2020年福州市高中毕业班第三次质量检测(文数)及答案

准考证号姓名.（在此卷上答题无效）2020年福州市高中毕业班第三次质量检测数学（文科）试卷（完卷时间:120分钟；满分:150分）（在此卷上答题无效）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至5页．注意事项：答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．第Ⅱ卷用毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答．在试题卷上作答，答案无效．考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．设全集集合则A． B． C． D．已知纯虚数满足，则实数等于A．B．C． D．曲线在处的切线方程为A． B． C． D．执行如图所示的程序框图，则输出的

A．1B．2 C．3D．4已知等差数列的前项和为，且，则的公差为

A．B．C．D．甲、乙、丙、丁四名同学在某次军训射击测试中，各射击10次．四人测试成绩对应的条形图如下：以下关于这四名同学射击成绩的数字特征判断不正确的是

A．平均数相同B．中位数相同 C．众数不完全相同D．方差最大的是丁为了得到曲线，只需把曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移A．个单位长度 B．个单位长度 C．个单位长度 D．个单位长度已知平面两两垂直，直线满足：，则直线可能满足以下关系：①两两相交；②两两垂直；③两两平行；④两两异面．其中所有正确结论的编号是

A．①③ B．②④ C．①②④ D．①②③④已知椭圆的右焦点为，以上点为圆心的圆与轴相切于点，并与轴交于，两点．若，则的焦距为A．B． C． D．已知定义在上的函数满足，函数为偶函数，当时，.若时，的最大值为，则

A．B． C．D．2019年世界读书日，陈老师给全班同学开了一份书单，推荐同学们阅读，并在2020年世界读书日时交流读书心得．经了解，甲、乙两同学阅读书单中的书本有如下信息：①甲同学还剩的书本未阅读；②乙同学还剩5本未阅读；③有的书本甲、乙两同学都没阅读．则甲、乙两同学已阅读的相同的书本有A．2本 B．4本 C．6本 D．8本若圆锥的内切球（球面与圆锥的侧面以及底面都相切）的半径为1，当该圆锥体积取最小值时，该圆锥体积与其内切球体积比为A. B. C. D.第Ⅱ卷注意事项：用毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答．在试题卷上作答，答案无效．本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)～(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答．第(22)、(23)题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.已知向量，，若夹角的余弦值为，则实数的值为．已知双曲线过点，且渐近线方程为，则的离心率为．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以拆分为两个素数的和”，如，30有3种拆分方式；，6只有1种拆分方式.现从大于4且小于16的偶数中随机任取一个，取出的数有不止一种上述拆分方式的概率为．“熔喷布”是口罩生产的重要原材料，1吨熔喷布大约可供生产100万只口罩．2020年，制造口罩的企业甲的熔喷布1月份的需求量为100吨，并且从2月份起，每月熔喷布的需求量均比上个月增加10%．企业乙是企业甲熔喷布的唯一供应商，企业乙2020年1月份的产能为100吨，为满足市场需求，从2月份到月份，每个月比上个月增加一条月产量为50吨的生产线投入生产，从月份到9月份不再增加新的生产线．计划截止到9月份，企业乙熔喷布的总产量除供应企业甲的需求外，还剩余不少于990吨的熔喷布可供给其它厂商，则企业乙至少要增加条熔喷布生产线．（参考数据：，）三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（本小题满分12分）的内角的对边分别为，且．（1）求；（2）若，是上的点，平分，求的面积．（本小题满分12分）为了比较两种治疗失眠症的药（分别称为药，药）的疗效，某机构随机地选取位患者服用药，位患者服用药，观察这位患者的睡眠改善情况．这些患者服用一段时间后，根据患者的日平均增加睡眠时间（单位：），以整数部分当茎，小数部分当叶，绘制了如下茎叶图：药药873598776543320052100.1.2.3.45789122345678916723（1）根据茎叶图判断哪种药对增加睡眠时间更有效？并说明理由；（2）求这名患者日平均增加睡眠时间的中位数，并将日平均增加睡眠时间超过和不超过的患者人数填入下面的列联表：超过不超过服用药服用药（3）根据（2）中的列联表，能否有的把握认为两种药的疗效有差异？附：.0.010.0050.0016.6357.87910.828（本小题满分12分）如图，在多面体中，平面平面，，，，，．（1）求多面体的体积；（2）已知是棱的中点，在棱是否存在点使得，若存在，请确定点的位置；若不存在，请说明理由.（本小题满分12分）已知抛物线，直线与交于，两点，为的中点，为坐标原点.（1）求直线斜率的最大值；（2）若点在直线上，且为等边三角形，求点的坐标.（本小题满分12分）已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）设函数有两个极值点，若恒成立，求实数m的取值范围．请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．（本小题满分10分）选修：坐标系与参数方程在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）．设与的交点为，当变化时，的轨迹为曲线．（1）求的普通方程；（2）设为圆上任意一点，求的最大值．（本小题满分10分）选修：不等式选讲已知，．（1）当时，求证：；（2）求的最小值．2020年福州市高中毕业班第三次质量检测数学（文科）参考答案及评分细则评分说明：1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则。2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。4．只给整数分数。选择题和填空题不给中间分。一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分60分．1．D 2．A 3．B 4．C 5．B 6．D7．A 8．C 9．C 10．A 11．C 12．D二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分20分．13． 14． 15． 16．5三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．【命题意图】本小题以解三角形为载体，考查正弦定理、三角形面积公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，考查逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性、综合性．【解析】解法一：（1）因为且，所以， 1分根据正弦定理，得， 3分因为，所以，所以， 4分因为，所以． 5分（2）由（1）知，，因为，，所以的面积， 7分因为是上的点，平分，所以， 9分因为， 10分所以． 12分解法二：（1）根据正弦定理，得，及得，所以， 2分又因为，所以， 3分所以， 4分因为，所以． 5分（2）由（1）知，，因为，，所以的面积， 7分因为是上的点，平分，所以的面积， 8分所以的面积， 9分因为， 10分所以，所以． 11分所以． 12分18．【命题意图】本小题以“治疗失眠症的药”为载体设计试题，主要考查茎叶图、样本的数字特征、独立性检验等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力、应用意识，考查统计与概率思想，考查数学抽象、数据分析、数学运算等核心素养，体现基础性与应用性．【解析】(1)药的疗效更好． 1分（以下理由任说一种都可得3分）①从以上茎叶图可以看出，药疗效的试验结果有的叶集中在茎和上，而药疗效的试验结果有的叶集中在茎和上，由此可看出药的疗效更好．②从茎叶图的分布情况可以看出，服用药的患者日平均增加睡眠时间的平均数大于，而服用药的患者日平均增加睡眠时间的平均数小于，因此可知药的疗效更好．③由茎叶图可知，服用药的患者日平均增加睡眠时间的中位数是，而服用药的患者日平均增加睡眠时间的中位数是，因此药的疗效更好．④由茎叶图可知，服用药的患者日平均增加睡眠时间分布在茎上的最多，关于茎大致呈对称分布；而服用药的患者日平均增加睡眠时间分布在茎上的最多，关于茎大致呈对称分布；又患者在服用两种药后日平均增加睡眠时间分布的区间相同，故可以认为服用药的患者日平均增加睡眠时间比服用药的患者日平均增加睡眠时间更多，因此药的疗效更好． 4分（2）由茎叶图可知，组数据的中位数为， 6分因此列联表如下：超过不超过服用药服用药 8分（3）由于， 11分所以有的把握认为两种药的疗效有差异． 12分19．【命题意图】本小题以四棱锥为载体，考查线面平行、线面垂直的判定与性质、空间几何体的体积等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，考查直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性、综合性．【解析】解法一：（1）如图，作交的延长线于，因为平面平面，平面平面，且平面，所以平面， 2分所以为点到平面的距离． 3分因为，，所以， 4分又， 5分所以． 6分（2）假设棱上存在点，使得．连接，取的中点，在△中，因为分别为的中点，所以． 8分因为过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行，所以与重合．因为点在线段上，所以，又，所以是与的交点，即就是，而与相交， 10分这与相矛盾， 11分所以假设不成立，故棱上不存在点使得． 12分解法二：（1）因为平面平面，且平面平面，平面，所以平面， 2分依题意，，所以． 3分在梯形中，由知， 4分所以， 5分所以． 6分（2）假设棱上存在点，使得，显然与点不同，所以四点共面，记该平面为，………………8分所以，，，又，，所以，，所以共面于， 10分这与为四棱锥相矛盾， 11分所以假设不成立，故棱上不存在点使得． 12分20．【命题意图】本小题以抛物线为载体考查抛物线方程、直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、直观想象能力，考查函数与方程、数形结合等数学思想，考查直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性、综合性．【解析】解法一：（1）设，由，消去得，， 1分且． 2分所以因为为的中点，所以的坐标为，即， 3分又因为，所以， 5分（当且仅当，即等号成立．）所以直线的斜率的最大值为 6分（2）由（1）知，=， 8分由得， 9分因为为等边三角形，所以， 10分所以，所以，所以，解得因为所以， 11分则，直线的方程为，即，所以时，，所以所求的点的坐标为． 12分解法二：（1）设，因为为的中点，且直线，所以 1分由得所以所以即． 2分所以即， 3分又因为，所以， 5分（当且仅当，即等号成立．）所以直线的斜率的最大值为 6分（2）由，消去得，，且． 7分=， 8分由（1）知，的中点的坐标为，所以线段的垂直平分线方程为：．令，得线段的垂直平分线与直线交点坐标为 9分因为为等边三角形，所以， 10分所以，所以，所以，解得因为所以， 11分则，直线的方程为，即，所以时，，所以所求的点的坐标为． 12分21．【命题意图】本小题主要考查函数和导数及其应用、函数的单调性、函数的极值、以及不等式恒成立基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力、创新意识等，考查分类与整合思想、数形结合思想，考查数学抽象、数学运算、逻辑推理等核心素养，体现综合性、应用性与创新性．【解析】（1）因为，所以． 1分令，，①当，即时，，即，所以函数单调递增区间为． 2分②当，即或时，若，则，即，所以函数单调递增区间为． 3分若，令，得．由，即得或；由，即得．所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为． 5分综上，当时，函数单调递增区间为；当时，函数的单调递增区间为；单调递减区间为． 6分(2)由（1）得，若有两个极值点，则是方程的两个不等正实根，由（1）知．则，则， 8分要使恒成立，只需恒成立．因为 10分令，则，当时，，为减函数，所以． 11分由题意，要使恒成立，只需满足．所以实数的取值范围． 12分22．【命题意图】本小题以曲线的参数方程为载体，考查参数方程和普通方程的互化、椭圆参数方程的应用，圆与椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，考查直观想象、数学运算、逻辑推理等核心素养，体现基础性．【解析】解法一：（1）消去参数得的普通方程为， 1分消去参数得的普通方程为． 2分联立消去得， 4分所以的普通方程为（）． 5分（2）依题意，圆心的坐标为，半径． 6分由（1）可知，的参数方程为（为参数，且）， 7分设（），则， 8分当时，取得最大值， 9分又，当且仅当三点共线，且在线段上时，等号成立．所以． 10分解法二：（