第四章控制系统的稳定性分析

第四章控制系统的稳定性分析第一页，共三十三页，2022年，8月28日一．概述1.稳定性是系统性能研究的首要问题

2.古典控制理论对稳定性描述存在一定的局限性

(1)局限于研究线性系统；

(2)局限于对系统外部稳定性的描述。3.古典控制理论的稳定性判别是Routh和Nyquist判据

4.现代控制理论采用的稳定判别是李亚普诺夫稳定判据

(1)稳定判据可用于线性或非线性系统；

(2)可以研究系统的外部稳定性也可以研究系统的内部稳定性；

(3)能够反映系统稳定的本质特征。

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第二页，共三十三页，2022年，8月28日1.线性系统外部稳定的定义

零初始条件下，对于任意一个有界输入，若系统所产生的相应输出也是有界的，称该系统是外部稳定的，简称BIBO稳定。

2.状态空间表达式所描述的系统的外部稳定性系统外部稳定的充分必要条件是输入与输出之间的传递函数矩阵中的所有元素的极点全部位于S平面的左半部。

返回二．线性控制系统的外部稳定性（输出稳定）第三页，共三十三页，2022年，8月28日三．动态系统的内部稳定性

（研究系统状态的稳定性——李亚普诺夫稳定性）

1.基本概念

2.李亚普诺夫稳定性定义

3.稳定的范围

4.内部稳定与外部稳定的关系

返回第四页，共三十三页，2022年，8月28日

1.基本概念

(1)平衡状态的定义设不受外力的系统状态方程为，x（t），f（x，t）是n维状态向量函数。若系统存在一个状态xe对任意时间t都有则称状态xe是系统的一个平衡点。平衡点的物理意义可以解释为所有状态的变化速度为零，即是静止状态故称平衡点。

(2)平衡状态的计算

平衡状态即为代数方程组的解。

线性定常系统的平衡状态：当A是非奇异时，则Ax=0，所以平衡状态是唯一的且在原点。非线性系统的平衡状态：可能存在一个或多个平衡状态。第五页，共三十三页，2022年，8月28日(3)状态向量x的范数在

n维状态空间，向量x的长度称为向量x的范数，表示为：。状态向量x到平衡点xe的范数：当范数限制在某一范围之内时，可以表示为。且具有明确的几何意义。用此概念来分析系统的稳定性。

返回第六页，共三十三页，2022年，8月28日2.李亚普诺夫稳定性定义用状态向量到平衡点的范数来表示系统在n维空间运动过程中随时间推移状态向量与平衡点之间的距离变化，存在以下三种情况：

(1)渐近稳定

(2)李亚普诺夫意义下的稳定

(3)不稳定

返回第七页，共三十三页，2022年，8月28日

对于系统

,若任意给定实数，都存在另一实数，使得当时,从任意初始状态出发的解满足且对于任意小量，总有，则称系统在平衡状态xe是渐近稳定。

几何意义：初始状态有界，随时间推移解向量X（t）距平衡点距离可以无限接近，直至到达平衡点后停止运动。

返回(1)渐近稳定第八页，共三十三页，2022年，8月28日

对于系统，若任意给定实数，都存在另一实数,

使得当时，从任意初始状态出发的解满足,则称系统在平衡状态是李亚普诺夫意义下的稳定。

几何意义：初始状态有界，随时间推移解向量X（t）距平衡点的距离可以维持在一个确定的数值内，而到达不了平衡点。即二维空间运动轨迹在直径为有限值的圆内，三维空间运动轨迹在直径为有限值的球面内。

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(2)李亚普诺夫意义下的稳定第九页，共三十三页，2022年，8月28日

(3)不稳定

如果对于某个实数和任一实数，当时，总存在一个初始状态x0使得，则称平衡状态不稳定。

几何意义：初始状态有界，随时间推移解向量X（t）距平衡点的距离越来越远。

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第十页，共三十三页，2022年，8月28日

3.稳定的范围（1）渐近稳定：当系统初始状态在平衡点附近的有限区域内时，系统稳定。（2）大范围渐近稳定：系统状态在整个状态空间时系统状态都稳定。即稳定性与初始条件无关。线性系统渐近稳定即大范围渐近稳定。

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第十一页，共三十三页，2022年，8月28日

4.内部稳定与外部稳定的关系(1)内部稳定的系统外部一定稳定；(2)外部稳定的系统不能保证内部稳定；(3)完全能控和能观系统，则外部稳定与内部稳定等价；

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第十二页，共三十三页，2022年，8月28日四．李亚普诺夫稳定性的判别定理1、二次型函数的引出及一般概念（1-3）2、李亚普诺夫第二方法分析系统稳定性3、李亚普诺夫第二方法应用举例

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第十三页，共三十三页，2022年，8月28日1.二次型函数的一般概念(1)定义：代数式中一种多项式函数，每一项的次数都是二次，则称该函数为二次型函数（标量函数）。(2)二次型函数的表示形式（以三阶系统为例）代数式：矩阵形式：

标准二次型：第十四页，共三十三页，2022年，8月28日(3)二次型函数的符号性质返回正定：当时，即系数矩阵P的各阶主子行列式均大于零，即则函数正定。半正定：当时，即系数矩阵P的各阶主子行列式均大于或等于零，即，则函数半正定。负定：当时，即系数矩阵P的各阶主子行列式均满足下列条件，即，则函数负定。半负定：当时，即系数矩阵P的各阶主子行列式均满足下列条件，即，则函数半负定。不定：不满足上述任何一种条件的二次型函数，即可正也可负。

第十五页，共三十三页，2022年，8月28日2.李亚普诺夫第二方法（研究平衡点在原点的稳定性）李亚普诺夫函数（能量函数）：系统运动需要能量，系统在非零初始状态作用下的运动过程中，若能量随着时间的推移在逐渐的减小以至最终消失，则这种系统一定是稳定的。反之，系统则不稳定，若能量在其运动过程中即不减也不增，则为李亚普诺夫意义下的稳定。任选一个正定的能量函数v（x），即满足：的条件，称为李亚普诺夫函数，然后依据系统的运动方程（状态方程）来考察能量函数v（x）在运动过程中的变化规律，从而获得系统稳定性判据。

第十六页，共三十三页，2022年，8月28日(2)李亚普诺夫稳定性判别定理取标量（能量）函数v（x），满足正定；连续一阶偏导数

存在；则有下列结论存在：李亚普诺夫意义下的稳定：半负定，且在时，有存在。渐近稳定：负定；或半负定，且在时，不衡为零。大范围渐近稳定：系统渐近稳定的同时，满足当时，有，则此系统为大范围渐近稳定。不稳定：正定。系统稳定性无法确定：不存在上述规律。注意：能量函数的非唯一性。返回第十七页，共三十三页，2022年，8月28日3.应用举例[例1]：已知线性系统的状态矩阵，判断系统的稳定性。解(1)：线性系统因状态矩阵的逆存在，所以系统只存在一个在原点处的平衡点；取能量函数，满足条件；计算该系统能量的变化量：显然，能量的变化量函数正定。结论：此系统不稳定。第十八页，共三十三页，2022年，8月28日解(2)：线性系统因状态矩阵的逆存在，所以只存在一个在原点处的平衡点；取能量函数

，满足条件；

计算该系统的能量的变化量：

显然，能量的变化量函数半负定。需要进一步确定在非平衡点处是否衡等于零：

令

代入状态方程得

所以当时，必有不衡为零。

结论：此系统稳定，又有线性系统稳定则为大范围稳定。

重新选择能量函数，得负定，结论相同。第十九页，共三十三页，2022年，8月28日[例2]：已知非线性系统的状态方程，判断系统在平衡点处的稳定性。解：求平衡点：；取能量函数，满足条件；

，结论：系统在平衡点处稳定，当时，有，则此系统为大范围渐近稳定。返回

第二十页，共三十三页，2022年，8月28日五．线性系统李亚普诺夫稳定性分析方法1.李亚普诺夫第一方法（间接法）

(1)定理：线性系统大范围渐近稳定的充分必要条件是状态矩阵A的所有特征值都具有负实部。

(2)判别方法：求特征方程的特征值。

2.李亚普诺夫第二方法（直接法）

(1)理论依据：已知系统状态空间表达式为

，设标量函数，且正定，得，把状态方程代入得

显然，系统稳定的充分必要条件是负定，即Q，P都为正定实对称矩阵。第二十一页，共三十三页，2022年，8月28日定义为李亚普诺夫方程。（2）判别方法（充分条件）：取矩阵Q=I，则负定，由李亚普诺夫方程

反推P正定，则系统在原点处渐近稳定，且大范围渐近稳定。为计算简便，可选半负定，即Q半正定，由李亚普诺夫方程反推P正定，然后再确定在时，有

不衡等于零存在。则系统在原点处渐近稳定，且大范围渐近稳定。其中：P167例4-8[例3]P167例4-9[例4]3.线性时变系统的稳定性（自学）4.线性定常离散系统的稳定性（自学）返回第二十二页，共三十三页，2022年，8月28日六．非线性系统李亚普诺夫稳定性分析1.李亚普诺夫第一方法（线性化法）已知系统状态空间表达式为，定义雅克比矩阵。则有（1）若A的特征值都具有负实部，系统在平衡点处渐近稳定；

（2）若A的特征值至少有一个有正实部，系统在平衡点处不稳定；

（3）若A的特征值有纯虚根，其它根都是负实部，则系统在平衡点稳定性不能确定。[例5]：P183举例。第二十三页，共三十三页，2022年，8月28日2.李亚普诺夫第二方法（克拉索夫斯基法）

理论依据：已知系统状态空间表达式为，设标量函数，选择系数矩阵P使正定，

则

设，

显然，系统在平衡点原点稳定的充分条件是Q（x）正定。

定义：为雅可比方程。

第二十四页，共三十三页，2022年，8月28日

判别方法：根据状态方程，求雅可比矩阵；选择一个正定的系数阵P，一般取为单位阵，则

通过雅可比方程计算Q（x），若正定，则系统在原点渐近稳定；系统的能量函数为，确定系统是否大范围渐近稳定:说明：判据所产生的条件是充分的，不是必要的。P185例4-14[例6]：

P185例4-15[例7]：

返回第二十五页，共三十三页，2022年，8月28日例3系统的状态方程为：，其平衡状态在原点，试判断其稳定性。解：因为取，则对于实对称矩阵P由矩阵由下式确定：即

可解出而由可知P正定。第二十六页，共三十三页，2022年，8月28日可知所以系统在原点处是渐近稳定的，因为是线性定常系统，所以又是大范围渐近稳定的。返回第二十七页，共三十三页，2022