第二十八章锐角三角函数导学案

第28章锐角三角函数28．1锐角三角函数（1）——正弦【学习目标】=1\*GB2⑴经历当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值都固定（即正弦值不变）这一事实。=2\*GB2⑵能根据正弦概念正确进行计算一、自主复习：1、如图在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=10m，求AB2、如图在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=20m，求BC二、合作交流：问题：为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌．现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°，为使出水口的高度为35m，那么需要准备多长的水管？思考1：如果使出水口的高度为50m，那么需要准备多长的水管？；如果使出水口的高度为am，那么需要准备多长的水管？；结论：直角三角形中，30°角的对边与斜边的比值思考2：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=45°，∠A对边与斜边的比值是一个定值吗？如果是，是多少？结论：直角三角形中，45°角的对边与斜边的比值三、探究：结论：这就是说，在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比规定：在Rt△BC中，∠C=90°，∠A的对边记作，∠B的对边记作，∠C的对边记作．正弦函数概念：在Rt△BC中，∠C=90°，我们把锐角A叫做∠A的正弦，记作，sinA＝例如，当∠A=30°时，我们有sinA=sin30°=；当∠A=45°时，我们有sinA=sin45°=．例1如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，求sinA和sinB的值．随堂练习：1．三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则sinα的值是﹙﹚A．B．C．D．2．如图，在直角△ABC中，∠C＝90o，若AB＝5，AC＝4，则sinA＝（）A．eq\f(3,5)B．eq\f(4,5)C．eq\f(3,4)D．eq\f(4,3)3．在△ABC中，∠C=90°，BC=2，sinA=eq\f(2,3)，则边AC的长是()A．eq\r(,13)B．3C．eq\f(4,3)D．eq\r(,5)4．﹙2006成都﹚如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D。已知AC=EQ\R(,5)，BC=2，那么sin∠ACD＝（）A． B． C． D．五、课堂小结：在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比都是．在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的，记作，28．1锐角三角函数（2）——余弦、正切【学习目标】=1\*GB2⑴:感知当直角三角形的锐角固定时，它的邻边与斜边、对边与邻边的比值也都固定这一事实。=2\*GB2⑵:逐步培养学生观察、比较、分析、概括的思维能力。EOABEOABCD·一、自主复习：1、我们是怎样定义直角三角形中一个锐角的正弦的？2、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D。已知AC=EQ\R(,5)，BC=2，那么sin∠ACD＝（）A． B． C． D．3、如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且AB＝5，BC＝3．则sin∠BAC=；sin∠ADC=．4、在Rt△ABC中，∠C=90°，当锐角A确定时，∠A的对边与斜边的比是，进一步思考：∠A的邻边与斜边的比呢？∠A的对边与邻边的比呢？为什么？二、合作交流：探究：一般地，当∠A取其他一定度数的锐角时，它的邻边与斜边的比是否也是一个固定值？如图：Rt△ABC与Rt△A`B`C`，∠C=∠C`=90o，∠B=∠B`=α，那么与有什么关系？三、学习新知：类似于正弦的情况，如图在Rt△BC中，∠C=90°，当锐角A的大小确定时，∠A的邻边与斜边的比、∠A的对边与邻边的比也分别是确定的．我们把∠A的叫做∠A的余弦，记作cosA，即cosA=；把∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即tanA=例如，当∠A=30°时，我们有cosA=cos30°=；当∠A=45°时，我们有tanA=tan45°=．重要说明：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数．对于锐角A的每一个确定的值，sinA有唯一确定的值与它对应，所以sinA是A的函数．同样地，cosA，tanA也是A的函数．例2：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，sinA=，求cosA、tanB的值．四、随堂练习：1.在中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边，则有（）A．B．C．D．2.在中，∠C＝90°，如果cosA=eq\f(4,5)那么的值为（）A．eq\f(3,5)B．eq\f(5,4)C．eq\f(3,4)D．eq\f(4,3)3、如图：P是∠的边OA上一点，且P点的坐标为（3，4），则cosα＝_____________.五、课堂小结：在Rt△BC中，∠C=90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即sinA==．sinA＝把∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作，即把∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作，即28．1锐角三角函数（3）——特殊角三角函数值【学习目标】=1\*GB2⑴:能推导并熟记30°、45°、60°角的三角函数值，并能根据这些值说出对应锐角度数.=2\*GB2⑵:能熟练计算含有30°、45°、60°角的三角函数的运算式一、自主复习：一个直角三角形中，一个锐角正弦是怎么定义的？一个锐角余弦是怎么定义的？一个锐角正切是怎么定义的？二、合作交流：思考：两块三角尺中有几个不同的锐角？是多少度？你能分别求出这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值码？．三、知识运用：归纳结果30°45°60°siaAcosAtanA例3：求下列各式的值．（1）cos260°+sin260°．（2）-tan45°．例4：（1）如图（1），在Rt△ABC中，∠C=90，AB=，BC=，求∠A的度数．（2）如图（2），已知圆锥的高AO等于圆锥的底面半径OB的倍，求a．四、随堂练习：（一）、选择题．1．已知：Rt△ABC中，∠C=90°，cosA=eq\f(3,5)，AB=15，则AC的长是（）．A．3B．6C．9D．122．计算2sin30°-2cos60°+tan45°的结果是（）．A．2B．C．D．13．在△ABC中，∠A、∠B都是锐角，且sinA=eq\f(1,2)，cosB=eq\f(eq\r(3),2)，则△ABC的形状是（）A．直角三角形B．钝角三角形C．锐角三角形D．不能确定4．如图Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，BC=3，AC=4，设∠BCD=a，则tana的值为（）．A．B．C．D．5．若（eq\r(3)tanA-3）2+│2cosB-eq\r(3)│=0，则△ABC（）．A．是直角三角形B．是等边三角形C．是含有60°的任意三角形D．是顶角为钝角的等腰三角形6．求下列各式的值．（1）+cos45°·cos30°（2）2sin60°-2cos30°·sin45°28．1锐角三角函数（4）—运用计算器求锐角的三角函数值和由三角函数值来求角【学习目标】让学生熟识计算器一些功能键的使用一、自主复习：30°45°60°siaAcosAtanA二、求下列各式的值．（1）sin30°·cos45°+cos60°;（2）2sin60°-2cos30°·sin45°（3）;（4）-sin60°（1-sin30°）．（5）+2sin60°=三、知识运用：用计算器求锐角的正弦、余弦、正切值(结果保留四个有效数字)1、(1)sin38°=cos52°=(2)sin40°=cos50°=(3)cos25.8°=sin64.2°=(4)cos41°37’=cos48°23观察结果，猜想结论：2、(1)sin23°=cos23°=tan23°=(2)cos75°=sin75°=tan75°=观察结果，猜想结论：3、(1)sin15°=sin30°=sin56°=sin89°=(2)cos5°=cos30°=cos60°=cos88°=(3)tan3°=tan30°=tan45°=tan89°=观察结果，猜想结论：练习：下列各式中不正确的是（）．A．sin260°+cos260°=1B．sin30°+cos30°=1C．sin35°=cos55°D．tan45°>sin45°4．已知∠A为锐角，且cosA≤eq\f(1,2)，那么（）A．0°<∠A≤60°B．60°≤∠A<90°C．0°<∠A≤30°D．30°≤∠A<90°7．当锐角a>60°时，cosa的值（）．A．小于eq\f(1,2)B．大于eq\f(1,2)C．大于eq\f(eq\r(3),2)D．大于18．已知，等腰△ABC的腰长为4eq\r(3)，底为30°，则底边上的高为______，周长为______．9．在Rt△ABC中，∠C=90°，已知tanB=eq\f(eq\r(5),2)，则cosA=________．10．已知梯形ABCD中，腰BC长为2，梯形对角线BD垂直平分AC，若梯形的高是，则∠CAB等于（）A．30°B．60°C．45°D．以上都不对11．sin272°+sin218°的值是（）．A．1B．0C．eq\f(1,2)D．eq\f(eq\r(3),2)12．设α、β均为锐角，且sinα-cosβ=0，则α+β=_______．13．已知：cosα=，则锐角α的取值范围是（）A．0°<α<30°B．45°<α<60°C．30°<α<45°D．60°<α<90°14．（2006年潜江市）当45°<θ<90°时，下列各式中正确的是（）A．tanθ>cosθ>sinθB．sinθ>cosθ>tanθC．tanθ>sinθ>cosθD．cotθ>sinθ>cosθ28．1锐角三角函数（5）【学习目标】灵活运用锐角三角函数解决问题.一、自主复习：30°45°60°siaAcosAtanA二、运用知识：例1在△ABC中，∠C=90°（1）若sinA=，则∠A=．（2）若，则=（3）若cosA=，则tanB=______;（4）若cosA=，则tanB=______．例2．在△ABC中，∠C为直角，AC=，BC=，求∠A的度数．例3．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，BC=8,求∠A的度数,AC的长练习.1在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=45°，AB=8,求AC的长。2在Rt△ABC中，∠C=90º，∠A=60º，BC=，求∠B的度数，AB的长例3（1）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC∠的平分线，∠CAB=60°，CD=，BD=2，求AC，AB的长．（2）（2005年黑龙江省）“曙光中学”有一块三角形状的花园ABC，有人已经测出∠A=30°，AC=40米，BC=25米，你能求出这块花园的面积吗？三、随堂检测：1.在Rt△ABC中，∠C=90°，a=1,c=4,则sinA的值是()A、B、C、D、2．在AABC中，已知∠C=90°，sinB=，则cosA的值是()A．B．C．D．3.在RtΔABC中,∠C=900,则下列等式中不正确的是()（A）a=csinA；（B）a=bcotB；（C）b=csinB；（D）c=.4．（2010哈尔滨）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝35°，AB＝7，则BC的长为（）．（A）7sin35°（B）（C）7cos35°（D）7tan35°5.在中，，，则为（）A．B．C．D．7.（2010年怀化市）在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则∠A=．8.计算：+2sin60°=9．（2010年金华）计算：°．28．1锐角三角函数（6）【学习目标】灵活运用锐角三角函数解决问题.一、运用知识：构造直角三角形解决问题.例1．在正方形网格中，的位置如图所示，则的值为（）A． B． C． D．例2.（2010山东济南）图所示，△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD是△ABC的角平分线，若AC=．求线段AD的长．例3.某片绿地形状如图所示，其中AB⊥BC，CD⊥AD，∠A=60°，AB=200m，CD=100m，求AD、BC的长．三、随堂练习：1、若,求B、C两点间的距离.2、已知，在△ABC中，∠A=45°，AC=eq\r(\s\do1(),2)，AB=eq\r(\s\do1(),3)+1，则边BC的长为．3、在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=1，则tanB=，sinA=.4、如图，已知Rt△ABC中，斜边BC上的高AD=4，cosB=，则AC=___________5、计算：6．Rt△ABC中，若sinA=，AB=10，那么BC=_____，tanB=______．7．在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，那么sinA=________．8．在△ABC中，∠C=90°，sinA=，则cosA的值是（）A．B．C．28．2解直角三角形（1）【学习目标】=1\*GB2⑴:理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形=2\*GB2⑵:通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．=3\*GB2⑶:渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯．一、自主复习：1．在三角形中共有几个元素？

2．直角三角形ABC中，∠C=90°，a、b、c、∠A、∠B这五个元素间有哪些等量关系呢？(1)边角之间关系如果用表示直角三角形的一个锐角，那上述式子就可以写成.(2)三边之间关系

(3)锐角之间关系∠A+∠B=90°．

a2+b2=c2(勾股定理)

以上三点正是解直角三角形的依据．二、合作交流：要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端.梯子与地面所成的角一般要满足，(如图).现有一个长6m的梯子，问:(1)使用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙(精确到0.1m)

(2)当梯子底端距离墙面2.4m时，梯子与地面所成的角等于多少(精确到1o)

这时人是否能够安全使用这个梯子

三、知识运用：例1在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，且b=，a=，解这个三角形．例2在Rt△ABC中，∠B=35o，b=20，解这个三角形．四、随堂练习：1．根据直角三角形的__________元素（至少有一个边），求出________其它所有元素的过程，即解直角三角形．2、在Rt△ABC中，a=104.0，b=20.49，解这个三角形．3、

在△ABC中，∠C为直角，AC=6，的平分线AD=4，解此直角三角形。4、Rt△ABC中，若sinA=，AB=10，那么BC=_____，tanB=______．5、在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，那么sinA=________．6、在△ABC中，∠C=90°，sinA=，则cosA的值是（）A．B．C．28．2解直角三角形（2）【学习目标】=1\*GB2⑴:了解仰角、俯角的概念，使学生根据直角三角形的知识解决实际问题．=2\*GB2⑵:逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．=3\*GB2⑶:渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的观点，培养学生用数学的意识一、自主复习：1．解直角三角形指什么？

2．解直角三角形主要依据什么？

勾股定理：

(2)锐角之间的关系：(3)边角之间的关系：

二、合作交流：仰角、俯角

当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做