第七章 时变电磁场

第七章时变电磁场第一页，共六十六页，2022年，8月28日通过位移电流的引入，导出全电流定律，说明时变电场可以产生时变磁场。详细讲解麦克斯韦方程的积分形式和微分形式，说明时变电磁场是有旋有散的，时变电场的方向与时变磁场的方向处处相互垂直，以及麦克斯韦对于人类文明和进步的伟大贡献。重点和难点讲解时变电磁场的边界条件时，应与静态场进行比较，尤其要介绍理想导电体的边界条件。第二页，共六十六页，2022年，8月28日讲解位函数时，应强调罗伦兹条件的重要性。详细讲解位函数解的物理意义，强调没有滞后效应就不可能有辐射。指出位函数的积分解仅适用于均匀线性各向同性的介质。

能量密度容易理解，着重讲解能流密度矢量。时变电磁场的惟一性定理证明可以略去，但是其物理意义及其重要性必须介绍。第三页，共六十六页，2022年，8月28日对于复能流密度矢量，应着重介绍其实部和虚部的物理意义，以及电场和磁场之间的相位差对于复能流密度矢量的影响讲解正弦电磁场的复矢量表示方法时，应强调仅适用于频率相同的场量之间的运算。此外，还应指出该教材使用的时间因子是，而不是。同时指出使用不同的时间因子，将导致麦克斯韦方程的形式不同。第四页，共六十六页，2022年，8月28日1.位移电流位移电流不是电荷的运动，而是一种人为定义的概念。对于静态场，因，由此导出电流连续性原理电荷守恒定律：

第五页，共六十六页，2022年，8月28日上式中的具有电流密度量纲。将代入，得

对于时变电磁场，因，不可能根据电荷守恒定律推出电流连续性原理。位移电流电流连续是客观存在的物理现象，例如真空电容器中的电流。第六页，共六十六页，2022年，8月28日麦克斯韦将称为位移电流密度，以Jd

表示，即求得上式称为全电流连续性原理。它包括了传导电流、运流电流及位移电流。位移电流密度是电通密度的时间变化率，或者说是电场的时间变化率。第七页，共六十六页，2022年，8月28日对于静电场，由于，自然不存在位移电流。对于时变电场，电场变化越快，产生的位移电流密度也越大。在良导体中已知传导电流密度，因此在电导率较低的介质中

麦克斯韦认为位移电流也可产生磁场，因此前述安培环路定律变为

动画第八页，共六十六页，2022年，8月28日即上两式称为全电流定律。它表明时变磁场是由传导电流、运流电流以及位移电流共同产生的。位移电流是由时变电场形成的，由此可见，时变电场可以产生时变磁场。电磁感应定律表明，时变磁场可以产生时变电场。因此，麦克斯韦引入位移电流以后，预见时变电场与时变磁场相互转化的特性可能会在空间形成电磁波。第九页，共六十六页，2022年，8月28日2.麦克斯韦方程

静态场中的高斯定律及磁通连续性原理对于时变电磁场仍然成立。那么，对于时变电磁场，麦克斯韦归纳为如下4个方程：积分形式微分形式全电流定律电磁感应定律磁通连续性原理高斯定律第十页，共六十六页，2022年，8月28日时变电场是有旋有散的，时变磁场是有旋无散的。但是，时变电磁场中的电场与磁场是不可分割的，因此，时变电磁场是有旋有散场。在无源区中，时变电磁场是有旋无散的。积分形式微分形式第十一页，共六十六页，2022年，8月28日电场线与磁场线相互交链，自行闭合，从而在空间形成电磁波。时变电场与时变磁场处处相互垂直。为了完整地描述时变电磁场的特性，麦克斯韦方程还应包括电荷守恒方程以及说明场与介质关系的方程，即式中代表电流源或非电的外源。第十二页，共六十六页，2022年，8月28日麦克斯韦方程组中各个方程不是完全独立的。可以由第①、②方程导出第③、④方程，或反之。

对于静态场，则

那么，上述麦克斯韦方程变为静电场方程和恒定磁场方程，电场与磁场不再相关，彼此独立。

①④③②第十三页，共六十六页，2022年，8月28日

“在简单的形式下隐藏着深奥的内容，这些内容只有仔细的研究才能显示出来，方程是表示场的结构的定律。它不像牛顿定律那样，把此处发生的事件与彼处的条件联系起来，而是把此处的现在的场只与最邻近的刚过去的场发生联系。”

爱因斯坦（1879–1955）对于麦克斯韦方程的评述：“这个方程的提出是牛顿时代以来物理学上的一个重要事件，它是关于场的定量数学描述，方程所包含的意义比我们指出的要丰富得多。”

“假使我们已知此处的现在所发生的事件，藉助这些方程便可预测在空间稍微远一些，在时间上稍微迟一些所发生的事件。”第十四页，共六十六页，2022年，8月28日麦克斯韦方程除了对于科学技术的发展具有重大意义外，对于人类历史的进程也起了重要作用。正如美国著名的物理学家弗曼所述：“从人类历史的漫长远景来看──即使过一万年之后回头来看──毫无疑问，在19世纪中发生的最有意义的事件将判定是麦克斯韦对于电磁定律的发现，与这一重大科学事件相比之下，同一个十年中发生的美国内战（1861–1865）将会降低为一个地区性琐事而黯然失色”。第十五页，共六十六页，2022年，8月28日处于信息时代的今天，从婴儿监控器到各种遥控设备、从雷达到微波炉、从地面广播电视到太空卫星广播电视、从地面移动通信到宇宙星际通信、从室外无线广域网到室内蓝牙技术、以及全球卫星定位导航系统等，无不利用电磁波作为信息载体。无线信息高速公路使人们能在任何地点、任何时间同任何人取得联系。

如此广泛的应用说明了麦克斯韦和赫兹对于人类文明和进步的伟大贡献。目前中国已有5亿多移动通信用户，一亿多因特网用户。

第十六页，共六十六页，2022年，8月28日3.时变电磁场的边界条件

①在任何边界上电场强度的切向分量是连续的，即

或写成矢量形式

因为只要磁通密度的时间变化率是有限的，那么由电磁感应定律的积分形式即可获得上面结果。对于各向同性的线性介质，得①②en第十七页，共六十六页，2022年，8月28日

②在任何边界上，磁通密度的法向分量是连续的，或写成矢量形式

③电通密度的法向分量边界条件与介质特性有关。

在一般情况下，由高斯定律求得

或写成矢量形式

式中,S为边界表面上自由电荷的面密度。对于各向同性的线性介质，得上式由磁通连续性原理求得。

即第十八页，共六十六页，2022年，8月28日

两种理想介质的边界上不可能存在表面自由电荷，因此④

磁场强度的切向分量边界条件也与介质特性有关。在一般情况下，由于边界上不可能存在表面电流，根据全电流定律，只要电通密度的时间变化率是有限的，可得或写成矢量形式

对于各向同性的线性介质，得第十九页，共六十六页，2022年，8月28日

在理想导电体表面上可以形成表面电流，此时磁场强度的切向分量不再连续。在理想导电体内部不可能存在时变电磁场及时变的传导电流，它们只可能分布在理想导电体的表面。E(t),B(t),J(t)

=0E≠0J=EH≠0E≠0J≠0H≠0第二十页，共六十六页，2022年，8月28日已知在任何边界上，电场强度的切向分量及磁通密度的法向分量是连续的，因此理想导体表面上不可能存在电场切向分量及磁场法向分量，即时变电场必须垂直于理想导电体的表面，而时变磁场必须与其表面相切。EH,

enet①②第二十一页，共六十六页，2022年，8月28日因，由前式得

或由于理想导电体表面存在表面电流JS

，令表面电流密度的方向与积分回路构成右旋关系，因，求得或EH,

enet①②H1tH2tJS第二十二页，共六十六页，2022年，8月28日例已知内截面为ab

的矩形金属波导中的时变电磁场的各分量为

其坐标如图所示。试求波导中的位移电流分布和波导内壁上的电荷及电流分布。波导内部为真空。

azyxb第二十三页，共六十六页，2022年，8月28日解

①由前式求得位移电流为

②在y=0的内壁上

在y=b

的内壁上

azyxb第二十四页，共六十六页，2022年，8月28日在x=0

的侧壁上，

在x=a

的侧壁上，在x=0及x=a

的侧壁上，因，所以。zyx内壁电流第二十五页，共六十六页，2022年，8月28日4.标量位与矢量位

设介质是线性均匀且各向同性的，那么由麦克斯韦方程可得利用矢量恒等式，同时考虑到及 ，那么上述两式变为

场与源的关系比较复杂。第二十六页，共六十六页，2022年，8月28日式中，A称为矢量位。将上式代入式中，得已知，因此B可以表示为矢量场A

的旋度。引入标量位与矢量位作为两个辅助函数,可以简化时变电磁场的求解。

即第二十七页，共六十六页，2022年，8月28日上式又可改写为可见，矢量场为无旋场。因此可以表示为一个标量场

的梯度，式中

称为标量位。当A

与时间无关时因此，标量位

–标量电位；矢量位A

–矢量磁位。即求得第二十八页，共六十六页，2022年，8月28日将位函数代入麦克斯韦方程，求得

再利用矢量恒等式，上两式又可表示为第二十九页，共六十六页，2022年，8月28日已定义了矢量场A的旋度，，必须再规定其散度。则前两式可以简化为洛伦兹条件为了简化计算，令仅与电荷

有关仅与电流

J有关原来两个相互关联的方程变为两个独立方程。第三十页，共六十六页，2022年，8月28日原来电磁场的矢量方程为在三维空间中仅需求解4个坐标分量。位函数方程为一个矢量方程和一个标量方程在直角坐标系中，实际上等于求解1个标量方程。在三维空间中需要求解6个坐标分量。第三十一页，共六十六页，2022年，8月28日根据静态场结果，采用类比方法推出其解。5.位函数方程的求解当时变点电荷位于坐标原点时，其场分布与

及无关。那么，在除坐标原点以外整个无源空间，位函数满足的方程式为先求解时变点电荷的矢量位，再利用叠加原理导出分布的时变体电荷的矢量位。式中rzyx(r,t)O第三十二页，共六十六页，2022年，8月28日上式为函数(r)的齐次波动方程，其通解为式中的第二项不符合实际的物理条件，应该舍去。因此，求得位于原点的时变点电荷产生的标量电位为已知位于原点的静止点电荷产生的电位为可见函数f1

为第三十三页，共六十六页，2022年，8月28日因此位于原点的时变点电荷的标量位为式中r

为体元dV

至场点的距离。

位于V

中的体电荷在r

处产生的电位为r'rzyx(r,t)V'dV'r'-rO第三十四页，共六十六页，2022年，8月28日将矢量位方程在直角坐标系中展开，则矢量位A各个分量均满足结构相同的非齐次标量波动方程式，每个分量的解结构同前。三个分量合成后，矢量位A的解为式中，V'为电流J的分布区域。即第三十五页，共六十六页，2022年，8月28日

空间某点在时刻t

产生的位必须根据时刻的源分布进行求积。这就表明，位于r处的源产生的场传到r

处需要一段时间，这段时差就是。

为源点至场点的距离，因此v

代表电磁波的传播速度。第三十六页，共六十六页，2022年，8月28日由可见，电磁波的传播速度与介质特性有关。这就是光速，通常以c表示。

若某一时刻源已消失，只要前一时刻源还存在，它们原来产生的空间场仍然存在，这就表明源已将电磁能量释放到空间，这种现象称为电磁辐射。在真空中静止电荷或恒定电流一旦消失，它们产生的场也随之失去，因而静态场称为束缚场，没有辐射作用。第三十七页，共六十六页，2022年，8月28日源变化越快，空间滞后越大，即使在源附近也有显著的电磁辐射。所以似稳场和辐射场的区域划分不仅取决于空间距离，也和源的变化快慢有关。时变源的附近，时差很小，场强的变化基本上与源同步，所以近处的时变场称为似稳场。离开时变源的远处，由于时差很大，辐射效应显著，所以远处的时变场称为辐射场。为了向空间辐射电磁能量，必须使用高频电流激励发射天线，而通常50Hz的交流电不可能有效地辐射电磁能量。第三十八页，共六十六页，2022年，8月28日由于和A

随时间的变化总是比源落后，因此，位函数

及A

通常称为滞后位。前式第二项中的因子意味着场比源导前，这就不符合先有源后有场的因果关系。那么，它又可理解为向负

r

方向传播的波，也就是来自无限远处的反射波。因子又可写为对于点电荷所在的无限大自由空间，这种反射波不可能存在。第三十九页，共六十六页，2022年，8月28日面分布及线分布的电荷及电流产生的标量位和矢量位分别如下：注意，上述公式仅可用于均匀、线性、各向同性的介质。第四十页，共六十六页，2022年，8月28日6.能量密度与能流密度矢量

静态场的能量密度公式及损耗功率密度公式可以推广到时变电磁场。电场能量密度磁场能量密度损耗功率密度因此，时变电磁场的能量密度为

对于各向同性的线性介质第四十一页，共六十六页，2022年，8月28日时变场的能量密度是空间及时间的函数，而且时变电磁场的能量还会流动。能流密度矢量的方向表示能量流动方向，其大小表示单位时间内垂直穿过单位面积的能量，或者说垂直穿过单位面积的功率，所以该矢量又称为功率流密度矢量。能量流动密度矢量在英美书刊中称为坡印廷矢量，在俄罗斯书刊中称为乌莫夫矢量。为了衡量时变场的能量流动的方向及强度，引入能量流动密度矢量，或简称为能流密度矢量。第四十二页，共六十六页，2022年，8月28日利用矢量恒等式，将上式代入，整理后求得,,E,HV

在无外源

()

的区域V

中，若介质是线性且各向同性的，则此区域中麦克斯韦方程为第四十三页，共六十六页，2022年，8月28日将上式两边对区域V

求积，得

考虑到，那么根据能量密度的定义，上式又可表示为该式称为时变电磁场的能量定理。第四十四页，共六十六页，2022年，8月28日

矢量()代表垂直穿过单位面积的功率，因此，就是前述的能流密度矢量S

，单位为W/m2，,,E,HS即SEH可见，，。又知，因此，S，E及H

三者相互垂直，且由E

至H与

S

构成右旋关系。第四十五页，共六十六页，2022年，8月28日能流密度矢量的瞬时值为可见，能流密度矢量的瞬时值等于电场强度和磁场强度瞬时值的乘积。只有当两者同时达到最大值时，能流密度才达到最大。若某一时刻电场强度或磁场强度为零，则在该时刻能流密度矢量为零。第四十六页，共六十六页，2022年，8月28日7.时变电磁场惟一性定理

在闭合面S包围的区域

V

中，当t=0时刻的电场强度及磁场强度的初始值给定时，又在

t>0

的时间内，只要边界

S

上的电场强度切向分量或磁场强度的切向分量给定后，那么在t>0

的任一时刻，体积V

中任一点的电磁场由麦克斯韦方程惟一地确定。采用反证法即可证明这个定理。VSEt(r,t)

或

Ht

(r,t)E(r,0)及H(r,0)E(r,t),H(r,t)第四十七页，共六十六页，2022年，8月28日8.正弦电磁场

正弦电磁场的场强方向与时间无关，但其大小随时间的变化规律为正弦函数，式中，Em(r)为正弦时间函数的振幅；

为角频率；e(r)为正弦函数的初始相位。任一周期性或非周期性的时间函数在一定条件下均可分解为很多正弦函数之和。因此，着重讨论正弦电磁场是具有实际意义的。

正弦电磁场又称为时谐电磁场。即第四十八页，共六十六页，2022年，8月28日已知场的变化落后于源，但是场与源的时间变化规律相同，所以正弦电磁场的场和源的频率相同。对于频率相同的正弦量之间的运算可以采用复矢量方法，即仅考虑正弦量的振幅和空间相位

，而略去时间相位t

。瞬时矢量和复矢量的关系为正弦电磁场是由正弦的时变电荷与电流产生的。电场强度可用一个与时间无关的复矢量表示为第四十九页，共六十六页，2022年，8月28日实际中使用有效值，以表示有效值，则式中最大值复矢量和有效值复矢量的之间的关系为复矢量仅为空间函数，与时间无关。只有频率相同的正弦量之间才能使用复矢量的方法进行运算。第五十页，共六十六页，2022年，8月28日9.麦克斯韦方程的复矢量形式

已知正弦电磁场的场与源的频率相同，因此可用复矢量形式表示麦克斯韦方程。考虑到正弦时间函数的时间导数为或因此，麦克斯韦第一方程可表示为第五十一页，共六十六页，2022年，8月28日上式对于任何时刻均成立，虚部符号可以消去，即同理可得

上述方程称为麦克斯韦方程的复矢量形式，式中各量均为有效值。第五十二页，共六十六页，2022年，8月28日瞬时形式(r,t)复数形式(r)例已知某真空区域中的时变电磁场的电场瞬时值为试求磁场强度的复矢量形式。第五十三页，共六十六页，2022年，8月28日解根据时变电场瞬时值，求得其有效值的复矢量形式为由于电场仅有y分量，且。那么又知第五十四页，共六十六页，2022年，8月28日10.位函数的复矢量形式

对于正弦函数，时间滞后因子表现的相位滞后为 。令则第五十五页，共六十六页，2022年，8月28日洛伦兹条件的复矢量形式正弦电磁场与位函数的关系第五十六页，共六十六页，2022年，8月28日11.复能流密度矢量时变电磁场的电场及磁场能量密度的瞬时形式为其最大值复矢量形式为

或者表示为式中，及分别为复矢量及的共轭值。

第五十七页，共六十六页，2022年，8月28日正弦量的有效值为瞬时值的均方根值，所以正弦电磁场的能量密度的周期平均值为

即式中E(r)及H(r)

均为有效值。或以最大值表示为或者表示为上式又可写为第五十八页，共六十六页，2022年，8月28日损耗功率密度也可用复矢量表示。平均值为已知能流密度矢量S的瞬时值为

其周期平均值为

其最大值为

第五十九页，共六十六页，2022年，8月28日复能流密度矢量Sc

为式中,及均为有效值。又可用最大值表示为那么，复能流密度矢量Sc的实部及虚部分别为可见，复能流密度矢量的实部及虚部与电场及磁场的相位密切相关。平均值第六十页，共六十六页，2022年，8月28日tttt电场强度磁场强度当