热力学与统计物理课后习题答案第六章7076

第六章近独立粒子的最概然分布6.1试根据式（6.2.13）证明：在体积V内，在到的能量ε+dε范围内，三维自由粒子的量子态数为2V132m2d.2Ddh3解:式（6.2.13）给出，在体积内，在到pdp,p到VLp3xxxy到的动量范围内，自由粒子可能的量子态数为pdppdp,pyyxxxV（1）dpdpdp.zh3xy用动量空间的球坐标描述自由粒子的动量，并对动量方向积分，可得在体积V内，动量大小在到范围内三维自由粒子可能的量子ppdp态数为4πV（2）p2dp.h3上式可以理解为将空间体积元（体积V，动量球壳）4Vpdp4πpdp22除以相格大小而得到的状态数.h3自由粒子的能量动量关系为p2.2m因此p2m,pdpmd.将上式代入式（2），即得在体积V内，在到的能量范围内，d三维自由粒子的量子态数为πVh3D()d22d.1（3）32m26.2试证明，对于一维自由粒子，在长度L内，在到的d能量范围内，量子态数为Dd12Lm2d.h2解:根据式（6.2.14），一维自由粒子在空间体积元dxdp内可能x的量子态数为dxdpx.h在长度L内，动量大小在p到pdp范围内（注意动量可以有正负两个可能的方向）的量子态数为2L（1）dp.h将能量动量关系代入，即得p22m12Lmh22d.（2）Dd6.3试证明，对于二维的自由粒子，在面积L2内，在到d的能量范围内，量子态数为2πL2md.Ddh2解:根据式（6.2.14），二维自由粒子在空间体积元dxdydpdp内xy的量子态数为1（1）dxdydpdp.yh2x用二维动量空间的极坐标p,描述粒子的动量，p,与p,p的关系xy为ppcos,xppsin.y用极坐标描述时，二维动量空间的体积元为pdpd.在面积L2内，动量大小在p到pdp范围内，动量方向在到d范围内，二维自由粒子可能的状态数为L2pdpd.（2）h2对d积分，从0积分到，有2π2d2π.0可得在面积内，动量大小在到范围内（动量方向任意），二Lppdp2维自由粒子可能的状态数为2πL2pdp.h2（3）将能量动量关系p22m代入，即有2πL2md.（4）Ddh26.4在极端相对论情形下，粒子的能量动量关系为cp.试求在体积V内，在到的能量范围内三维粒子的量子态数.解:式（6.2.16）已给出在体积V内，动量大小在到范围ppdp内三维自由粒子可能的状态数为4V（1）p2dp.h3将极端相对论粒子的能量动量关系cp代入，可得在体积V内，在到的能量范围内，极端相对论粒d子的量子态数为π4Vd.（2）Ddch236.5设系统含有两种粒子，其粒子数分别为和NN.粒子间的相互作用很弱，可以看作是近独立的.假设粒子可以分辨，处在一个个体量子态的粒子数不受限制.试证明，在平衡状态下两种粒子的最概然分布分别为aelll和ae,lll其中和是两种粒子的能级，和是能级的简并度.llll解：当系统含有两种粒子，其粒子数分别为和，总能量为NNaE，体积为V时，两种粒子的分布和必须满足条件alaN,llaN,l（1）llaaEllllll才有可能实现.在粒子可以分辨，且处在一个个体量子态的粒子数不受限制的情形下，两种粒子分别处在分布和时各自的微观状态数为aallN!Ω,ala!lll（2）lN!Ω.ala!llll系统的微观状态数为Ω0（3）Ω0ΩΩ.平衡状态下系统的最概然分布是在满足式（1）的条件下使或InΩ0Ω0为极大的分布.利用斯特令公式，由式（3）可得ΩΩInΩln0NlnNalnaalnNlnNalnaaln,llllllllllll为求使为极大的分布，令a和a各有和的变化，将lnΩaa0lnΩ0llll因而有δlnΩ0的变化.使为极大的分布和必使aΩ0lnallδlnΩ00,即δlnΩ0lnδalnaallδa0.llllll但这些δa和δa不完全是独立的，它们必须满足条件llδNδa0,ll0,δNδallδ0.aδEδallllll用拉氏乘子和分别乘这三个式子并从中减去，得δlnΩ0,δNδNδEδlnΩ0alnlδalnδaalllllllll0.根据拉氏乘子法原理，每个δa和δa的系数都等于零，所以得lla0,lnllla0,lnlll即ae（4）lllae.lll拉氏乘子和由条件（1）确定.式（4）表明，两种粒子各自遵,从玻耳兹曼分布.两个分布的和可以不同，但有共同的.原因在于我们开始就假设两种粒子的粒子数N,N和能量E具有确定值，这意味着在相互作用中两种粒子可以交换能量，但不会相互转化.从上述结果还可以看出，由两个弱相互作用的子系统构成的系统达到平系统有相同的.衡时，两个子6.6同上题，如果粒子是玻色子或费米子，结果如何？解:当系统含有个玻色子，N个费米子，总能量为E，体积为NV时，粒子的分布和必须满足条件aallaN,llaN,lalaE（1）llllll才有可能实现.a玻色子处在分布，费米子处在分布时，其微观状态数分all别为Ωa1!,lla!1!lllΩ.la!a!llll系统的微观状态数为Ω0（3）Ω0ΩΩ.平衡状态下系统的最概然分布是在满足式（1）条件下使或为ΩΩln00极大的分布.将式（2）和式（3）取对数，利用斯特令公式可得lnlllnΩalnaalnal0lllllllnalnaalna.lllllllll令各和有和δa的变化，将因而有的变化，使用权δlnΩ0l为极大的分布和必使lnΩ0aaδallllnΩ0aallδlnΩ00,即aδallnaδlnΩ0δalnllllalall0.ll但这此致和δa不完全是独立的，它们必须满足条件δallδNδa0,ll0,δNδallδ0.aδEδallllll用拉氏乘子和分别乘这三个式子并从δlnΩ0中减去，得,δNδNδEδlnΩ0alnlδalnaδallllalallllll0.根据拉氏乘子法原理