第四章 留数定理

第四章留数定理第一页，共四十三页，2022年，8月28日第四章留数定理§

4.2应用留数定理计算实变函数定积分§4.1留数定理第一篇复变函数论*§

4.3计算定积分的补充例题

第二页，共四十三页，2022年，8月28日第四章留数定理§4.1留数定理一、留数与留数定理1、留数的来历——始于f(z)的奇点★内、外境界线逆时针积分相等。←逆时针逆时针→z0ll0图4.1★柯西定理的含义●单连通域●复连通域——有奇点

第三页，共四十三页，2022年，8月28日★如果z0ll0图4.1★得★又由P28的柯西积分得:★即★即得孤立奇点z0的留数，由P25的柯西定理

↘第四页，共四十三页，2022年，8月28日

设z0是f(z)包围在闭曲线内的孤立奇点，且不包含的另外奇点，（如图4.1所示）则在奇点的留数（Residue）定义为：2、留数的定义z0ll0图4.1★留数的数学意义：f(z)在z0点的留数等于在环域内f(z)洛朗级数负一次幂的系数。（逆时针）

第五页，共四十三页，2022年，8月28日b1b2b3bnl图4.23、留数定理设f(z)在闭曲线上解析（如图4.2所示），在l所围的区域内除有限个孤立奇点b1、b2、b3…bn外，无其它奇点，则:（逆时针）★留数定理给出回路积分等于被积函数在回路所围各奇点的留数之和。

第六页，共四十三页，2022年，8月28日二、函数在无穷远点的留数1、无穷远点留数的定义

★如果是的奇点，则定义函数在无限远点的邻域的洛朗级数的负一次幂的系数的相反数为函数在无限远点的留数。★如果函数在点的邻域内解析，是该邻域内的一条简单闭曲线（为顺时针，绕行走，区域在左手侧），如图4.3所示，则：∞图4.3

l绕行走，∞点在左手侧正方向

第七页，共四十三页，2022年，8月28日2、函数在无穷远点留数：★除k=—1一项之外，其余各项均为零，则:（顺时针）★被定义为在无穷远点的留数★设函数在无穷远点∞上解析，在l所围的区域内除有限个孤立奇点外无其它奇点，则:3、函数在全平面的留数之和等于零——为什么？

为什么是－a-1？第八页，共四十三页，2022年，8月28日三、单极点处留数的计算P521、单极点的留数方法1：★将f(z)在单极点

z0展开为洛朗级数★简单运算

第九页，共四十三页，2022年，8月28日方法2：洛比达法则方法★如果★由求极限的洛比达法则，得留数：★因为★肯定是0/0型！为什么？

第十页，共四十三页，2022年，8月28日2、设z0是f(z)的m阶极点，则，

★因为f(z)的在z0泰勒级数为★即，如果，z0是f(z)的m阶极点！第十一页，共四十三页，2022年，8月28日

★因为

的在z0泰勒级数为

★即，z0是f(z)的m阶极点！第十二页，共四十三页，2022年，8月28日★但是，f(z)在z0的留数是。而是函数

★因为

的在z0泰勒级数为★又因为泰勒级数系数可以表示为

的在z0泰勒级数的系数。

第十三页，共四十三页，2022年，8月28日★f(z)泰勒级数的系数可以表示为★泰勒级数的(m-1)项的系数可以表示为★因此，泰勒级数的-1项的系数，即在z0的留数。★泰勒级数的(m-1)项的系数恰好是

第十四页，共四十三页，2022年，8月28日★这些极点为单极点，其留数为例1，确定函数在有限远的极点。求出函数在这些极点的留数。解★函数存在有限远的极点：四、举例

第十五页，共四十三页，2022年，8月28日例2，确定函数在有限远的极点，并求函数在这些极点的留数。解：★在有限远的极点有，

是的3阶极点，其留数为：

（1）

第十六页，共四十三页，2022年，8月28日是的单极点，其留数为（2）

是的3阶极点，其留数为：

（1）第十七页，共四十三页，2022年，8月28日例3，计算：解：

★记★令函数分母为零，得

第十八页，共四十三页，2022年，8月28日★极点在内部。★极点在外部。★只需要求点的留数，应用留数定理，有方法1：罗毕达法则方法。

第十九页，共四十三页，2022年，8月28日方法2：应用留数定理直接运算。

第二十页，共四十三页，2022年，8月28日§4.2应用留数定理计算实变函数定积分一、思路:实函数定积分转换为复函数回路积分方法1：将实轴上的某区间变换成复平面的一条闭曲线tabz=φ(t)xyl图4.3a★如图4.3a所示，作实轴到复平面的变换，将实轴上的区间变换成复平面的一条闭曲线，从而把实函数定积分转换为复变函数的回路积分。

第二十一页，共四十三页，2022年，8月28日★如图4.3b所示，把轴崁入复平面中成为平面的实轴，把函数延拓到复平面，得复变函数，在复平面上再补上一段曲线，使成为闭合回路，闭合回路的积分用留数定理计算，而曲线段的路径积分较容易求得（通常为0）。yxl2图4.3babl1oB方法2：将实轴上的某区间，在复平面上再补上一段曲线，使成为闭合回路

第二十二页，共四十三页，2022年，8月28日二、应用留数定理计算实变函数的几个类型类型1：被积函数是三角函数的有理式，积分区域是[0，2π]其中作变换，R表示有理函数。★★可以得到

第二十三页，共四十三页，2022年，8月28日例1，计算

★作变换解：←P55例4的结果★实轴区间0～2π，变换成复平面的闭曲线——单位圆。

第二十四页，共四十三页，2022年，8月28日解：★记：例2，计算★实轴区间0～2π，变换成复平面——单位圆。

第二十五页，共四十三页，2022年，8月28日★和是奇点；★其中，在单位圆内，其留数为：

第二十六页，共四十三页，2022年，8月28日★如果复变函数在实轴上没有奇点，在上半平面除有限个奇点外是解析的。当z在上半平面和在实轴上时，一致地，则：{在上半平面所有奇点的留数之和}类型2：

积分区间（－∞，＋∞）；如果，则在实轴没有零点，由于有，高二次。★其积分可以

第二十七页，共四十三页，2022年，8月28日★其积分可以yxCR图4.4－R+RR★如图4.4，如果极限存在，称该极限为主值★根据留数定理{在上半平面所有奇点留数之和}

第二十八页，共四十三页，2022年，8月28日{在上半平面所有奇点留数之和}{在上半平面所有奇点留数之和}

第二十九页，共四十三页，2022年，8月28日例3：解：★记：

，它在上半平面有单极点：z＝±i★其中z＝+i在上半平面，其留数为：

第三十页，共四十三页，2022年，8月28日例4：解：★记：

★它在上半平面的奇点是n阶极点+i，其留数为：（n为正整数）

第三十一页，共四十三页，2022年，8月28日例5：解：★因为是偶函数★所以（n为正整数）

第三十二页，共四十三页，2022年，8月28日类型3：积分区间（－∞，＋∞）；偶函数和奇函数在实轴上没有奇点，在上半平面除有限个奇点外是解析的。当z在上半平面和在实轴上时，和一致地，则：

第三十三页，共四十三页，2022年，8月28日三、约当引理1、约当引理的表述如果，是以原点为圆心位于上半平面的半径为的半圆，如图4.5所示，若当在上半平面和实轴上时，一致，则：yxCR图4.5－RR+RO

第三十四页，共四十三页，2022年，8月28日证明：（1）当在上半平面和实轴上时，一致，所以，（2）在范围内，有，则★即：

第三十五页，共四十三页，2022年，8月28日★如果m是负数，也有2、约当引理的应用{在上半平面所有奇点留数之和}{在上半平面所有奇点留数之和}★因此，对于类型3有{在上半平面所有奇点留数之和}★同理可得

第三十六页，共四十三页，2022年，8月28日★在实轴无极点，在上半平面有单极点，其留数为：例6，解：

第三十七页，共四十三页，2022年，8月28日★在实轴无极点，有两个二阶极点，在上半平面留数为例7，解：{在上半平面所有奇点留数之和}