二次函数的图象和性质

3.4二次函数的图象和性质【复习目标】1.掌握二次函数图象的画法及图象的特征.2.掌握二次函数的性质,能利用性质解决实际问题.3.会求二次函数在指定区间上的最大(小)值.4.掌握二次函数、一元二次方程的关系.【知识回顾】【例题精解】【解】y=x2+4x+2=(x+2)2-2【例1】求作函数y=x2+4x+2的简图.【例2】(1)函数y=x2+6x+2的顶点坐标为

,

当x=

时y有最

值为

.

(2)函数y=-5x2-3x+1的顶点坐标为

,当x=

时y有最

值为

.

(3)函数y=3x2+12x+11开口

,在区间

单调递增,在区间

单调递减.

(4)函数y=-x2+2x+5开口

,在区间

单调递增,在区间

单调递减.

【例4】(1)求函数y=-x2+2x-5在给定区间[-3,7]上的最值.(2)求函数y=x2+4x+10在给定区间[-1,6]上的最值.【解】(1)原函数可化为y=-x2+2x-5=-(x-1)2-4∵图象开口向下∴当x=1时,ymax=-4又∵|-3-1|<|7-1|

∴当x=7时,ymin=-(7-1)2-4=-40(2)原函数可化为y=x2+4x+10=(x+2)2+6∵图象开口向上|-1-(-2)|<|6-(-2)|∴当x=-1时,ymin=(-1+2)2+6=7当x=6时,ymax=(6+2)2+6=70【点评】在给定区间求二次函数的最值,步骤如下:(1)观察顶点是否出现在给定区间内;(2)比较给定区间的两个端点到对称轴的距离;(3)判断开口方向,然后求最值.【例5】求当k为何值时,函数y=-2x2+4x+k的图象与x轴(1)只有一个公共点;(2)有两个公共点;(3)没有公共点.【解】令-2x2+4x+k=0.则-2x2+x+k=0的判别式Δ=b2-4ac=16+8k(1)当Δ=0,即16+8k=0,k=-2时,方程有两个相等的实根,这时图象与x轴只有一个公共点;(2)当Δ>0,即16+8k>0,k>-2时,方程有两个不相等的实根,这时图象与x轴有两个公共点;(3)当Δ<0,即16+8k<0,k<-2时,方程有两个不相等的实根,这时图象与x轴无公共点;【同步训练】【答案】C一、选择题1.如果二次函数y=5x2+mx+4在区间(-∞,-1)上是减函数,在区间(-1,+∞)上是增函数,则m= (

) A.2 B.-2 C.10 D.-10【答案】C2.函数y=-2x2-4x-2的图象具有性质 (

) A.开口方向向上,对称轴为x=-1,顶点坐标为(-1,0) B.开口方向向上,对称轴为x=1,顶点坐标为(1,0) C.开口方向向下,对称轴为x=-1,顶点坐标为(-1,0) D.开口方向向下,对称轴为x=1,顶点坐标为(1,0)【答案】B【答案】A4.二次函数y=x2-2x+5的值域是 (

) A.[4,+∞) B.(4,+∞) C.(-∞,4] D.(-∞,4)【答案】B5.函数y=x2+4x+k的图象可能是 (

)【答案】C6.对于二次函数y=-2x2+8x,下列结论正确的是 (

) A.当x=2时,y有最小值8 B.当x=-2时,y有最小值8 C.当x=2时,y有最大值8 D.当x=-2时,y有最大值8【答案】B7.如果函数y=x2+mx+(m+3)的图象与x轴有两个交点,则实数m的取值范围是 (

) A.(-2,6) B.(-∞,-2)∪(6,+∞) C.[-2,6) D.[-2,6]【答案】D8.下列函数的图象中,对称轴是直线x=1的是 (

)(1)y=2x2+4x-3 (2)y=2x2-4x+3(3)y=-3x2-6x-3 (4)y=-3x2+6x-3 A.(1)和(2) B.(2)和(3) C.(1)和(3) D.(2)和(4)【答案】D二、填空题10.若函数f(x)=2x2+x-1,则f(x)的图象的对称轴是直线

.

11.若函数y=2x2+bx+3在区间(-∞,2)上是减函数,在区间(2,+∞)是增函数,则b=

.

12.函数y=2x2-3x-9的图象与y轴的交点坐标是

,与x轴的交点坐标是

、

.

13.设函数y=ax2-bx+c的图象如右图,则下列各式与0的大小关系是(1)a

,(2)b

,(3)c

,(4)a+b+c

,(5)a-b+c

,(6)b2-4ac

.

14.已知y=-4x2+28x+1,则y有最

值为

.

-8(0,-9)(3,0)>0>0<0>0=0>0大50三、解答题15.已知二次函数y=-x2+4x-3,(1)画出函数的图象(草图);(2)当x为何值时y=0;(3)求函数图象的顶点坐标、对称轴和函数的最值.【解】(1)略(2)令-x2+4x-3=0x2-4x+3=0(x-3)(x-1)=0求得x=1或x=3∴x=1或x=3时y=0(3)y=-x2+4x-3=-(x-2)2+1∴函数图象的顶点坐标为(2,1),对称轴为x=2.当x=2时,ymax=1.16.如果二次函数f(x)=x2+kx-(k-8)与x轴至多有一个交点,求