高数上b1讲稿第4章

微分中值定理是微分学的内§1定理1(定理)设函yfx[ab]P187-188,1-2,4,6,7- 连续，在a, fafbab

cfc若yfx第四章微分中值定 对任意一点

利

假定yfx不是常 可知极限 数．这时至少有一点x0a,b: fc. fx0fa, fxfc,0f0

fa.

fxfc比

fxfc0 fxfa0

情况下，yfx[a

fxfc

a与b

ca

fxfc, x[a,c

fclimfxfc 当函数的最小值在ca处达到时,讨论完全类似.一定有一条切线是水平的，见图.1

线与弦平行，这便是日中值定理2 日中值定理)yfx在[ab]在a,bca

fcfbfa证令Fxfxfbfax那么， 在[a, 上fbf

a,

FaF

Fx 是yfx所 Fc0，也即 fcfbfa0.a,fa与b,fb的

fbf

fc

应该，在日中值定c,fc．

中，点c不一定是唯 yfx所对应的c也可能不同．x 0，将x

0这里0 xb换 x，就有 cx0 介 fxfxfcxx x0x之间，不论 正负x

0 0

x其中c介于

中，点c与 要 与 或a．而将另一个看作b 推论 y 有时也写成增量形式．上式中 a,b中处处可导，换成x0x，c换 x0 (其 01)，则 yfx a,b fxxfxfxx 0证 a,b中取定一 x0

fx00,xa, xa, 则函 在a,b上严格x0fx0f0

fcx0x0

fx00,xa,其中c介于x fc0

在a,b上严格递0fxfx,xa,b.0可见，yfx是一个常数函 a,定理3设y

定理3的几何意义可从图4.34.4中得到解释．在图4.3yfxb1p181-证

gx fx f hx 常数,fx 常数,记此常数 11

sinx1c2sin2x⋯1csin

gx

fxkgx nF0F0,Fxf n使 fF使 fFb1p181-

b1p181-Fxfxkx,x,根条件xk0

证令hx

gx , Fx常数,记此常数b,fxkxb,b1p181-0xab, 0

x. fx f fx存在, fxfx0 f0 xx0 x x000f0

x xa,b, fxfx 0xx, 在x0x00x,x上应 0

fx存在可 fx000 0

,

fxfx00fxfx0x

f

先 fa fb 使

fx,ab

xa

fa 中值定理 法所 x fxfa；同理 法fb x 且

定理1 fxfb． 设函 yfxfx在端点a, yg 在闭区间[a, 处不取最小值．但fx连续， 连续，在a,b [a,b] a, gx axb.则存在一点 a, hahb(均等fbf

fa h应gbgagc h应证由定理的条件

gx0 也就是说，h满足 gbg

a hc0fbfhxfxgb gxg则容易验证，hx 上连续，在ab

fcfbfagcgb思考题下列的证明是否正确?说 a fb

fafcba, fbfa

fcgb gbgaggb

未定式型极限的法则.limfxxgt xagx yft limfx,limgx均存在 atatfbfa

f

limf

gb

而曲线在t xagx limgdyfc 曲线在tc

limfx存在，但不为0 当xa时可能 xaglimfxxag

极限,也可能没有权限.即使有极 lim lim lim lim 0

fxgx0况limsinx xlimxsin1limsinx

称 0型未定式定理2 法则)设函yfx yg 2limx2sin22x

gx 假

limfxlimgx0

limfxxagf limfx a xf 证先证明

g xagx 近a时fcx

cx也充分接近a

fxg

fx

limfx xagfaga

fxg

yfx yg

均在a,ar内连续， limfxlimfxa,ar可导，r是一个足够 xa0g xa0gx a,ar，存在 x xx sinxx

并非未定式，其极限为0fxgc

fxf

fcxgcx

.其 .limsinxlimcosx gx 其 A 假fx gxfx

x

fx察gx．但后者依然是一个未 limgx存在．

limfx 察gx

gx

xgxffx

xgx

Fxf1,Gxg1

那么函数

与 limfxlimfxlimfxxa0g xa0gx xa0gx

, A其 1 x 定理3函 yfx

F0G0 .yg R\A,

fxlimgx可知函数F与 yg 的一,

xgx 可导,且

x0Gx

lim lim

Fxlimfx limfx存在．则当xx0Gx xg fx对于函数F与

时 gx

fxlimfx

limGx

g xagx fxgx

xg

b1p187-定理４设函 yfx2 原式limln12

1x2 1 1x2 lim1

1x011

1x2ln1

1x21x2xlnx1x2

1x2

1

1x2

所 lnx或

1x2x

b1p187-

atan

11∫lnx1x2 ∫lim01t

x0lncosbx x0btan

alimasec2

a2b0.所 lnx 1x2

bx0bsec2 b1p188-1limarctanx1

1arctan

ex0

故原式e3lim1lnarctanxlimlnarctanxln

b1p188-x0 limarctanxln

x

1

y2arctanxlnx 有 lny1lnarctanx1xarctanx

limlny

x1xarctan

11

2lnx012

2

arctan x

2arctan

limx21 xx21lnx21xx21

故原式 xx x1lnxb1p188- xx b1p188-l