第五章第二型曲面积分

第五章第二型曲面积分第一页，共四十页，2022年，8月28日3.1第二型曲面积分概念与性质1.曲面的侧双侧曲面：有上、下侧，前、后侧，左、右侧之分。单侧曲面：无上下侧，前后侧，左右侧之分。也无内侧和外侧之分。机动目录上页下页返回结束在光滑曲面∑上任取一点M，曲面在点M处的法线有两个方向：当取定其中一个方向为正方向时，则另一个就是负方向。例如封闭曲面：内侧和外侧之分。第二页，共四十页，2022年，8月28日单侧曲面莫比乌斯带封闭曲面(单侧曲面的典型)

机动目录上页下页返回结束分内侧和外侧第三页，共四十页，2022年，8月28日双侧曲面曲面分上侧和下侧曲面分左侧和右侧机动目录上页下页返回结束xyzxyzxyz曲面分前侧和后侧第四页，共四十页，2022年，8月28日其方向用法向量指向表示:方向余弦>0为前侧封闭曲面>0为右侧>0为上侧外侧侧向的规定设单位法向量机动目录上页下页返回结束<0为后侧<0为左侧<0为下侧内侧

指定了侧向的曲面叫有向曲面。第五页，共四十页，2022年，8月28日引例设不可压缩流体（假设密度为1）在空间中稳定求单位时间流过光滑曲面的流量.若

是指定了侧向平面，面积为S则流量平面的法向量:

流速为常向量:

机动目录上页下页返回结束1.流体流向曲面一侧的流量问题流动，流速为从给定曲面∑的一侧流向另一侧，P,Q,R是连续函数，流量等于斜柱体体积，等于直柱体体积第六页，共四十页，2022年，8月28日则用“分割,替代,求和,取极限”方法。把曲面分割成n个有向小曲面，小曲机动目录上页下页返回结束若流速为向量值函数:

面分别记为当为指定了侧向曲面时,每个小曲面的面积记为（近似看做小平面）当很小时，任取一点以速度代替上各点的速度，流体流过的流量近似等于：流量第七页，共四十页，2022年，8月28日则机动目录上页下页返回结束从而单位时间内流过曲面指定一侧的流量第八页，共四十页，2022年，8月28日机动目录上页下页返回结束即单位时间内流过曲面指定一侧的流量第九页，共四十页，2022年，8月28日•设为有向曲面,有向小曲面在oxy面，oyz面，ozx面上的带有符号的投影分别则规定机动目录上页下页返回结束定义为其绝对值定义为面，ozx面投影域的面积。则其投影的符号分别与符号相同。在oxy面，oyz可知第十页，共四十页，2022年，8月28日机动目录上页下页返回结束流量又可表示为于是定义二型曲面积分：第十一页，共四十页，2022年，8月28日机动目录上页下页返回结束面积记为任取一点设2.定义.侧向的有向光滑曲面

上的有界函数，是取定了n个有向小曲面把曲面分割成带有符号的投影面积分别为在oyz面，ozx面，oxy面上的怎样选取，极限如果无论对∑怎样分割，也无论点总是存在且相等，则称此极限值为向量值函数第十二页，共四十页，2022年，8月28日其中P,Q,R叫做被积函数;叫做积分曲面.又称为第二类曲面积分.在有向曲面∑上的第二型曲面积分，记作机动目录上页下页返回结束第十三页，共四十页，2022年，8月28日称为Q在有向曲面上对

z,x的曲面积分;称为R在有向曲面上对

x,y

的曲面积分.称为P在有向曲面上对

y,z

的曲面积分;机动目录上页下页返回结束第十四页，共四十页，2022年，8月28日(1)若则(2)用－表示与曲面的侧向相反的侧向的曲面，则机动目录上页下页返回结束3.性质引例中,流过有向曲面的流体的流量为第十五页，共四十页，2022年，8月28日若记正向的单位法向量则第二型曲面积分也常写成如下形式机动目录上页下页返回结束和向量值函数为则第十六页，共四十页，2022年，8月28日机动目录上页下页返回结束即两类曲面积分的关系是：其中第十七页，共四十页，2022年，8月28日机动目录上页下页返回结束3.2第二型曲面积分的计算（1）计算为上侧时,取“+”，为下侧时,取“－”，曲面上的连续函数,1.分面投影法函数R(x,y,z)是光滑则第十八页，共四十页，2022年，8月28日证:由于机动目录上页下页返回结束法向量当取上侧时,当取下侧时,,取“+”，取“－”。第十九页，共四十页，2022年，8月28日

•若则有•若则有(前侧取正，后侧取负)(右侧取正，左侧正负)同理:机动目录上页下页返回结束第二十页，共四十页，2022年，8月28日如果垂直于oxy平面，机动目录上页下页返回结束如果垂直于坐标面oyz面如果垂直于ozx面xyzxyzxyz第二十一页，共四十页，2022年，8月28日其中是正方体整个表面的外侧.解:

注意到都垂直于oyz平面与x轴的夹角都是机动目录上页下页返回结束例1.计算第二十二页，共四十页，2022年，8月28日解:把分为分析:需要向xy投影，其中为球面取下侧机动目录上页下页返回结束例2.计算曲面积分取上侧第二十三页，共四十页，2022年，8月28日机动目录上页下页返回结束第二十四页，共四十页，2022年，8月28日机动目录上页下页返回结束第二十五页，共四十页，2022年，8月28日其中解:利用两类曲面积分的联系,有是介于平面z=0及z=h之间部分的外侧.机动目录上页下页返回结束例3.

计算曲面积分h第二十六页，共四十页，2022年，8月28日机动目录上页下页返回结束第二十七页，共四十页，2022年，8月28日机动目录上页下页返回结束2.合一投影法曲面投影域第二十八页，共四十页，2022年，8月28日机动目录上页下页返回结束为上侧时,取“+”，为下侧时,取“－”，第二十九页，共四十页，2022年，8月28日机动目录上页下页返回结束类似地曲面投影域为前侧时,取“+”，为后侧时,取“－”，第三十页，共四十页，2022年，8月28日机动目录上页下页返回结束类似地曲面投影域为右侧时,取“+”，为左侧时,取“－”，第三十一页，共四十页，2022年，8月28日其中解:用合一投影法旋转抛物面介于平面z=0及z=2之间部分的下侧.机动目录上页下页返回结束例4.

计算曲面积分下侧.第三十二页，共四十页，2022年，8月28日原式机动目录上页下页返回结束第三十三页，共四十页，2022年，8月28日例5.设上侧。计算解:机动目录上页下页返回结束第三十四页，共四十页，2022年，8月28日内容小结定义:1.两类曲面积分及其联系

机动目录上页下页返回结束第三十五页，共四十页，2022年，8月28日性质:联系:思考:的方向有关,上述联系公式是否矛盾?两类曲线积分的定义一个与的方向无关,一个与机动目录上页下页返回结束第三十六页，共四十页，2022年，8月28日2.常用计算公式及方法面积分第一类(对面积)第二类(对坐标)二重积分(1)统一积分变量代入曲面方程(方程不同时分片积分)(2)积分元素投影第一类：面积投影第二类：有向投影(4)确定积分域把曲面积分域投影到相关坐标面注：二重积分是第一类曲面积分的特殊情况.转化机动目录上页下页返回结束第三十七页，共四十页，2022年，8月28日当时，（上侧取“+”,下侧取“”)类似可考虑在yoz面及zox面上的二重积分转化公式.机动目录上页