2022年新高考数学模拟试卷

2022年新高考数学模拟试卷（1）一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．（5分）已知集合，，1，，则A．，0，1，2， B．，1， C．，1， D．，2．（5分）复数为虚数单位）的虚部是A． B． C． D．3．（5分）已知函数，，若方程有四个不等的实数根，则实数的取值范围是A． B． C．，， D．，，4．（5分）武汉疫情爆发后，某医院抽调3名医生，5名护士支援武汉的三家医院，规定每家医院医生一名，护士至少一名，则不同的安排方案有A．900种 B．1200种 C．1460种 D．1820种5．（5分）在三棱柱中，上平面，记和四边形的外接圆圆心分别为，，若，且三棱柱外接球体积为，则的值为A． B．3 C． D．56．（5分）在平行四边形中，，，，为的中点，则A． B． C．1 D．27．（5分）下列命题中正确的个数为①如果，那么与方向相同；②若非零向量与共线，则、、、四点共线；③中，若，则；④四边形是平行四边形，则必有．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个8．（5分）已知函数的图象恒过点，下列函数图象不经过点的是A． B． C． D．二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）9．（5分）已知等比数列中，满足，，则A．数列是等差等列 B．数列是递减数列 C．数列是等差数列 D．数列是递减数列10．（5分）如图是正态分布的正态曲线图，可以表示图中阴影部分面积的式子有A． B． C． D．11．（5分）如图，在正方体中，点在棱上，且，是线段上一动点，则下列结论正确的有A． B．存在一点，使得 C．三棱锥的体积与点的位置无关 D．直线，与平面所成角的正弦值的最小值为12．（5分）已知函数，下列关于函数的单调性说法正确的是A．函数在上不具有单调性 B．当时，在上递减 C．若的单调递减区间是，，则的值为 D．若在区间上是减函数，则的取值范围是三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）计算：．14．（5分）已知函数为定义在区间，上的奇函数，则，．15．（5分）已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为．16．（5分）一个直三棱柱容器中，，，，能放进容器内最大的水晶彩色实心球可放置3个，然后再向容器内注满透明液体，即可制作一个漂亮的儿童玩具，则向容器内注入的透明液体体积是．四．解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）正项数列的前项和满足：（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前项和，证明：对于任意的，都有．18．（12分）2018年1月8日，中共中央、国务院隆重举行国家科学技术奖励大会，在科技界引发热烈反响，自主创新正成为引领经济社会发展的强劲动力．某科研单位在研发新产品的过程中发现了一种新材料，由大数据测得该产品的性能指标值与这种新材料的含量（单位：克）的关系为：当时，是的二次函数；当时，测得数据如表（部分）（单位：克）012903（1）求关于的函数关系式；（2）当该产品中的新材料含量为何值时，产品的性能指标值最大．19．（12分）如图，正方形边长为1，平面，平面，且，在平面同侧），为线段上的动点．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求的最小值，并求取得最小值时二面角的余弦值．20．（12分）基于移动互联技术的共享单车被称为“新四大发明”之一，短时间内就风靡全国，带给人们新的出行体验．某共享单车运营公司的市场研究人员为了解公司的经营状况，对该公司最近六个月内的市场占有率进行了统计，结果如下表：月份2017.82017.92017.102017.112017.122018.1月份代码123456市场占有率111316152021（1）请在给出的坐标纸中作出散点图，并用相关系数说明可用线性回归模型拟合月度市场占有率与月份代码之间的关系；（2）求关于的线性回归方程，并预测该公司2018年2月份的市场占有率；（3）根据调研数据，公司决定再采购一批单车扩大市场，现有采购成本分别为1000元辆和800元辆的，两款车型报废年限各不相同．考虑到公司的经济效益，该公司决定先对两款单车各100辆进行科学模拟测试，得到两款单车使用寿命频数表如下：报废年限车型1年2年3年4年总计1030402010015403510100经测算，平均每辆单车每年可以为公司带来收入500元．不考虑除采购成本之外的其他成本，假设每辆单车的使用寿命都是整数年，且用频率估计每辆单车使用寿命的概率，以每辆单车产生利润的期望值为决策依据．如果你是该公司的负责人，你会选择采购哪款车型？参考数据：，，．参考公式：相关系数，回归直线方程为其中：，．21．（12分）已知椭圆的离心率为，焦距为．斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点，．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若，求的最大值；22．（12分）已知函数．（Ⅰ）求函数的最值；（Ⅱ）若，求方程的根的个数．

2022年新高考数学模拟试卷（1）参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．（5分）已知集合，，1，，则A．，0，1，2， B．，1， C．，1， D．，【解答】解：，1，，，1，，，．故选：．2．（5分）复数为虚数单位）的虚部是A． B． C． D．【解答】解：，虚部为：．故选：．3．（5分）已知函数，，若方程有四个不等的实数根，则实数的取值范围是A． B． C．，， D．，，【解答】解：由题意，当时，由，解得或，又由可得或，此时方程有2解，方程要有2解时，则△，解得，；当时，由可得，可得只有1解；当时，由，解得或，又由可得或，此时方程有2解，方程要有2解时，则，解得，综上，实数的取值范围为，，．故选：．4．（5分）武汉疫情爆发后，某医院抽调3名医生，5名护士支援武汉的三家医院，规定每家医院医生一名，护士至少一名，则不同的安排方案有A．900种 B．1200种 C．1460种 D．1820种【解答】解：根据题意，分2步进行分析：①将3名医生安排到三家医院，有种安排方法，②将5名护士分为3组，安排到三家医院，有种安排方法，则有种不同的安排方案，故选：．5．（5分）在三棱柱中，上平面，记和四边形的外接圆圆心分别为，，若，且三棱柱外接球体积为，则的值为A． B．3 C． D．5【解答】解：三棱柱中，设外接球的半径为，则：，解得．设的中点为，三棱柱中的外接球的球心为，由平面与平面，得到：四边形为矩形．所以：，所以：．故选：．6．（5分）在平行四边形中，，，，为的中点，则A． B． C．1 D．2【解答】解：如图，，又，，．故选：．7．（5分）下列命题中正确的个数为①如果，那么与方向相同；②若非零向量与共线，则、、、四点共线；③中，若，则；④四边形是平行四边形，则必有．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【解答】解：对于①，，那么与方向相同或相反，故①错误，对于②，非零向量与共线，则，，，四点共线或与平行，故②错误，对于③，中，若，则，故③正确，对于④，四边形是平行四边形，则必有，故④正确．故选：．8．（5分）已知函数的图象恒过点，下列函数图象不经过点的是A． B． C． D．【解答】解：函数的图象恒过点，即，可得，那么：（1）．恒过点．把，带入各选项，经考查各选项，只有没有经过点．故选：．二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）9．（5分）已知等比数列中，满足，，则A．数列是等差等列 B．数列是递减数列 C．数列是等差数列 D．数列是递减数列【解答】解：在等比数列中，由，，得，则，由，可得数列是递减等比数列，故错误，正确；又，，数列是递增的等差数列，故正确，错误．故选：．10．（5分）如图是正态分布的正态曲线图，可以表示图中阴影部分面积的式子有A． B． C． D．【解答】解：由标准正态分布的对称性，可得，则图中阴影部分可表示为或或．故选：．11．（5分）如图，在正方体中，点在棱上，且，是线段上一动点，则下列结论正确的有A． B．存在一点，使得 C．三棱锥的体积与点的位置无关 D．直线，与平面所成角的正弦值的最小值为【解答】解：如图，连接，可得，，则平面，所以，故正确；在上取一点，使得，连接，，，由，可得，，四边形为平行四边形，则，．若，易证四边形为平行四边形，则，，从而，，故四边形为平行四边形，于是，故正确；设，三棱锥的体积与三棱锥的体积相等，则，即三棱锥的体积与正方体的棱长有关，与点的位置无关，故正确；以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，3，，，3，，，0，，，3，，从而．设平面的法向量，则，令，得，从而，即直线与平面所成角的正弦值为，因为，所以，所以，即直线与平面所成角的正弦值的最大值为，故错误．故选：．12．（5分）已知函数，下列关于函数的单调性说法正确的是A．函数在上不具有单调性 B．当时，在上递减 C．若的单调递减区间是，，则的值为 D．若在区间上是减函数，则的取值范围是【解答】解：对于，当时，在上单调递减，故错误；对于，当时，，对称轴为，单调递减区间为，故正确；对于，若的单调递减区间是，，则，且，无解，故错误；对于，当时，满足在区间上是减函数；当，若在区间上是减函数，则且，解得，所以若在区间上是减函数，则的取值范围是，故正确．故选：．三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）计算：．【解答】解：．故答案为：．14．（5分）已知函数为定义在区间，上的奇函数，则1，．【解答】解：因为函数为定义在区间，上的奇函数，所以，解得，因为为奇函数，所以（1），即，解得．故答案为：1；1．15．（5分）已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为．【解答】解：连接，交于点，则点为的中点，取的中点，连接、，，即为异面直线与所成角．，，，，，，在中，由余弦定理知，．故答案为：．16．（5分）一个直三棱柱容器中，，，，能放进容器内最大的水晶彩色实心球可放置3个，然后再向容器内注满透明液体，即可制作一个漂亮的儿童玩具，则向容器内注入的透明液体体积是．【解答】解：由题意知，三棱柱的底面是直角三角形，且斜边长为，放进去最大球即为该几何体的内切球，则球的半径等于该三棱柱底面直角三角形的内切圆的半径，设半径为，则，解得，能放进去3个这样的球，则该容器的高为．透明液体的体积为．故答案为：．四．解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）正项数列的前项和满足：（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前项和，证明：对于任意的，都有．【解答】解：（1），，，或（舍去），故正项数列为等差数列，其中，，故；（2），；故．18．（12分）2018年1月8日，中共中央、国务院隆重举行国家科学技术奖励大会，在科技界引发热烈反响，自主创新正成为引领经济社会发展的强劲动力．某科研单位在研发新产品的过程中发现了一种新材料，由大数据测得该产品的性能指标值与这种新材料的含量（单位：克）的关系为：当时，是的二次函数；当时，测得数据如表（部分）（单位：克）012903（1）求关于的函数关系式；（2）当该产品中的新材料含量为何值时，产品的性能指标值最大．【解答】解：（1）当时，由题意，设，由表格数据得，解得，所以，当时，，当时，，由表格数据可得（9），解得，所以当时，，综上，；（2）当时，，可知时，（4），当时，单凋递减，可知时，（6），综上可得，当时，产品的性能指标值最大．19．（12分）如图，正方形边长为1，平面，平面，且，在平面同侧），为线段上的动点．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求的最小值，并求取得最小值时二面角的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：正方形边长为1，平面，平面，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，，在平面同侧），为线段上的动点，，0，，，1，，，0，，，0，，，1，，，1，，，1，，，0，，，1，，，，，，，平面，平面，平面，平面，．（Ⅱ）解：设，，，则，当时，取得最小值，此时，，，，，，，1，，，1，，设平面的一个法向量为，，，则，取，可得，0，，由（1）可知平面的一个法向量为，1，，则，，故二面角的余弦值为．20．（12分）基于移动互联技术的共享单车被称为“新四大发明”之一，短时间内就风靡全国，带给人们新的出行体验．某共享单车运营公司的市场研究人员为了解公司的经营状况，对该公司最近六个月内的市场占有率进行了统计，结果如下表：月份2017.82017.92017.102017.112017.122018.1月份代码123456市场占有率111316152021（1）请在给出的坐标纸中作出散点图，并用相关系数说明可用线性回归模型拟合月度市场占有率与月份代码之间的关系；（2）求关于的线性回归方程，并预测该公司2018年2月份的市场占有率；（3）根据调研数据，公司决定再采购一批单车扩大市场，现有采购成本分别为1000元辆和800元辆的，两款车型报废年限各不相同．考虑到公司的经济效益，该公司决定先对两款单车各100辆进行科学模拟测试，得到两款单车使用寿命频数表如下：报废年限车型1年2年3年4年总计1030402010015403510100经测算，平均每辆单车每年可以为公司带来收入500元．不考虑除采购成本之外的其他成本，假设每辆单车的使用寿命都是整数年，且用频率估计每辆单车使用寿命的概率，以每辆单车产生利润的期望值为决策依据．如果你是该公司的负责人，你会选择采购哪款车型？参考数据：，，．参考公式：相关系数，回归直线方程为其中：，．【解答】解：（1）散点图如图