2019年陕西省某中学高考数学二模试卷(理科)

2019年陕西省宝鸡中学高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（5分）若集合M＝{x|（x+1）（x﹣3）＜0}，集合N＝{x|x＜1}，则M∩N等于（）A．（1，3） B．（﹣∞，﹣1） C．（﹣1，1） D．（﹣3，1）2．（5分）已知复数z满足z（1﹣i）2＝1+i（i为虚数单位），则|z|为（）A． B． C． D．13．（5分）若直线x+（1+m）y﹣2＝0和直线mx+2y+4＝0平行，则m的值为（）A．1 B．﹣2 C．1或﹣2 D．4．（5分）设向量＝（1，1），＝（2，﹣3），若k﹣2与垂直，则实数k的值等于（）A．﹣1 B．1 C．2 D．﹣25．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z＝x+2y的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．56．（5分）设D为椭圆x2+＝1上任意一点，A（0，﹣2），B（0，2），延长AD至点P，使得|PD|＝|BD|，则点P的轨迹方程为（）A．x2+（y﹣2）2＝20 B．x2+（y+2）2＝20 C．x2+（y﹣2）2＝5 D．x2+（y+2）2＝57．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入如下四个函数：①f（x）＝sinx，②f（x）＝cosx，③f（x）＝，④f（x）＝x2，则输出的函数是（）A．f（x）＝sinx B．f（x）＝cosx C．f（x）＝ D．f（x）＝x28．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E、F，且EF＝．则下列结论中正确的个数为（）①AC⊥BE；②EF∥平面ABCD；③三棱锥A﹣BEF的体积为定值；④△AEF的面积与△BEF的面积相等．A．1 B．2 C．3 D．49．（5分）函数f（x）＝sin（ωx+φ）+的图象过（1，2），若f（x）相邻的零点为x1，x2且满足|x1﹣x2|＝6，则f（x）的单调增区间为（）A．[﹣2+12k，4+12k]（k∈Z） B．[﹣5+12k，1+12k]（k∈Z） C．[1+12k，7+12k]（k∈Z） D．[﹣2+6k，1+6k]（k∈Z）10．（5分）已知抛物线x2＝16y的焦点为F，双曲线＝1的左、右焦点分别为F1、F2，点P是双曲线右支上一点，则|PF|+|PF1|的最小值为（）A．5 B．7 C．9 D．1111．（5分）已知α，β∈R，则“α＞β”是“α﹣β＞sinα﹣sinβ”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．即不充分也不必要条件12．（5分）定义在R上的函数y＝f（x），满足f（3﹣x）＝f（x），f′（x）为f（x）的导函数，且（x﹣）f′（x）＜0，若x1＜x2，且x1+x2＞3，则有（）A．f（x1）＜f（x2） B．f（x1）＞f（x2） C．f（x1）＝f（x2） D．不确定二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．13．（5分）在（x2﹣2x﹣3）3的展开式中，含x2的项的系数是．14．（5分）已知曲线f（x）＝x3在点（1，f（1））处的切线的倾斜角为α，则的值为．15．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为．16．（5分）已知三角形的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a＝，b2﹣c2＝6，则角A最大时，三角形ABC的面积等于．三、解答题（本大题共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．其中第17-21题为必做题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选做题，考生根据要求作答）：（一）必做题17．（12分）设数列{an}满足a1＝2，an+1﹣an＝2n；数列{bn}的前n项和为Sn，且Sn＝（3n2﹣n）．（Ⅰ）求数列{an}和{bn}的通项公式；（Ⅱ）若cn＝anbn，求数列{cn}的前n项和Tn．18．（12分）甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司底薪70元，每单抽成2元；乙公司无底薪，40单以内（含40单）的部分每单抽成4元，超出40单的部分每单抽成6元．假设同一公司的送餐员一天的送餐单数相同，现从两家公司各随机抽取一名送餐员，并分别记录其100天的送餐单数，得到如下频数表：甲公司送餐员送餐单数频数表送餐单数3839404142天数2040201010乙公司送餐员送餐单数频数表送餐单数3839404142天数1020204010（Ⅰ）现从甲公司记录的这100天中随机抽取两天，求这两天送餐单数都大于40的概率；（Ⅱ）若将频率视为概率，回答以下问题：（ⅰ）记乙公司送餐员日工资X（单位：元），求X的分布列和数学期望；（ⅱ）小明拟到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工资的角度考虑，请利用所学的统计学知识为他作出选择，并说明理由．19．（12分）在五面体ABCDEF中，四边形EDCF是正方形，AD＝DE＝1，∠ADE＝90°，∠ADC＝∠DCB＝120°．（Ⅰ）求证：AE⊥BD；（Ⅱ）求直线AF与平面BDF所成角的正弦值．20．（12分）已知动圆P恒过定点（，0），且与直线x＝﹣相切．（Ⅰ）求动圆P圆心的轨迹M的方程；（Ⅱ）正方形ABCD中，一条边AB在直线y＝x+4上，另外两点C、D在轨迹M上，求正方形的面积．21．（12分）已知函数f（x）＝lnx﹣（a∈R）（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若f（x）有两个极值点x1，x2，则证明：f（）＜．（二）选做题（请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时涂所选题号．）[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）点P是曲线C1：（x﹣2）2+y2＝4上的动点，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，以极点O为中心，将点P逆时针旋转90°得到点Q，设点Q的轨迹为曲线C2．（1）求曲线C1，C2的极坐标方程；（2）射线θ＝，（ρ＞0）与曲线C1，C2分别交于A，B两点，设定点M（2，0），求△MAB的面积．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝x2﹣x﹣1．（Ⅰ）解不等式：|f（x）|＜1；（Ⅱ）若|x﹣a|＜1，求证：|f（x）﹣f（a）|＜2（|a|+1）．

2019年陕西省宝鸡中学高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（5分）若集合M＝{x|（x+1）（x﹣3）＜0}，集合N＝{x|x＜1}，则M∩N等于（）A．（1，3） B．（﹣∞，﹣1） C．（﹣1，1） D．（﹣3，1）【考点】1E：交集及其运算．【专题】11：计算题；5J：集合．【分析】由二次不等式的解法得：M＝（﹣1，3），由集合交集及其运算得：M∩N＝（﹣1，1），得解．【解答】解：解二次不等式（x+1）（x﹣3）＜0得：﹣1＜x＜3，即M＝（﹣1，3），又集合N＝{x|x＜1}＝（﹣∞，1），所以M∩N＝（﹣1，1），故选：C．【点评】本题考查了二次不等式的解法及集合交集及其运算，属简单题．2．（5分）已知复数z满足z（1﹣i）2＝1+i（i为虚数单位），则|z|为（）A． B． C． D．1【考点】A8：复数的模．【专题】11：计算题；38：对应思想；5N：数系的扩充和复数．【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简求得z，代入复数模的计算公式求解．【解答】解：由z（1﹣i）2＝1+i，得，∴|z|＝．故选：B．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．3．（5分）若直线x+（1+m）y﹣2＝0和直线mx+2y+4＝0平行，则m的值为（）A．1 B．﹣2 C．1或﹣2 D．【考点】I8：两条直线平行与倾斜角、斜率的关系．【专题】11：计算题；35：转化思想；5B：直线与圆．【分析】由两直线平行的充要条件，列出方程求解即可．【解答】解：直线x+（1+m）y﹣2＝0和直线mx+2y+4＝0平行，可得，得：m＝1，故选：A．【点评】本题主要考查两直线的位置关系．4．（5分）设向量＝（1，1），＝（2，﹣3），若k﹣2与垂直，则实数k的值等于（）A．﹣1 B．1 C．2 D．﹣2【考点】9T：数量积判断两个平面向量的垂直关系．【专题】5A：平面向量及应用．【分析】利用已知条件表示k﹣2，通过向量互相垂直⇔数量积为0，列出方程解得k．【解答】解：∵向量＝（1，1），＝（2，﹣3），∴k﹣2＝k（1，1）﹣2（2，﹣3）＝（k﹣4，k+6）．∵k﹣2与垂直，∴（k﹣2）•＝k﹣4+k+6＝0，解得k＝﹣1．故选：A．【点评】本题考查了向量的运算、向量垂直与数量积的关系，属于基础题．5．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z＝x+2y的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】7C：简单线性规划．【专题】59：不等式的解法及应用．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．【解答】解：作出不等式对应的平面区域，由z＝x+2y，得y＝﹣，平移直线y＝﹣，由图象可知当直线y＝﹣经过点B（1，1）时，直线y＝﹣的截距最小，此时z最小．此时z的最小值为z＝1+2×1＝3，故选：B．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．6．（5分）设D为椭圆x2+＝1上任意一点，A（0，﹣2），B（0，2），延长AD至点P，使得|PD|＝|BD|，则点P的轨迹方程为（）A．x2+（y﹣2）2＝20 B．x2+（y+2）2＝20 C．x2+（y﹣2）2＝5 D．x2+（y+2）2＝5【考点】KK：圆锥曲线的轨迹问题．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由已知可得，A（0，﹣2），B（0，2）为椭圆两焦点，再由已知结合椭圆定义可得点P的轨迹是以A为圆心，以2为半径的圆，写出圆的标准方程得答案．【解答】解：如图，由椭圆方程x2+＝1，得a2＝5，b2＝1，∴c＝＝2，则A（0，﹣2），B（0，2）为椭圆两焦点，∴|DA|+|DB|＝2a＝2，∵|PD|＝|BD|，∴|PA|＝|PD|+|DA|＝|BD|+|DA|＝2．∴点P的轨迹是以A为圆心，以2为半径的圆，其方程为x2+（y+2）2＝20．故选：B．【点评】本题考查轨迹方程的求法，考查数学转化思想方法，是中档题．7．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入如下四个函数：①f（x）＝sinx，②f（x）＝cosx，③f（x）＝，④f（x）＝x2，则输出的函数是（）A．f（x）＝sinx B．f（x）＝cosx C．f（x）＝ D．f（x）＝x2【考点】EF：程序框图．【专题】5K：算法和程序框图．【分析】程序框图功能是：输出还是f（x）满足f（x）+f（﹣x）＝0且存在零点，判断①②③④是否满足，可得答案．∵满足f（x）+f（﹣x）＝0的函数有①③，【解答】解：由程序框图得：输出还是f（x）满足f（x）+f（﹣x）＝0且存在零点．∵满足f（x）+f（﹣x）＝0的函数有①③，又函数③不存在零点，∴输出函数是①．故选：A．【点评】本题考查了程序框图，判断程序框图的功能是关键．8．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E、F，且EF＝．则下列结论中正确的个数为（）①AC⊥BE；②EF∥平面ABCD；③三棱锥A﹣BEF的体积为定值；④△AEF的面积与△BEF的面积相等．A．1 B．2 C．3 D．4【考点】L2：棱柱的结构特征．【专题】35：转化思想；4R：转化法；5F：空间位置关系与距离．【分析】连结BD，则AC⊥平面BB1D1D，BD∥B1D1，点A、B到直线B1D1的距离不相等，由此判断A，B，C正确，D错．【解答】解：连结BD，则AC⊥平面BB1D1D，BD∥B1D1，∴AC⊥BE，EF∥平面ABCD，三棱锥A﹣BEF的体积为定值，从而A，B，C正确．∵点A、B到直线B1D1的距离不相等，∴△AEF的面积与△BEF的面积不相等，故D错误．故选：C．【点评】本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．9．（5分）函数f（x）＝sin（ωx+φ）+的图象过（1，2），若f（x）相邻的零点为x1，x2且满足|x1﹣x2|＝6，则f（x）的单调增区间为（）A．[﹣2+12k，4+12k]（k∈Z） B．[﹣5+12k，1+12k]（k∈Z） C．[1+12k，7+12k]（k∈Z） D．[﹣2+6k，1+6k]（k∈Z）【考点】H5：正弦函数的单调性．【专题】35：转化思想；4R：转化法．【分析】（1）利用辅助角公式基本公式将函数化为y＝Asin（ωx+φ）的形式，相邻的零点为x1，x2且满足|x1﹣x2|＝6，可得周期为12．求出ω，结合三角函数的图象和性质，求出单调增区间．【解答】解：由，∵f（x）相邻的零点为x1，x2且满足|x1﹣x2|＝6，∴f（x）的周期为12，即＝12，∴ω＝．那么f（x）＝2sin（+φ+）．∵图象过（1，2）点，则f（x）在x＝1处取得最大值，即sin（+φ+）＝cosφ＝1．∴φ＝0+2kπ．令k＝0，可得φ＝0．则函数解析式f（x）＝2sin（+）．令，k∈Z．得：﹣5+12k，≤x≤1+12k，∴f（x）的单调增区间为[﹣5+12k，1+12k]（k∈Z）．故选：B．【点评】本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．属于基础题．10．（5分）已知抛物线x2＝16y的焦点为F，双曲线＝1的左、右焦点分别为F1、F2，点P是双曲线右支上一点，则|PF|+|PF1|的最小值为（）A．5 B．7 C．9 D．11【考点】KI：圆锥曲线的综合．【专题】11：计算题；31：数形结合；35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由双曲线方程求出a及c的值，利用双曲线定义把|PF|+|PF1|转化为|PF1|+|PF2|+2a，连接FF2交双曲线右支于P，则此时|PF|+|PF2|最小等于|FF2|，由两点间的距离公式求出|FF2|，则|PF|+|PF1|的最小值可求．【解答】解：如图由双曲线双曲线＝1，得a2＝3，b2＝5，∴c2＝a2+b2＝9，则c＝3，则F2（3，0），∵|PF1|﹣|PF2|＝4，∴|PF1|＝4+|PF2|，则|PF|+|PF1|＝|PF|+|PF2|+4，连接FF2交双曲线右支于P，则此时|PF|+|PF2|最小等于|FF2|，∵F的坐标为（0，4），F2（3，0），∴|FF2|＝5，∴|PF|+|PF1|的最小值为5+4＝9．故选：C．【点评】本题考查双曲线的标准方程，考查了双曲线的简单性质，训练了双曲线中最值问题的求法，体现了数学转化思想方法，是中档题．11．（5分）已知α，β∈R，则“α＞β”是“α﹣β＞sinα﹣sinβ”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．即不充分也不必要条件【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．【专题】4R：转化法；53：导数的综合应用；5L：简易逻辑．【分析】令f（x）＝x﹣sinx，x∈R．利用导数研究其单调性即可得出．【解答】解：令f（x）＝x﹣sinx，x∈R．f′（x）＝1﹣cosx≥0，可知：函数f（x）在R上单调递增．∴α＞β⇔f（α）＞f（β）⇔α﹣β＞sinα﹣sinβ．∴“α＞β”是“α﹣β＞sinα﹣sinβ”的充要条件．故选：C．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性、简易逻辑的判定方法、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．（5分）定义在R上的函数y＝f（x），满足f（3﹣x）＝f（x），f′（x）为f（x）的导函数，且（x﹣）f′（x）＜0，若x1＜x2，且x1+x2＞3，则有（）A．f（x1）＜f（x2） B．f（x1）＞f（x2） C．f（x1）＝f（x2） D．不确定【考点】3E：函数单调性的性质与判断；62：导数及其几何意义．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】由“f（3﹣x）＝f（x）”，知函数图象关于直线x＝对称，再由“f′（x）＜0”可知：当x＞时，函数是减函数当x＜时，函数是增函数，最后由“x1＜x2，且x1+x2＞3”，得知x1，x2∈（，+∞），应用单调性定义得到结论．【解答】解：∵f（3﹣x）＝f（x），∴函数图象关于直线x＝对称，又∵f′（x）＜0∴当x＞时，函数是减函数当x＜时，函数是增函数∵x1＜x2，且x1+x2＞3∴x1，x2∈（，+∞）∴f（x1）＞f（x2）故选：B．【点评】本题主要考查函数的对称性和单调性，这里还考查了导数，当导数大于零时，函数是增函数，当导数小于零时，函数是减函数．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．13．（5分）在（x2﹣2x﹣3）3的展开式中，含x2的项的系数是﹣9．【考点】DA：二项式定理．【专题】35：转化思想；49：综合法；5P：二项式定理．【分析】根据（x2﹣2x﹣3）3＝（x﹣1）3•（x+3）3，再把（x﹣1）3和（x+3）3按照二项式定理展开，可得x2的项的系数．【解答】解：∵（x2﹣2x﹣3）3＝（x﹣1）3•（x+3）3＝（x3﹣3x2+3x﹣1）（x3+9x2+27x+27）的展开式中，含x2的项的系数是﹣3×27+3×27﹣1×9＝﹣9，故答案为：﹣9．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．14．（5分）已知曲线f（x）＝x3在点（1，f（1））处的切线的倾斜角为α，则的值为．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；53：导数的综合应用．【分析】求出函数的导数，求得f（x）在点（1，f（1））处切线斜率，利用同角三角函数关系式即可化简得解．【解答】解：因为：曲线f（x）＝x3．所以：函数f（x）的导函数f′（x）＝2x2，可得：f′（1）＝2，因为：曲线f（x）＝x3在点（1，f（1））处的切线的倾斜角为α，所以：tanα＝f′（1）＝2，所以：＝＝＝．故答案为：．【点评】本题考查导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处切线的斜率，同时考查三角函数化简求值，属于基础题．15．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【专题】31：数形结合；46：分割补形法；5Q：立体几何．【分析】根据三视图知该几何体是一四棱锥与一三棱锥的组合体，结合图中数据计算该几何体的体积．【解答】解：根据三视图知，该几何体是一四棱锥P﹣ABCD与一三棱锥P﹣CDE的组合体，如图所示；结合图中数据，计算该几何体的体积为V＝V四棱锥+V三棱锥＝×22×2+××2×1×2＝．故答案为：．【点评】本题考查了利用三视图求几何体体积的应用问题，是基础题．16．（5分）已知三角形的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a＝，b2﹣c2＝6，则角A最大时，三角形ABC的面积等于．【考点】HR：余弦定理．【专题】11：计算题；58：解三角形．【分析】由已知结合余弦定理cosA＝可求cosA，然后结合函数的性质可求cosA的最小值，结合余弦函数的性质即可求解A的最大值，然后代入三角形的面积公式即可求解【解答】解：∵a＝，b2﹣c2＝6，∴，∴cosA＝＝＝＝令t＝c2，f（t）＝，t＞0则f′（t）＝，令f′（t）＞0可得，0＜t＜6令f′（t）＜0可得，t＞6根据函数的性质可知，当t＝6时，f（t）由最大值，此时cosA有最小值，sinA＝，当t＝6时，可得c＝，b＝2，s△ABC＝＝＝．故答案为：【点评】本题主要考查了余弦定理，及利用导数求解函数的单调性及函数的最值，三角形的面积公式的应用，属于中档试题三、解答题（本大题共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．其中第17-21题为必做题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选做题，考生根据要求作答）：（一）必做题17．（12分）设数列{an}满足a1＝2，an+1﹣an＝2n；数列{bn}的前n项和为Sn，且Sn＝（3n2﹣n）．（Ⅰ）求数列{an}和{bn}的通项公式；（Ⅱ）若cn＝anbn，求数列{cn}的前n项和Tn．【考点】8E：数列的求和．【专题】35：转化思想；49：综合法；54：等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）由累加法求得an，由bn＝可得bn；（Ⅱ）由错位相减法可得Tn．【解答】解：（Ⅰ）∵a2﹣a1＝21，a3﹣a2＝22，a4﹣a3＝23，……，an﹣an﹣1＝2n﹣1，以上n﹣1个式子相加得：an﹣a1＝21+22+23+…+2n﹣1＝＝2n﹣2∴an＝2nn≥2时，bn＝Sn﹣Sn﹣1＝（3n2﹣n）﹣[3（n﹣1）2﹣（n﹣1）]＝3n﹣2n＝1时，b1＝S1＝1，符合上式，∴bn＝3n﹣2；（Ⅱ）cn＝anbn＝（3n﹣2）•2nTn＝1•21+4•22+7•23+…+（3n﹣2）•2n①2Tn＝1•22+4•23+7•24+…+（3n﹣2）•2n+1②①﹣②得﹣Tn＝2+3（22+23+…+2n）﹣（3n﹣2）•2n+1＝2+3×﹣（3n﹣2）•2n+1＝﹣10+（5﹣3n）•2n+1∴Tn＝10+（3n﹣5）•2n+1【点评】本题考查了求通项公式的方法，考查了错位相减法求和，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．（12分）甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司底薪70元，每单抽成2元；乙公司无底薪，40单以内（含40单）的部分每单抽成4元，超出40单的部分每单抽成6元．假设同一公司的送餐员一天的送餐单数相同，现从两家公司各随机抽取一名送餐员，并分别记录其100天的送餐单数，得到如下频数表：甲公司送餐员送餐单数频数表送餐单数3839404142天数2040201010乙公司送餐员送餐单数频数表送餐单数3839404142天数1020204010（Ⅰ）现从甲公司记录的这100天中随机抽取两天，求这两天送餐单数都大于40的概率；（Ⅱ）若将频率视为概率，回答以下问题：（ⅰ）记乙公司送餐员日工资X（单位：元），求X的分布列和数学期望；（ⅱ）小明拟到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工资的角度考虑，请利用所学的统计学知识为他作出选择，并说明理由．【考点】CG：离散型随机变量及其分布列；CH：离散型随机变量的期望与方差．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5I：概率与统计．【分析】（Ⅰ）记“抽取的两天送餐单数都大于40”为事件M，利用等可能事件概率计算公式能求出这两天送餐单数都大于40的概率．（Ⅱ）（ⅰ）设乙公司送餐员送餐单数为a，推导出X的所有可能取值为152，156，160，166，172，由此能求出X的分布列和数学期望．（ⅱ）依题意，求出甲公司送餐员日平均送餐单数，从而得到甲公司送餐员日平均工资，再求出乙公司送餐员日平均工资，由此能求出结果．【解答】解：（Ⅰ）记“抽取的两天送餐单数都大于40”为事件M，则P（M）＝＝．（4分）（Ⅱ）（ⅰ）设乙公司送餐员送餐单数为a，则当a＝38时，X＝38×4＝152，当a＝39时，X＝39×4＝156，当a＝40时，X＝40×4＝160，当a＝41时，X＝40×4+1×6＝166，当a＝42时，X＝40×4+2×6＝172．所以X的所有可能取值为152，156，160，166，172．（6分）故X的分布列为：X152156160166172P（8分）∴E（X）＝＝162．（9分）（ⅱ）依题意，甲公司送餐员日平均送餐单数为38×0.2+39×0.4+40×0.2+41×0.1+42×0.1＝39.5．（10分）所以甲公司送餐员日平均工资为70+2×39.5＝149元．（11分）由（ⅰ）得乙公司送餐员日平均工资为162元．因为149＜162，故推荐小明去乙公司应聘．（12分）【点评】本小题主要考查古典概型、随机变量的分布列及数学期望等基础知识，考查运算求解能力、数据处理能力、应用意识，考查分类与整合思想、必然与或然思想、化归与转化思想．19．（12分）在五面体ABCDEF中，四边形EDCF是正方形，AD＝DE＝1，∠ADE＝90°，∠ADC＝∠DCB＝120°．（Ⅰ）求证：AE⊥BD；（Ⅱ）求直线AF与平面BDF所成角的正弦值．【考点】LW：直线与平面垂直；MI：直线与平面所成的角．【专题】14：证明题；31：数形结合；41：向量法；5F：空间位置关系与距离；5G：空间角．【分析】（Ⅰ）推导出AD⊥BD，AD⊥DE，DC⊥DE，从而DE⊥平面ABCD，进而BD⊥DE，由此能证明BD⊥平面ADE，从而AE⊥BD．（Ⅱ）以D为原点，DA为x轴，DB为y轴，DE为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AF与平面BDF所成角的正弦值．【解答】证明：（Ⅰ）∵AD＝DE＝1，四边形EDCF是正方形，∠ADC＝∠DCB＝120°．∴AD＝DC＝BC＝1，∴∠BDC＝∠DBC＝30°，∴∠ADB＝90°，∴AD⊥BD，∵在五面体ABCDEF中，四边形EDCF是正方形，∠ADE＝90°，∴AD⊥DE，DC⊥DE，又AD∩DC＝D，∴DE⊥平面ABCD，∵BD⊂平面ABCD，∴BD⊥DE，∵AD∩DE＝D，∴BD⊥平面ADE，∵AE⊂平面ADE，∴AE⊥BD．解：（Ⅱ）以D为原点，DA为x轴，DB为y轴，DE为z轴，建立空间直角坐标系，A（1，0，0），F（0，1，1），B（0，，0），D（0，0，0），E（0，0，1），＝（1，﹣1，﹣1），＝（0，，0），＝（0，0，1），平面BDE的法向量＝（1，0，0），设直线AF与平面BDF所成角为θ，则cosθ＝＝＝．∴直线AF与平面BDF所成角的正弦值为．【点评】本题考查线线垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．20．（12分）已知动圆P恒过定点（，0），且与直线x＝﹣相切．（Ⅰ）求动圆P圆心的轨迹M的方程；（Ⅱ）正方形ABCD中，一条边AB在直线y＝x+4上，另外两点C、D在轨迹M上，求正方形的面积．【考点】J3：轨迹方程．【专题】34：方程思想；4R：转化法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）由条件可知，此曲线是焦点为F（，0）的抛物线，求出p，即可得动圆P圆心的轨迹M的方程；（Ⅱ）先设CD的方程，然后与抛物线联立可消去y得到关于x的一元二次方程，即可表示出|CD|，再由|AD|＝|CD|可求出t的值，从而可求出正方形的边长得到面积．【解答】解：（Ⅰ）由条件可知，此曲线是焦点为F（，0）的抛物线，，p＝．∴动圆P圆心的轨迹M的方程为y2＝x；（Ⅱ）设CD所在直线的方程为y＝x+t，联立，消去y得，x2+（2t﹣1）x+t2＝0，∴|CD|＝，又直线AB与CD间距离为|AD|＝，且|AD|＝|CD|，则，解得：t＝﹣2或﹣6；从而边长为3或5．则正方形ABCD的面积S＝（3）2＝18，或S＝（5）2＝50．【点评】本题考查轨迹方程的求法，考查直线与抛物线位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．21．（12分）已知函数f（x）＝lnx﹣（a∈R）（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若f（x）有两个极值点x1，x2，则证明：f（）＜．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数研究函数的最值．【专题】14：证明题；35：转化思想；4C：分类法；53：导数的综合应用．【分析】（1）f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）＝＝，令g（x）＝x2+（2﹣a）x+1，当0≤a≤4时，g（x）≥0，f′（x）≥0，x∈（0，+∞）上f（x）是单调递增函数；△＞0时，g（x）＝0的两根为，，由此利用导数性质能求出f（x）的单调区间．（2）f（x）有两个极值点x1，x2，由x1+x2＝a﹣2，x1x2＝1，g（x）＝0的两个根为x1，x2，则0＜x1＜x2，得到a＞4，从而f（）＝，＝﹣，令F（a）＝f（）﹣＝ln﹣+2，F′（a）＝＝，由此利用导数性质能证明f＜．【解答】解：（1）∵函数f（x）＝lnx﹣（a∈R），∴f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）＝＝，令g（x）＝x2+（2﹣a）x+1，△＝（2﹣a）2﹣4＝a2﹣4a，由△≤0，得0≤a≤4，由△＞0，得a＜0或a＞4，当0≤a≤4时，g（x）≥0，f′（x）≥0，x∈（0，+∞）上f（x）是单调递增函数；△＞0时，g（x）＝0的两根为，，当a＜0时，x1＜x2＜0，在x∈（0，+∞）上，g（x）＞0，f′（x）＞0，f（x）是增函数；当a＞4时，0＜x1＜x2，x∈（0，]，g（x）≥0，f′（x）≥0，f（x）是增函数，x∈（，]，g（x）≤0，f′（x）≤0，f（x）是减函数，x∈（，+∞），g（x）＞0，f′（x）＞0，f9x）是增函数．综上所述：当a≤4时，f（x）的增区间是（0，+∞）；当a＞4时，f（x）的增区间是（0，]，（