第六讲密度与随机变量函数的分布

第六讲密度与随机变量函数的分布第一页，共四十一页，2022年，8月28日第六讲密度与随机变量函数的分布一、复习：密度与分布和区间概率第二页，共四十一页，2022年，8月28日因随机变量X在[2,5]上服从均匀分布,则X的概率密度:解:独立观测,试求至少有2次观测值大于3的概率.设随机变量X在[2,5]上服从均匀分布,现对X进行3次例6-1-1(1989)观测值大于3的概率:3次观测中有2次观测值大于3的概率为:第六讲密度与随机变量函数的分布第三页，共四十一页，2022年，8月28日解已知某电子管的寿命X（小时）服从指数分布：求这种电子管使用1000小时以上的概率。例6-1-2某仪器装有3只独立工作的同型号电子元件,其寿命(单位:h)都服从同一指数分布,概率密度为:例6-1-3(1989)：第六讲密度与随机变量函数的分布第四页，共四十一页，2022年，8月28日试求:在仪器使用的最初200小时内至少有一只元件损坏的概率.解设随机变量X表示电子元件的寿命(单位:h),P(A)=P(0≤X≤200)第六讲密度与随机变量函数的分布第五页，共四十一页，2022年，8月28日二、随机变量的函数的分布设g(x)是定义在随机变量X的一切可能值x的集合上的函数,若存在随机变量Y，当变量X取值x时，Y有唯一值y=g(x)与之对应，则称Y是随机变量X的函数(一）离散型随机变量的函数的概率分布1.定义：设随机变量X的概率分布为：则随机变量函数的概率分布是：第六讲密度与随机变量函数的分布第六页，共四十一页，2022年，8月28日2.定义说明：第六讲密度与随机变量函数的分布第七页，共四十一页，2022年，8月28日例6-2-1设随机变量X的概率分布为：-2-101230.100.200.250.200.150.10求：(1)随机变量Y1=-2X的概率分布；(2)随机变量Y2=X2的概率分布。XP(X=xi)解（1）由已知有420-2-4-60.100.200.250.200.150.10把随机变量的可能值由小到大排列的概率分布为第六讲密度与随机变量函数的分布第八页，共四十一页，2022年，8月28日-6-4-20240.100.150.200.250.200.10（2）显然有：4101490.100.200.250.200.150.1001490.250.400.250.10整理得的概率分布第六讲密度与随机变量函数的分布第九页，共四十一页，2022年，8月28日求随机变量的概率分布。12n例6-2-2

设随机变量的概率分布为：解由于所以，随机变量函数只有三个取值-1，0，1。第六讲密度与随机变量函数的分布第十页，共四十一页，2022年，8月28日同理可解：第六讲密度与随机变量函数的分布第十一页，共四十一页，2022年，8月28日整理得的概率分布-101第六讲密度与随机变量函数的分布第十二页，共四十一页，2022年，8月28日（二）连续随机变量函数的分布设X是连续型随机变量，其密度函数为,又x的函数

存在反函数，则函数

也是一个连续型随机变量，且：1.定义：2.定义说明(1)设函数g(x)单调增加,则它的反函数x=g-1(y)也单调增加.第六讲密度与随机变量函数的分布第十三页，共四十一页，2022年，8月28日(2)设函数是单调减函数，则它的反函数函数也是单调减函数。第六讲密度与随机变量函数的分布第十四页，共四十一页，2022年，8月28日第六讲密度与随机变量函数的分布第十五页，共四十一页，2022年，8月28日例6-2-3

解第六讲密度与随机变量函数的分布第十六页，共四十一页，2022年，8月28日为单调函数，第六讲密度与随机变量函数的分布第十七页，共四十一页，2022年，8月28日解:1yyxo例6-2-4：设随机变量X在区间服从均匀分布，即概率密度第六讲密度与随机变量函数的分布第十八页，共四十一页，2022年，8月28日上式两边对y求导数，即得Y的概率密度第六讲密度与随机变量函数的分布第十九页，共四十一页，2022年，8月28日解:yxo例6-2-5：设随机变量X的概率密度:求:的概率密度.第六讲随机变量函数的分布与二维概率分布当第二十页，共四十一页，2022年，8月28日例6-2-6(1988)：设随机变量X在[1,2]上服从均匀分布,求随机变量的概率密度函数解:因随机变量X在[1,2]上服从均匀分布:对任意实数y,随机变量Y的分布函数为:当y≤0时,分布为不可能事件概率当y>0时,第六讲随机变量函数的分布与二维概率分布第二十一页，共四十一页，2022年，8月28日当<y≤时,当y>时,第六讲随机变量函数的分布与二维概率分布当0<y≤时,第二十二页，共四十一页，2022年，8月28日例6-2-7（95研6分）第六讲随机变量函数的分布与二维概率分布第二十三页，共四十一页，2022年，8月28日第六讲随机变量函数的分布与二维概率分布第二十四页，共四十一页，2022年，8月28日2.2维离散随机变量（X，Y）的联合概率定义：三、二维离散型随机变量及其联合概率分布1.N维离散随机变量定义：第六讲随机变量函数的分布与二维概率分布第二十五页，共四十一页，2022年，8月28日注意：实际上：3.2维离散随机变量联合概率的性质（非负规范边缘乘全）：第六讲随机变量函数的分布与二维概率分布第二十六页，共四十一页，2022年，8月28日第六讲随机变量函数的分布与二维概率分布边缘概率是另一变量必然状态下的单变量概率第二十七页，共四十一页，2022年，8月28日4.联合分布列（表）一般排列是横看X竖看Y（或竖排X横排Y）x1x2y1y2……………p11p12p21p22…………XY第六讲随机变量函数的分布与二维概率分布边缘分布背景：在表的边上第二十八页，共四十一页，2022年，8月28日则有联合概率函数：设X及Y

分别是取出的4件产品中一等品及二等品的件数，解:10件产品中有3件一等品，5件二等品，2件三等品。从例6-3-1：中任取4件，求其中一等品、二等品件数的二维概率分布。2

i+j

4.

其中i=

0、1、2、3；j=

0、1、2、3、4；由此得(X,Y)的二维联合概率分布如下：第六讲随机变量函数的分布与二维概率分布第二十九页，共四十一页，2022年，8月28日2

i+j

4.

其中i=

0、1、2、3；j=

0、1、2、3、4；由此得(X,Y)的二维联合概率分布如下：00030200100043210XY第六讲随机变量函数的分布与二维概率分布第三十页，共四十一页，2022年，8月28日例6-3-2(2001)服从参数为设某班车起点站上车乘客人数X的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为p(0<p<1),中途下车与否相互独立,以Y表示在中途下车的人数,求:(1)在发车时有n个乘客的条件下,中途有m个人下车的概率;(2)二维随机变量(X,Y)的联合概率分布.解:(1)第六讲随机变量函数的分布与二维概率分布第三十一页，共四十一页，2022年，8月28日第六讲随机变量函数的分布与二维概率分布(2)因X服从参数为的泊松分布,第三十二页，共四十一页，2022年，8月28日第六讲随机变量函数的分布与二维概率分布例题6-3-3(04,数学一，两问9分）第三十三页，共四十一页，2022年，8月28日第六讲随机变量函数的分布与二维概率分布第三十四页，共四十一页，2022年，8月28日四、二维连续型随机变量的联合分布函数与密度函数（一）联合分布函数：2.二维联合分布的几何解释即可以用两个事件的交分析联合分布第六讲随机变量函数的分布与二维概率分布第三十五页，共四十一页，2022年，8月28日ⅠⅡⅢⅣ第六讲随机变量函数的分布与二维概率分布第三十六页，共四十一页，2022年，8月28日性质：（1）F(x,y)是变量x(或y)的单调非减函数，3.二维联合分布的性质同样对任意固定的x,即对任意固定的y,由二维联合分布的几何解释，我们容易地得出下列结论：第六讲随机变量函数的分布与二维概率分布第三十七页，共四十一页，2022年，8月28日4.二维分布下的边缘密度第六讲随机变量函数的分布与二维概率分布第三十八页，共四十一页，2022年，8月28日(二）二维变量的密度函数则f(x,y)称为(X,Y)的概率密度函数或X与Y的联合概率密度。1.