确答案：C解析：由X～t(n)，得X2～F(1，n)，故Y＝～F(n，1)，故选C．知识模块：概率论与数理统计2．设X1，X2，…，Xn(n≥2)为来自总体N(0．1)的简单随机样本，X为样本均值，S2为样本方差，则A．n～N(0，1)B．nS2～χ2(n)C．～t(n－1)D．～F(1，n－1)正确答案：D涉及知识点：概率论与数理统计3．设随机变量X～t(n)，Y～F(1．n)，给定α(0＜α＜0．5)．常数c满足P{X＞c}＝α．则P{Y＞c2}＝A．α．B．1－α．C．2α．D．1－2α．正确答案：C解析：由题意，X2与Y同分布，即｜X｜与同分布，且由0＜α＜0．5，可见c＞0，故P(Y＞c2)＝P(＞c)＝P(｜X｜＞c)＝P(X＞c)＋P(X＜－c)＝α＋α＝2α．知识模块：概率论与数理统计4．设X1，X2，…，Xn(n≥2)为来自总体N(μ，1)的简单随机样本，记，则下列结论中不正确的是A．(Xi－μ)2服从χ2分布．B．2(Xn－X1)2服从χ2分布．C．服从χ2分布．D．n(－μ)2服从χ2分布．正确答案：B解析：由题意，Xn－X1～N(0，2)，所以～N(0，1)得(Xn－X1)2～χ(1)，可见选项B结论“不正确”，就选B．知识模块：概率论与数理统计5．设总体X服从正态分布N(μ，σ2)，χ1，χ2，…，χn是来自总体X的简单随机样本，据此样本检验假设：H0：μ＝μ0，H1：μ≠μ0，则A．如果在检验水平α＝0．05下拒绝H0，那么在检验水平α＝0．01下必拒绝H0．B．如果在检验水平α＝0．05下拒绝H0，那么在检验水平α＝0．01下必接受H0．C．如果在检验水平α＝0．05下接受H0，那么在检验水平α＝0．01下必拒绝H0．D．如果在检验水平α＝0．05下接受H0，那么在检验水平α＝0．01下必接受H0．正确答案：D涉及知识点：概率论与数理统计填空题6．设随机变量X的方差为2，则根据切比雪夫不等式有估计P{｜X－E(X)｜≥2}≤_______．正确答案：解析：切比雪夫不等式为：P{｜X－E(X)｜≥ε2}≤．故P{｜X－E(X)｜≥2}≤．知识模块：概率论与数理统计7．已知一批零件的长度X(单位：cm)服从正态分布N(μ，1)，从中随机地抽取16个零件，得到长度的平均值为40cm，则μ的置信度为0．95的置信区间是_______．(注：标准正态分布函数值Ф(1．96)＝0．975，Ф(1．645)＝0．95)正确答案：(39．51，40．49)涉及知识点：概率论与数理统计8．设X1，X2，…，Xm为来自二项分布总体B(n，p)的简单随机样本，和S2分别为样本均值和样本方差．若＋kS2为np2的无偏估计量，则k＝_______．正确答案：－1解析：设总体为X，则知X～B(n，p)，EX＝np，DX＝np(1－p)．∴E＝np，ES2＝np(1－p)由题意得np2＝E(＋kS2)＝E＋kES2＝np＋knp(1－p)故得k＝－1．知识模块：概率论与数理统计9．设总体X的概率密度为其中θ是未知参数，X1，X2，…，Xn为来自总体X的简单随机样本．若cXi2是θ2的无偏估计，则c＝_______．正确答案：解析：由题意得：θ2＝＝ncE(X12)＝nc∫－∞＋∞χ2f(χ；θ)dχ＝故c＝．知识模块：概率论与数理统计10．设χ1，χ2，…，χn为来自总体N(μ，σ2)的简单随机样本，样本均值＝9．5，参数μ的置信度为0．95的双侧置信区间的置信上限为10．8，则μ的置信度为0．95的双侧置信区间为________．正确答案：(8．2，10．8)涉及知识点：概率论与数理统计解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11．从正态总体N(3．4，62)中抽取容量为n的样本，如果要求其样本均值位于区间(1．4，5．4)内的概率不小于0．95，问样本容量n至少应取多大?[附表]：正确答案：设总体为X，样本均值为．由题意．X～N(3．4．36)，由题意，应有：P{1．4＜＜5．4}≥0．95(*)由(*)得：2Ф()－1≥0．05∴Ф()≥0．975，查表得≥1．96，∴n≥(3×1．96)2＝34．5744可见，n至少应取35．涉及知识点：概率论与数理统计12．设总体X～N(μ，σ2)(σ＞0)，从该总体中抽取简单随机样本X1，X2，…，X2n(n≥2)，其样本均值求统计量Y＝(Xi+i＋X－2)2的数学期望E(Y)．正确答案：若记Yi＝Xi＋Xn+i，i＝1，2，…，n则知Y1，…，Yn独立同分布．有EYi＝EXi＋EXn+i＝2μDYi＝DXi＋DXn+i＝σ2＋σ2＝2σ2，∴Yi～N(2μ，2σ2)，i＝1，2，…，n而均值由正态总体(这里看成Y～N(2μ，2σ2)为总体，Y1，…，Yn为样本)的结论可知故EY＝＝2(n－1)σ2．涉及知识点：概率论与数理统计13．设X1，X2，…，Xn(n＞2)为来自总体N(0，1)的简单随机样本，X为样本均值，记Yi＝Xi－，i＝1，2，…，n．求：(Ⅰ)Yi的方差DYi，i＝1，2，…，n；(Ⅱ)Y1与Yn的协方差Coy(Y1，Y2)．正确答案：(Ⅱ)Cov(Y1，Yn)＝Cov(X1－，Xn－)－Cov(X1，Xn)－Cov(X1，)－Cov(，Xn)十D()涉及知识点：概率论与数理统计14．设总体X的概率密度为其中θ＞－1是未知参数．X1，X2，…，Xn，是来自总体X的一个容量为n的简单随机样本，分别用矩估计法和极大似然估计法求θ的估计量．正确答案：矩估计：EX＝∫－∞＋∞χf(χ)dχ＝∫01(θ＋1)χθ＋1dχ＝令，解得．再求最大似然估计，似然函数L(χ1，…，χn；θ)为当0＜χ1，…，χn＜1时，inL＝nln(θ＋1)＋θln(χ1…χn)∴＋ln(χ1…χn)令＝0，解得θ0＝－1－由于＜0，∴lnL在θ0处取得唯一驻点、唯一极值点且为极大值，故知lnL(或L)在θ＝θ0处取得最大值．故知θ的最大似然估计为涉及知识点：概率论与数理统计15．设总体X的概率密度为X1，X2，…，Xn是取自总体X的简单随机样本．(1)求θ的矩估计量；(2)求D()．正确答案：(1)∵EX＝∫－∞＋∞χf(χ)dχ∵，故为θ的矩估计．(2)又∵EX2＝∫－∞＋∞χ2f(χ)dχ＝∫0θχ2(θ－χ)dχ＝∴DX＝EX2－(EX)2＝涉及知识点：概率论与数理统计16．设某种元件的使用寿命X的概率密度为其中θ＞0为未知参数．又设χ1，χ2，…，χn是X的一组样本观测值，求参数θ的最大似然估计值．正确答案：似然函数L(χ1，…，χn；θ)为当χi＞0时，lnL＝nln2－2χi＋2nθ∴＝2n＞0，可见lnL(或L)关于θ单调增．欲使lnL(L)达最大，则应在χi＞θ限制下让θ取得最大值，这里应为θ＝χi．故θ的最大似然估计值为．涉及知识点：概率论与数理统计17．设总体X的概率分别为其中θ(0＜θ＜)是未知参数，利用总体X的如下样本值3，1，3，0，3，1，2，3求θ的矩估计值和最大似然估计值．正确答案：先求矩估计∵E(X)＝0×θ2＋1×2θ(1－θ)＋2×θ2＋3×(1－2θ)＝3－4θ∴由题目所给的样本值算得(3＋1＋3＋0＋3＋1＋2＋3)＝2代入得．又求最大似然估计，本题中n＝8，样本值χ1，…，χ8由题目所给，故似然函数为L(θ)＝P{X＝χi}＝P{X＝0}[P(X＝1)]2P(X＝2)[P(X＝3)]4＝θ2.[2θ(1－θ)]2.θ2.(1－2θ)4＝4θ6(1－θ)2(1－2θ)4∴lnL(θ)＝ln4＋6lnθ＋2ln(1－0)＋4ln(1－2θ)令lnL(θ)＝0，得24θ2－280＋6＝0，解得θ＝，而不合题意，舍去，故得θ的最大似然估计值为．涉及知识点：概率论与数理统计18．设总体X的概率密度为其中θ＞0是未知参数．从总体X中抽取简单随机样本X1，X2，…，Xn，记＝min(X1，X2，…，Xn)．(1)求总体X的分布函数F(χ)；(2)求统计量的分布函数(χ)；(3)如果用作为θ的估计量，讨论它是否具有无偏性．正确答案：(1)F(χ)＝∫－∞χf(t)dt当χ＜0时，F(χ)＝0；当χ≥θ时，F(χ)＝∫θχ2e－2(t－θ)dt＝1－e－2(χ－θ)故F(χ)＝(2)(χ)＝P{≤χ}＝P{min(X1，…，Xn)≤χ}＝1－P{min(X1，…，Xn)＞χ}＝1－P{X1＞χ，X2＞χ，…，Xn＞χ}＝1－P{X1＞χ}P{X2＞χ}…P{Xn＞χ}＝1－[1－F(χ)]n(3)θ的概率密度为：所以涉及知识点：概率论与数理统计19．设总体X的分布函数为：其中未知参数β＞1，X1，X2，…，Xn为来自总体X的简单随机样本，求：(Ⅰ)β的矩估计量；(Ⅱ)β的最大似然估计量．正确答案：总体X的概率密度为：f(χ；β)＝F′χ(χ；β)＝(Ⅰ)EX＝∫－∞＋∞χf(χ；β)dχ＝∫1＋∞βχ－βdχ＝故解得β的矩估计为：(Ⅱ)似然函数为当χ1，…，χn＞1时，lnL＝nlnβ＝(β＋1)ln(χ1…χn)∴－ln(χ1…χn)，令＝0，解得＝，故β的最大似然估计为：．涉及知识点：概率论与数理统计20．设总体X的概率密度为其中θ是未知参数(0＜θ＜1)．X1，X2，…，Xn为来自总体X的简单随机样本，记N为样本值χ1，χ2，…，χn中小于1的个数．求θ的最大似然估计．正确答案：似然函数而由题意，χ1，χ2，…，χn中有N个的值在区间(0，1)内，故知L＝θN(1－θ)n-N∴lnL＝Nlnθ＋(n－N)ln(1－θ)令＝0，得θ＝．故知θ的最大似然估计为．涉及知识点：概率论与数理统计21．设总体X的概率密度为其中参数0(0＜0＜1)未知，X1，X2．…，Xn是来自总体X的简单随机样本，是样本均值．(Ⅰ)求参数θ的矩估汁量；(Ⅱ)判断4是否为θ2的无偏估计量，并说明理由．正确答案：(Ⅰ)EX＝∫－∞＋∞χf(χ；θ)dχ＝，得，故θ的矩估计量为．由DX≥0，θ＞0，可知E[4()2]＞θ2，有E[4()2]≠θ2，即4()2不是θ的无偏估计量．涉及知识点：概率论与数理统计22．设总体X的概率密度为其中参数A(A>0)未知，X1，X2，…，Xn是来自总体X的简单随机样本．(Ⅰ)求参数A的矩估计量；(Ⅱ)求参数λ的最大似然估计量．正确答案：(Ⅰ)由EX＝∫－∞＋∞χf(χ)dχ＝∫0＋∞λ2χ2e－λχdχ＝∴，得为λ的矩估计．(Ⅱ)似然函数为当χ1，χ2，…，χn＞0时，lnL＝2nlnλ＋ln(χ1…χn)－λχi∴，令＝0得λ＝故为λ的最大似然估计．涉及知识点：概率论与数理统计23．设总体X的概率分布为其中参数θ∈(0，1)未知．以Ni表示来自总体X的简单随机样本(样本容量为n)中等于i的个数(i＝1，2，3)．试求常数a1，a2，a3，使T＝aiNi，为θ的无偏估计量，并求丁的方差．正确答案：记p1＝1～θ，p2＝θ－θ2，p3＝θ2，则可知Ni～B(n，pi)，ENi＝npi，i＝1，2，3且DN1＝np1(1－p1)＝nθ(1－θ)于是ET＝＝n[a1＋(a2－a1)θ＋(a3－a2)θ2]为使T为θ的无偏估计量，即要求θ∈(0，1)时有ET＝θ即n[a1＋(a2－a1)θ＋(a3－a2)θ2]＝θ比较系数即得：故a1＝0，a2＝a3＝．又由N1＋N2＋N3＝n，得：涉及知识点：概率论与数理统计24．设随机变量X与Y相互独立且分别服从正态分布N(μ，σ2)与N(μ，2σ2)，其中σ是未知参数凡σ＞0．记Z＝X－Y．(Ⅰ)求Z的概率密度f(z，σ2)；(Ⅱ)设Z1，Z2，…，Zn为来自总体Z的简单随机样本，求σ2的最大似然估计量；(Ⅲ)证明为σ2的无偏估计量．正确答案：(Ⅰ)∵X与Y独立，可见Z＝X－Y服从正态分布，而EZ＝E(X－Y)＝EX－EY＝μ－μ＝0，DZ＝D(X－Y)＝DX＋DY＝σ2＋2σ2＝3σ2∴Z～N(0，3σ2)故f(z；σ2)＝，－∞＜z＜＋∞(Ⅱ)似然函数为令＝0，得σ2＝，故(Ⅲ)由EZ＝0，DZ＝3σ2，∴E(Z2)＝DZ＋(EZ)2＝3σ2∴故为σ2的无偏估计．涉及知识点：概率论与数理统计25．设总体X的概率密度为其中θ为未知参数且大于零．X1，X2．…，Xn为来自总体X的简单随机样本．(Ⅰ)求θ的矩估汁量；(Ⅱ)求θ的最大似然估计量．正确答案：矩估计：EX＝做代换：t＝，得EX＝∫0＋∞θe－tdt＝θ，∴，得．最大似然估计：似然函数为当χi＞0，i＝1，…，n时lnL＝2nlnθ－3ln(χ1…χn)－令＝0，得θ＝故θ的最大似然估计量为涉及知识点：概率论与数理统计26．设总体X的分布函数为其中θ是未知参数且大于零．X1，X2，…，Xn为来自总体X的简单随机样本．(Ⅰ)求EX与EX2；(Ⅱ)求θ的最大似然估计量；(Ⅲ)是否存在实数a，使得对任何ε＞0，都有{｜－a｜≥ε}＝0?正确答案：(Ⅰ)X的概率密度为所以EX＝∫－∞＋∞χf(χ；θ)dχ＝E(X)2＝∫－∞＋∞χ2f(χ；θ)dχ＝＝θ(Ⅱ)似然函数当χ1，…χn≥0时，nln2－nlnθ＋ln(χ1…χn)－，令＝0，解得θ＝，故(Ⅲ)由E(X2)＝θ及辛钦大数定律知n→∞时，，故知：取a＝θ，则有ε＞0，均有{｜－a｜≥ε}＝0．涉及知识点：概率论与数理统计27．设总体X的概率密度为其中θ为未知参数．X1，X2，…，Xn为来自该总体的简单随机样本．(Ⅰ)求θ的矩估计量；(Ⅱ)求θ的最大似然估计量．正确答案：(Ⅰ)E(X)＝∫－∞＋∞χf(χ；θ)dχ＝∴，故θ的矩估计为－1．(Ⅱ)似然函数为可见，θ的最大似然估计为涉及知识点：概率论与数理统计28．设总体X的概率密度为其中θ∈(0，＋∞)为未知参数，X1，X2，X3为来自总体X