人教版八年级下册数学二次根式乘除知识点和对应练习

二次根式的乘除课堂导入计算：(1)eq\r(4)×eq\r(25)与eq\r(4×25)；(2)eq\r(16)×eq\r(9)与eq\r(16×9).思考：对于eq\r(2)×eq\r(3)与eq\r(2×3)呢？从计算的结果我们发现eq\r(2)×eq\r(3)＝eq\r(2×3)，这是什么道理呢？一、知识梳理：二次根式的乘法；二次根式的除法；二次根式乘除的应用.二、考点分类考点一：二次根式的乘法法则eq\r(a)·eq\r(b)＝eq\r(ab)(a≥0，b≥0)【例1】式子eq\r(x＋1)·eq\r(2－x)＝eq\r(（x＋1）（2－x）)成立的条件是()A．x≤2B．x≥－1C．－1≤x≤2D．－1＜x＜2解析：根据题意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋1≥0，,2－x≥0，))解得－1≤x≤2.故选C.方法总结：运用二次根式的乘法法则：eq\r(a)·eq\r(b)＝eq\r(ab)(a≥0，b≥0)，必须注意被开方数均是非负数这一条件．【变式训练】等式成立的条件是（）A．x≥1B．x≥-1C．-1≤x≤1D．x≥1或x≤-1【例2】(1)eq\r(3)×eq\r(5)；(2)eq\r(,\f(1,4))×eq\r(,64)；(3)6eq\r(27)×(－3eq\r(3))；(4)eq\f(3,4)eq\r(18ab)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,a)\r(\f(6b2,a)))).解析：有理式的乘法运算律及乘法公式对二次根式同样适用，计算时注意最后结果要化为最简形式．解：(1)eq\r(3)×eq\r(5)＝eq\r(3×5)＝eq\r(15)；(2)eq\r(,\f(1,4))×eq\r(,64)＝eq\r(,\f(1,4)×64)＝eq\r(,16)＝4；(3)6eq\r(27)×(－3eq\r(3))＝－18eq\r(27×3)＝－18eq\r(81)＝－18×9＝－162；(4)eq\f(3,4)eq\r(18ab)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,a)\r(\f(6b2,a))))＝－eq\f(3,4)·eq\f(2,a)·eq\r(18ab·\f(6b2,a))＝－eq\f(3,2a)·eq\r(36×3b3)＝－eq\f(3,2a)·6beq\r(3b)＝－eq\f(9b,a)eq\r(3b).方法总结：在运算过程中要注意根号前的因数是带分数时，必须化成假分数，如果被开方数有能开得尽方的因数或因式，可先将二次根式化简后再相乘．【变式训练】计算：（1）；（2）；（3）；；(5)；(6).考点二：二次根式的乘法的化简积的算术平方根的性质 ：eq\r(ab)＝eq\r(a)·eq\r(b)(a≥0，b≥0)【例3】化简：(1)eq\r(（－36）×16×（－9）)；(2)eq\r(362＋482)；(3)eq\r(x3＋6x2y＋9xy2).解析：主要运用公式eq\r(ab)＝eq\r(a)·eq\r(b)(a≥0，b≥0)和eq\r(a2)＝a(a≥0)对二次根式进行化简．解：(1)eq\r(（－36）×16×（－9）)＝eq\r(36×16×9)＝eq\r(62×42×32)＝eq\r(,62)×eq\r(,42)×eq\r(,32)＝6×4×3＝72；(2)eq\r(362＋482)＝eq\r(（12×3）2＋（12×4）2)＝eq\r(122×（32＋42）)＝eq\r(122)×eq\r(,52)＝12×5＝60；(3)eq\r(x3＋6x2y＋9xy2)＝eq\r(x（x＋3y）2)＝eq\r(（x＋3y）2)·eq\r(x)＝|x＋3y|eq\r(x).方法总结：利用积的算术平方根的性质可以对二次根式进行化简．【变式训练】化简：(1)；(2)（）；(3)（x>0）；(4)考点三：二次根式的乘法应用【例4】小明的爸爸做了一个长为eq\r(588π)cm，宽为eq\r(48π)cm的矩形木相框，还想做一个与它面积相等的圆形木相框，请你帮他计算一下这个圆的半径(结果保留根号)．解析：根据矩形的面积公式、圆的面积公式，构造等式进行计算．解：设圆的半径为rcm.因为矩形木相框的面积为eq\r(588π)×eq\r(48π)＝168π(cm2)，所以πr2＝168π，r＝2eq\r(42)cm(r＝－2eq\r(42)舍去)．答：这个圆的半径是2eq\r(,42)cm.方法总结：把实际问题转化为数学问题，列出相应的式子进行计算，体现了转化思想．考点四：二次根式的除法二次根式的除法法则：分母有理化：把分母中的根号化去，就叫分母有理化，方法是分子分母都乘以分母的有理化因式，两个根式相乘后不再含有根式，这样的两个根式就叫互为有理化因式，如的有理化因式就是，的有理化因式可以是也可以是，的有理化因式就是.【例5】计算：(1)eq\f(\r(0.76),\r(0.19))；(2)－eq\r(1\f(2,3))÷eq\r(\f(5,54))；(3)eq\f(\r(6a2b),\r(2ab))；(4)eq\r(5)÷eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－5\r(1\f(4,5)))).解析：本题主要运用二次根式的除法法则来进行计算，若被开方数是分数，则被开方数相除时，可先用除以一个数等于乘这个数的倒数的方法进行计算，再进行约分．解：(1)eq\f(\r(0.76),\r(0.19))＝eq\r(\f(0.76,0.19))＝eq\r(4)＝2；(2)－eq\r(1\f(2,3))÷eq\r(\f(5,54))＝－eq\r(1\f(2,3)÷\f(5,54))＝－eq\r(\f(5,3)×\f(54,5))＝－eq\r(18)＝－3eq\r(2)；(3)eq\f(\r(6a2b),\r(2ab))＝eq\r(\f(6a2b,2ab))＝eq\r(3a)；(4)eq\r(5)÷eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－5\r(1\f(4,5))))＝－eq\r(5)÷5eq\r(\f(9,5))＝－eq\r(,5)×eq\f(1,5)×eq\r(\f(5,9))＝－eq\f(1,5)×eq\f(5,3)＝－eq\f(1,3).方法总结：利用二次根式的除法法则进行计算时，可以用“除以一个不为零的数等于乘这个数的倒数”进行约分化简．【变式训练】计算：(1)9eq\r(45)÷3eq\r(2\f(1,2))×eq\f(3,2)eq\r(2\f(2,3))；(2)a2·eq\r(ab)·beq\r(\f(b,a))÷eq\r(\f(9b2,a))；（3） （4）考点五：二次根式除法的化简商的算术平方根的性质：【例6】若eq\r(\f(a,2－a))＝eq\f(\r(a),\r(2－a))，则a的取值范围是()A．a＜2B．a≤2C．0≤a＜2D．a≥0解析：根据题意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a≥0，,2－a＞0，))解得0≤a＜2.故选C.方法总结：运用商的算术平方根的性质：eq\r(\f(b,a))＝eq\f(\r(b),\r(a))(a＞0，b≥0)，必须注意被开方数是非负数且分母不等于零这一条件【变式训练】成立的条件是()．A．x＜1且x≠0 B．x＞0且x≠1 C．0＜x≤1 D．0＜x＜1【例7】化简：(1)eq\r(1\f(7,9))；(2)eq\r(\f(3c3,4a4b2))(a＞0，b＞0，c＞0)．解析：运用商的算术平方根的性质，用分子的算术平方根除以分母的算术平方根．解：(1)eq\r(1\f(7,9))＝eq\r(\f(16,9))＝eq\f(\r(16),\r(9))＝eq\f(4,3)；(2)eq\r(\f(3c3,4a4b2))＝eq\f(\r(3c3),\r(4a4b2))＝eq\f(c,2a2b)eq\r(3c).方法总结：被开方数中的带分数要化为假分数，被开方数中的分母要化去，即被开方数不含分母，从而化为最简二次根式．考点六：最简二次根式被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．【例8】在下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？并说明理由．(1)eq\r(45)；(2)eq\r(\f(1,3))；(3)eq\f(\r(5),2)；(4)eq\r(0.5)；(5)eq\r(1\f(4,5)).解析：根据满足最简二次根式的两个条件判断即可．解：(1)eq\r(45)＝3eq\r(5)，被开方数含有开得尽方的因数，因此不是最简二次根式；(2)eq\r(\f(1,3))＝eq\f(\r(3),3)，被开方数中含有分母，因此它不是最简二次根式；(3)eq\f(\r(5),2)，被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式，因此它是最简二次根式；(4)eq\r(0.5)＝eq\r(\f(1,2))＝eq\f(\r(2),2)，被开方数含有小数，因此不是最简二次根式；(5)eq\r(1\f(4,5))＝eq\r(\f(9,5))＝eq\f(3\r(5),5)，被开方数中含有分母，因此它不是最简二次根式．方法总结：解决此题的关键是掌握最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数不含能开得尽方的因数或因式．【变式训练】把下列式子化成最简二次二次根式（1）（2）（3）（4）（6）（7）【例9】座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，其周期计算公式为T＝2πeq\r(\f(l,g))，其中T表示周期(单位：秒)，l表示摆长(单位：米)，g＝9.8米/秒2，假若一台座钟摆长为0.5米，它每摆动一个来回发出一次滴答声，那么在1分钟内，该座钟大约发出了多少次滴答声(π≈3.14)?解析：由给出的公式代入数据计算即可．要先求出这个钟摆的周期，然后利用时间除周期得到次数．解：∵T＝2πeq\r(\f(0.5,9.8))≈1.42，eq\f(60,T)＝eq\f(60,1.42)≈42(次)，∴在1分钟内，该座钟大约发出了42次滴答声．方法总结：解决本题的关键是正确运用公式．用二次根式的除法进行运算，解这类问题时要注意代入数据的单位是否统一．【变式训练】体积为18的长方体的宽为1cm，高为=2cm，求这个长方体的长课后作业：把二次根式化成最简二次根式，则=______．已知x，y均为实数，且满足=（y-1），那么x2013-y2013=______．y=中实数x的取值范围是．已知n是一个正整数，是整数，则n的最小值是______．有理数m，n在数轴上的位置如图所示，那么化简|m-n|-的结果是______．

6..已知长方形的宽是3，它的面积是18，